考研数学二真题及答案解析

2021考研数学真题及答案解析数学(二)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)(1)当x->0时，「(/-1劝时/的(A)低阶无穷小. (B)等价无穷小. (C)高阶无穷小. (D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当x->0时，］：3'-1辿］=2x(Z-l)~2x7,所以是X，高阶无穷小，正确答案为C.e'7a(2)函数/(x)=二^'" ，在x=0处\,x=0(A)连续且取极大值. (B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0. (D)可导且导数不为0.【答案】D.-1【解析】因为lim/(x)=lim =1=/(0),故/(x)在x=0处连续；xtO x->0x故/'(0)=,，正确答案为D.TOC\o"1-5"\h\z故/'(0)=,，正确答案为D.m«. /(X)—f(0)..Y..ex—X因为lim ~上以=hm =hm ——xt。x-0 x-0 x(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s,-3cm/s,当底面半径为10cm,高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)125^c/n3Is,AO/rcm2Is.\257ccnv,/s,—40兀cm?/s.TOC\o"1-5"\h\z(C)-lOOzrcw3Is, Is.(D)-100ticth'/s,-40^c/h2/s.【答案】C.dr dh【解析】由题意知，—=2,—=-3,又V=兀户h,S=2兀rh+2兀户dt dtdV,,dr2dhdStdr_dh.dr则 =z/rrn 卜兀r—,—=2乃〃—F4Tz—dtdtdtdtdtdtdt当r=10,〃=5时，叱=TOO匹”=40肛选C.dt dt(4)设函数/(x)=ax-61nx(a>0)有两个零点，则。的取值范围是a(A)(e,+o>). (B)(O,e).(A)(e,+o>). (B)(O,e).(C)(o,-). (D)(i,+oo).e e【答案】A.【解析】令/(x)=or-blnx=0,八%)=a-2,令/，⑴=。有驻点工=2,/[—।=a--i-ln—<0,x a\aJaaTOC\o"1-5"\h\z从而ln2>l,可得2>e,正确答案为A.a a(5)设函数/(x)=secx在x=0处的2次泰勒多项式为l+ax+bV,则(A)a=\,b=—. (B)a=\,b=—.2 2a=0,b=—. (D)a=0,b=—.2 2【答案】D.【解析】由小)=/(。)+八。)X+等1+心2)知当CX时/(0)=sec0=1J'(0)=(secxtanx)|x=0=0,/"(0)=(secxtan2x+sec3x)|x=0=1,则/(x)=secx=1+—x2+o(/).故选D.lim^/〃一>8*=1XIn(C)2nn1lim£/"TQO*k=lInIn(D)I喏/(6)设函数/(xj)可微，且/(x+l,1)=x(x+l)2,/(x,x2)lim^/〃一>8*=1XIn(C)2nn1lim£/"TQO*k=lInIn(D)I喏/(\)dx+dy. (^)dx-dy.(D)-Jy【答案】c.[解析1工解+L/)+e'f；(x+l,e—0x—1 ..将—0x—1 ..将， 分别带入①②式有y=0 ，=]加,1)+力(1,1)=1,—+2—=2联立可得工'(1,1)=0,《(1/)=1，力'(1,1)二/'(1,1)，我+4(1,1)力=力，故正确答案为C.⑺设函数/(x)在区间［0,1］上连续，贝啖〃x*x=-2x(x+l)①/Jr(x,x2)+2xf；(x,x2)=4xlnx+2x②【答案】【答案】【解析】由定积分的定义知，将［0,1］分成〃份，取中间点的函数值，则2k-1]1

2/7即选B.(8)二次型/(X,,X2,X3)=(X1+X2>+(X2+X3)2-(X3-Xj2的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.【答案】B.【解析】/(演，》2，》3)=(x,+x2)2+(x2+x3)2-(x3—X])2=2x22+2x}x2+2x2x3+2工丙

’011、所以4=121,故特征多项式为10,2-1-1\AE-A\=-1-2-1=(2+1)(2-3)2-1-1A令上式等于零，故特征值为-1,3,0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.⑼设3阶矩阵/=（q,02，。3），5=（自，62,4），若向量组4,。2，%可以由向量组61，0!线性表出，则(A)Ax=0的解均为Bx=0的解.（B）Atx=0的解均为Brx=0的解.Bx=。的解均为Ax=0的解.Brx=0的解均为Atx=0的解.【答案】D.【解析】令Z=（《,%,/），8=（四，4,A），由题％出，。3可由.，夕2,4线性表示，即存在矩阵尸,使得4则当8%0=0时,'1 0（10）已知矩阵/=2-1、T2矩阵，则尸，。可以分别取Atx0=使得4则当8%0=0时,'1 0（10）已知矩阵/=2-1、T2矩阵，则尸，。可以分别取-P1若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵0,使24。为对角(A)000、100L‘101、013、°o，1(B)2「3(A)000、100L‘101、013、°o，1(B)2「300、-102b‘100、

010、0°，100'(C)2-10「32b’10P013、001,【答案】C.【解析】“1 0(4£)=2-1<-12‘100、(D)010J3""120-1(00-3、21,0-1100、’10-1-13-210->01-32-6101；、000-1100)p1010->0-5001J(01 00、2-10-32"‘1 00、=(尸,尸),则尸=2-10-32 1

