突破2023年高考数学题型之2022年数学高考真题(全国通用)专题05函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(含详解)

专题05函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】(2022•全国乙文)若f(x)=lna+-一+6是奇函数，则。=，b=.TOC\o"1-5"\h\z(2022•新高考U)已知函数/(x)的定义域为R,1.f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(l)=1,则£/伏)=( )1=1A.-3 B.-2 C.0 D.1(2022•全国乙理)已知函数凡r),g(x)的定义域均为R,且_/(x)+g(2—x)=5,g(x)—/(x—4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4.则£/(&)=( )k=\A.-21 B.-22 C.-23 D.一24(2022•新高考I)已知函数f(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=_f(x),若/仁-2x),g(2+x)均为偶函数，则()./(0)=0 B.=° C./(-D=/(4) D.g(-l)=g(2)【常用结论】.函数奇偶性常用结论结论1：如果函数4%)是奇函数且在x=0处有意义，那么火0)=0.结论2：如果函数是偶函数，那么/(x)=/(一工)=川川).结论3：若函数y=yu+b)是定义在R上的奇函数，则函数y=/(x)关于点S，0)中心对称.结论4：若函数y=/(x+〃)是定义在R上的偶函数，则函数y=/(x)关于直线对称.结论5：已知函数次幻是定义在区间。上的奇函数，则对任意的都有人外+大一幻=0.特别地，若奇函数“r)在。上有最值，贝1]义的2+凡T)min=0.推论1：若函数./(x)是奇函数，且g(x)=y(x)+c,则必有g(—x)+g(x)=2c.推论2:若函数人¥)是奇函数，且g(X)=4r)+c,则必有g(X)max+g(X)min=2C.结论6：在公共定义域内有：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇x(+)奇=偶,偶x(+)偶=偶，奇x(+)偶=奇.结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.结论9：函数氏^)="+。一，(〃>0且是偶函数；函数«r)=〃一。一">0且是奇函数；函数凡X)a"+1=〃_](。>0且。W1)是奇函数；x-b 结论10：函数於)=log〃R7m>0且。#1)是奇函数；函数兀v)=log〃N1+足v2±/nr)m>0且1)是奇函数.

结论11：函数y=/(x)是可导的奇函数，则导函数y=/(x)是偶函数；函数y=y(x)是可导的偶函数，则导函数丫=/(》)是奇函数;结论12：导函数y=/(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y=_/(x)都是偶函数；导函数y=/(x)是连续的偶函数，则原函数y=/(x)中只有一个是奇函数；.函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y=y(x)满足兀r+a)=_/(b—x),则函数y=/(x)的图象关于直线》=区昔对称.推论1：如果函数y=_/(x)满足/(a+x)=_/(a—x),则函数y=_/(x)的图象关于直线x=a对称.推论2：如果函数y=/(x)满足1x)=/(—x),则函数y=/(x)的图象关于直线x=0(y轴)对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化.(2)函数的点对称定理2：如果函数y=/(x)满足式a+x)+_/(。-x)=28,则函数y=/(x)的图象关于点(a,切对称.推论1：如果函数y=_/(x)满足贝a+x)+7(a—x)=0,则函数yfx)的图象关于点(a,0)对称.推论2：如果函数y=_/(x)满足火x)+_/(—x)=0,则函数y=«x)的图象关于原点(0,0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化.(3)两个等价关系若函数y=/(x)关于直线x=a轴对称，则以下三式成立且等价：J(a+x)=fia—x)<=>y(2a—x)=J[x)ofi,2a+x)=j(~x)若函数y=/(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：J(a+x)=—j(a—x)oJ(2a—x)=~J(x)o_/(2a+x)=—J(一x)(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是导函数y=/(x)的图象关于点(a,0)中心对称.定理2：可导函数y=_/(x)的图象关于点(a,犬。))中心对称的充要条件是导函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称..