100100010010-1-30001100100100010010-1-30001100100010010000131/、Q,，则2=013.故应选C.10二、上.)⑴)o邓“去=【答案】—.(12)设函数y=)>(x)由参数方程”(12)设函数y=)>(x)由参数方程”x=2d+，+1y=4(t-1)e'+t2In3确定，则式明

dx-一ln3r=0=2【答案】--3【解析】由dy_4相'+2t【解析】由dy_4相'+2td2y(4e'+4tel+2)(2/+1)-(4招'+2f)2e’dx2e'+ldx2(2e'+iy将t=0带入得dx2(0.2)(13)设函数z=£(工/)由方程(x+l)z+yIne-arctan(2xy)=1确定，则"

dx(0.2)【答案】La 1【解析】方程两边对x求导得z+(x+1)丁—二—2ox zoxl+4xyQz将x=0,y=2带入原方程得z=l,再将工=0/=2/=1带入得二=1.

dx71【答案】“cosww32【解析】交换积分次序有/(f)=/«=-,71【答案】“cosww32【解析】交换积分次序有/(f)=/«=-,sin二dx，从而y(14)已知函数/(f)=J：公J]sin'㊇厕/'sin]x='"cos---cosy\dy、y)=/ycos，力一『ycosydytCOSU.N,«才1ycQsyy

(15)微分方程V-y=0的通解y=.【答案】y=C]ex+e^Jcos—x+C,sin—(15)微分方程V-y=0的通解y=.【答案】y=C]ex+e^Jcos—x+C,sin—x2 3 2，G,C2,C3gR.【解析】由特征方程分-i=o得4=L4.3=-g士等"故方程通解为y=C}ex+e^xC2cos^-x+C3sin^-x,Ct,C2,C3gR

[2 2,(16)多项式/(x)=x122X1-12x-11中1项的系数为【答案】-5.【解析】X/(X)=；2XX1-1X-1 11 1-2x2-lx2x21x-11所以展开式中含项的有-x',-4x3,即x3项的系数为-5.三、解答题(本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本题满分10分)1+[e'dt1求极限lim—% x-»oexsinx【答案】【解析】limx->0【解析】limx->01+Jddt

ex—1isinx-1-ddt——=lim——；—— sinxI。(ex-l)sinx又因为J；/力=£(1+『+0俨)劝=x+$3+O(x3),故(x x'++X4—xi+o(x3))—X--x~+o(x")原式=lim J X

^x2+O(X2)］=lim- =—.XTOX 2(18)(本题满分12分)XX己知/(x)=_u,求/(x)的凹凸性及渐近线.1+X【答案】凹区间(-8,-1),(0,+oo),凸区间(一1,0).斜渐近线是y=x-l,y=-x-1. ，人/u 2【解析】因为/(x)=F+x ，故x>0,f(x)=X+A-士,x«0 ' (1+x)U+xx<0,f\x)= ,/〃(x)=—_2(1+X『 (I+X)所以x\x\ L .hm—L-L=oo,x=-1x\x\ L .hm—L-L=oo,x=-1是垂直渐近线.x"l+xXXlim—-MO(1+x)xXXlim—X-»F(1+X)xXX=1,lim(^J--1)=-1.IE(l+X)XX=-1,lim(XT+8————1)=一1.斜渐近线是y=x_l,y=-x-I.(1+x)X(-00,-1)-1(-1,0)0(0,-Foo)r(x)十-+〃x)凹拐点|"|拐点凹凹区间(f0,-l)，(0,+oo),凸区间(一1,0).(19)(本题满分12分)/(x)满足J=：/-x+C,L为曲线y=f(x)(4<x<9),L的弧长为s,旋转一周所形成的曲面的面积为N,求s和A.…4257TOC\o"1-5"\h\z【答案】 .9f(x\1 I3［解析］中=人工_1,f(x)=-x2-x243 7 3244x1X1, 22—+--F—ax244x1X1, 22—+--F—ax=——曲线的弧长s=[Ji7户dr曲面的侧面积a=24aji+v”=_425万"9'3iIi

2-x2)JxH F2dx(20)(本题满分12分)函数y=y(x)的微分方程孙'-6y=-6,满足歹(百)=10,⑴求y(x)；(2)尸为曲线y=y(x)上的一点，曲线y=y(x)在点P的法线在y轴上的截距为人，为使，最

小，求P的坐标.【答案】⑴^(X)=l+y.(2)p[±l,£)时，4有最小值?【解析】(l)y'—?y=—2,.・.y=/xj(--> dx+C=x64+c=1+CxXX X kXJ将歹(0)=10代入，C=L.»(》)=1+土•.(2)设尸(xj),则过尸点的切线方程为丫-y=2x5(X-x),法线方程为Y—y= —x)，2xY61令X=0,.•.丫=。=1+§+厂，偶函数，为此仅考虑(0,+oo)令(/,)=2》5---=0,x=l.••xe(0,l),(Zv.)'<0,Zv>Z).(l)=U;xe(l,+oo),(/J>0, =].•.P(±l，q)时，/y有最小值..(21)(本题满分12分)曲线(x?+y2)2=x2-y2(x>0,y>0)与x轴围成的区域为O,求，节疝过y.D【答案】—48【解析】||xydxdy=|JJoj： 厂3sin^cosOdr11114—cos220smOcosOdd421,4—cos-26dcos26016=——cos=——cos32048J_48(22)(本小题满分12分)‘210、设矩阵力=120仅有两个不同的特征值.若4相似于对角矩阵，求a,6的值，并求可Jab,逆矩阵P,使p-，尸为对角矩阵.2-2-