函数周期性常用的结论结论1：若_/(x+a)=y(x—a),则_/(x)的一个周期为2a；结论2：若_/(x+a)=—/(x),则火x)的一个周期为2a：结论3结论4：结论3结论4：结论5：结论6：结论7：结论8：若Hx+a)+y(x)=c(aW0),则7(x)的一个周期为2a；若_/(x)=/(x+a)+Hx-a)(a¥0),则负外的一个周期为6a；若火x+a)=六，则4x)的一个周期为2a；若I/(x+a)=一点，则*x)的一个周期为2a；若函数/(x)关于直线x=a与x=b对称，则y(x)的一个周期为2|6一a|.若函数_/(x)关于点(a,0)对称，又关于点(6,0)对称，则_/(x)的一个周期为2步一。|.结论9：若函数Ax)关于直线x=a对称，又关于点出，0)对称，则大外的一个周期为4|6-砧结论10：若函数式此可导，并且是周期为T的周期函数，则/(X)也是的周期为T的周期函数：若函数人犬)可导，其导函数/(x)是周期为7的周期函数，且/(0)=火Q,则凡r)也是的周期为7的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差.总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一.即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立.【同类问题】题型一函数的奇偶性与周期性.已知函数/(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，_/(x)=4*,则(一号+41)=()TOC\o"1-5"\h\zA.-2 B.0 C.2 D.1.(2021•全国甲)设函数凡r)的定义域为R,_/(x+l)为奇函数，_/(x+2)为偶函数，当xC［l,2］时，火》)=加+b.若人0)+43)=6,则/(号等于()9 3 八7 5A.—t B.—z C.T D.T3.已知函数1x)为定义在R上的奇函数，犬》+2)是偶函数，且当xG(0,2］时，y(x)=x,则共-2022)+_/(2023)=()A.-3 B.-2 C.1 D.0.(多选)(2022・威海模拟)函数_/(x)的定义域为R,若/(x+1)与y(x-l)都是偶函数，则()A.凡r)是偶函数 B.大外是奇函数 C.y(x+3)是偶函数 D./(x)=Ax+4).(多选)已知y(x)为奇函数，且y(x+i)为偶函数，若y(i)=o,贝!|( )A.负3)=0B.13)=/(5)C._/(x+3)=/(x—l)D.J(x+2)+j(x+\)=\.已知4x)是定义在R上的奇函数，_/(x+l)是偶函数，当xG(2,4)时，_/(》)=k一3|,则_/0)+式2)+人3)+犬4)+…+式2022)=..(多选)定义在R上的偶函数共为满足y(x+2)=-/(x),且在［一2,0］上单调递减，下面关于1x)的判断正确的是()A.五0)是函数的最小值 B.40的图象关于点(1,0)对称C._/(x)在［2,4］上单调递增 D.汽此的图象关于直线x=2对称.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式.函数y=/(x)对任意xGR都有火x+2)=/(-x)成立，且函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称,火1)=4,则火2020)+7(2021)+7(2022)的值为.题型二函数的奇偶性与对称性10.已知*x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(-1,0)成中心对称的是( )A.yB.y=(x+l)/(x+1)C.y=x/(x)+1 D.y=xj(x)—1.已知函数7U)是定义域为R的偶函数，且凡r)的周期为2,在［-1,0］上单调递增，那么/(%)在［1,3］上()A.单调递增B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增.已知定义在R上的奇函数兀0满足_/（x+2）=-/（x）,且在区间［1,2］上单调递减，令a=ln2,\c=logl2,则fib）,_/（c）的大小关系是（）2A.1Ab）勺（C）勺（a） B. C./（c）勺（b）勺（a） D.4。）勺（a）勺（b）.定义在R上的奇函数凡r）,其图象关于点（一2,0）对称，且式x）在［0,2）上单调递增，则（）A.川1）勺（⑵勺（21） B.犬21）勺02）勺（11）C.—1）勺（21）勺（⑵ D.以21）勺（11）勺02）.写出一个满足y（x）=_/（2—x）的偶函数y（x）=.题型三函数的周期性与对称性.（多选）已知/（x）的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称且y（x+3）=/（x—3）,当xG［0,3］时，J（x）=2K+2x-\l,则下列结论正确的是（）A.人幻为偶函数 B.Hx）在［-6,-3］上单调递减C.1工）的图象关于直线x=3对称 D.负2023）=-7.已知定义在R上的函数y（x）,对任意实数x有y（x+4）=-/（x）,若函数丹工一1）的图象关于直线x=l对称，大-1）=2,则42025）=..已知偶函数y（x）满足y（x）+_/（2-x）=o,下列说法正确的是（）A.函数Hx）是以2为周期的周期函数 B.函数汽x）是以4为周期的周期函数C.函数#x+2）为偶函数 D.函数/（X—3）为偶函数.已知定义在r上的函数y（x）满足-x）=一/（x）,_/（i+x）=y（i-x）,当i］时，y（x）=d—3x,则fi.2023）等于（）A.1 B.-2 C.—1 D.2.已知函数y（x）满足：/（x+2）的图象关于直线x=-2对称，且氏r+2）=d°,当24xW3时/x）=log2（x+¥）,则竽）的值为（）A.2 B.3 C.4 D.620.设函数段）为定义在R上的函数，对VxER都有：«v）=y（—x）,/（x）=/（2—x）；且函数凡r）对Vx1，X2仁［°，1］»X|#X2，有等等＞0成立，设a=f（翠），6=/（log43）, 则a,b,c的大小关系为..（多选）已知奇函数/（x）的定义域为R,且满足/（2+x）=/（2—x）,以下关于函数犬只的说法正确的为（）A._/（》）满足_/（8-x）=y（x） B.8为1x）的一个周期C.火x）=sin竽是满足条件的一个函数 D.段）有无数个零点.（多选）已知K0是定义在R上的奇函数，_/（2-x）=_/（x）,当x£［0,1］时，贝x）=V,则下列结论错误的是（）A.#2021）=0 B.2是犬x）的一个周期

C.当C.当XW(1,3)时，«r)=(l—x)3D.；U)>0的解集为(4/,4%+2)(&£Z)题型四抽象函数.设函数y=/U)的定义域为(0,+00),#个)=/%)+用，)，若,*8)=3,则/(啦)=..已知定义在R上的函数兀0满足11)=1,且«x+y)=/U)+a)+l，则14)=..(多选)定义在R上的函数式x)满足#x+y)=/(x)+用)，当xVO时，鱼)＞0,则函数大x)满足()A.火0)=0 B.y=_/(x)是奇函数C.於)在［1,2］上有最大值式2) D./-1)＞。的解集为{也＜1}.已知/(尤)是定义在区间(0,+8)上的增函数，且局=次幻一"),式2)=1,如果x满足Z(x)-(±)W2,则x的取值范围为.专题05函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】(2022•全国乙文)若/(x)=lna+丁匚+6是奇函数，则。=,h=..答案ln2解析因为函数/(DTna+J+b为奇函数，所以其定义域关于原点对称.2 \—x由。+」一片0可得，(l-x)(a+l-ax)*o,所以X=史1=-1,解得：= 即函数的定义域为1-x a 2(-00,-1)3-1,1)51,”)，再由"0)=0可得，b=\n2.即/(x)=ln-4+/L+ln2=ln手，在定义域内满足/(-x)=-/(x),符合题意.故答案为-g;In2.22(2022・新高考H)已知函数/(x)的定义域为R,Mf(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(I)=1,则g/伏)=( )hlA.-3 B.-2 C.0 D.12.答案A解析因为〃x+y)+〃x-y)=〃x)〃y),令x=l,y=o可得，2/(l)=/(l)/(0),所以/(o)=2,令X=O可得，/(y)+/(-y)=2/(y),即〃y)=〃-y),所以函数〃X)为偶函数，令y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+〃x)=〃x+l),从而可知/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故〃x+2)=/(r-4),即f(x)=f(x+6),所以函数一个周期为6.因为7(2)=/⑴-/(0)=1-2=-1,43)=/(2)-川)=_1-1=_2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以一个周期内的/⑴+/(2)+…+/⑹=0.由于22除以6余4,所以力化)=/(1)+/(2)+"3)+/(4)=1-1-2-1=-3.故选.A.*=1(2022•全国乙理)己知函数於)，g(x)的定义域均为R,且Hx)+g(2—x)=5,g(x)—/(x-4)=7.若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4.则£/伏)=()*=1A.-21 B.-22 C.-23 D.-243.答案D解析因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(x+2),因为g(x)-/(x—4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),因为/(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,代入得/(x)+[7+/(x-2)]=5,即/(x)+/(x-2)=-2,所以/(3)+/(5)+...+/(21)=(-2)x5=-10,/(4)+/(6)+...+y(22)=(-2)x5=-10.因为〃x)+g(2-x)=5,

所以f(O)+g⑵=5,即=所以/⑵=-2-/(0)=-3.因为g(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因为/(x)+g(2-x)=5,联立得,g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g⑶=6,因为/(x)+g(x+2)=5,所以〃l)=5-g⑶=-1.所以22£/W=/(l)+/(2)+[/(3)+/(5)+...+/(21)]+[/(4)+/(6)+...+/(22)]=-l-3-10-10=-24.故选.D.(2022•新高考I)已知函数/(x)及其导函数/'(x)的定义域均为R,记g(x)=/'(x),^f\^-2x\,g(2+x)均为偶函数，则()A./(0)=0B.g(-g)=°C./(-D=/(4)D.g(-l)=g(2)4.答案BC解析因为/(?一2》)，g(2+x)均为偶函数，所以/(T-2x)=/(|+2x)即g(2+x)=g(2-x),所以f(3-x)=f(x),g(4-x)=g(x),则/XT)=/(4),故C3正确；函数〃x),g(x)的图象分别关于直线x=；,x=2对称，又g(x)=/'(x),且函数"X)可导，所以g喂卜。洛口一加旬耳，所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以8。+2)=-8(*+1)=8(力，所以升gg)=0,g㈠)=g⑴=-g(2),故B正确，D错误；若函数/(x)满足题设条件，则函数/*)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定Ax)的函数值，故A错误.故选.BC.【常用结论】.函数奇偶性常用结论结论1：如果函数｛r)是奇函数且在x=0处有意义，那么共0)=0.结论2：如果函数y(x)是偶函数，那么—x)=y(|x|).结论3：若函数y=/(x+b)是定义在R上的奇函数，则函数y=/(x)关于点S，0)中心对称.结论4：若函数y=/(x+a)是定义在R上的偶函数，则函数yfx)关于直线x=a对称.结论5：已知函数次x)是定义在区间。上的奇函数，则对任意的xeo,都有危)+大一幻=0.特别地，若奇函数_/(X)在。上有最值，则贝X)max+/(X)min=0.推论1：若函数y(x)是奇函数，且g(x)=y(x)+c,则必有g(—x)+g(x)=2c.推论2:若函数y(x)是奇函数，且g(x)=/(x)+c,则必有g(x)ma*+g(x)min=2c.结论6:在公共定义域内有：奇士奇=奇；偶±偶=偶：奇士偶=非奇非偶；奇*(十)奇=偶，偶X(+)偶=偶，奇*(十)偶=奇.结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.结论9：函数人幻="+。-*(4>0且aWl)是偶函数；函数｛r)=〃-且aWl)是奇函数；函数1x)ar+1="r二](。>。且a¥l)是奇函数；x-b 结论10：函数_/(x)=log“7n(a>0且是奇函数；函数加)=log"N1+加2/±皿)(4>0且a#1)是奇函数.结论11：函数y=_/(x)是可导的奇函数，则导函数y=/(x)是偶函数；函数y=ym)是可导的偶函数，则导函数y=/(x)是奇函数；结论12：导函数y=/(x)是连续的奇函数，则所有的原函数y=_/(x)都是偶函数；导函数y=/(x)是连续的偶函数，则原函数y=/(x)中只有一个是奇函数；.函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y=_/(x)满足_/(x+a)=/(b—x),则函数y=_/(x)的图象关于直线对称.推论1：如果函数y=_/(x)满足贝a+x)=y(a—x),则函数y=«r)的图象关于直线x=a对称.推论2：如果函数y=/(x)满足1工)=共-x),则函数y=_/(x)的图象关于直线x=0(y轴)对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化.(2)函数的点对称定理2：如果函数y=_/(x)满足/(a+x)+_/(a—x)=26,则函数y=#x)的图象关于点(a,匕)对称.推论1：如果函数y=7(x)满足_/(a+x)+y(a—x)=0,则函数y=y(x)的图象关于点(a,0)对称.推论2：如果函数.丫=丹力满足y(x)+y(—x)=0,则函数y=_/(x)的图象关于原点(0,0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化.(3)两个等价关系若函数y=/(x)关于直线x=a轴对称，则以下三式成立且等价：J[a+x)=f(a—x)ofi2a—x)=ft,x)oJ(2a+x)=J(—x)若函数y=/(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：fia+x)=fa—x)oJ(2a~x)=—fix)<^J(2a+x)=—fi—x)(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是导函数y=/(x)的图象关于点(a,0)中心对称.定理2：可导函数y=/(x)的图象关于点(a,_/(a))中心对称的充要条件是导函数y=/(x)的图象关于直线x~~u对称..函数周期性常用的结论结论1：若_/(x+a)=/(x—a),则_/(x)的一个周期为2a；结论2：若火x+a)=—/(x),则_/(x)的一个周期为2a；

结论3：若;(x+a)+/(x)=c3#0),则共外的一个周期为2出结论4：若/(x)=/(x+a)+/U—a)(aHO),则贝幻的一个周期为6a；结论5：若/(4+。)=六，则/U)的一个周期为2a；结论6：若火x+a)=一焉，则_/(x)的一个周期为2a：结论7：若函数於)关于直线x=a与x=%对称，则_/(x)的一个周期为2|6一a|.结论8：若函数凡¥)关于点(a,0)对称，又关于点(6,0)对称，则/(x)的一个周期为2|b—a|.结论9：若函数人x)关于直线x=a对称，又关于点S，0)对称，则共外的一个周期为4收一a|.结论10：若函数_/(x)可导，并且是周期为T的周期函数，则〃x)也是的周期为7的周期函数；若函数1Ax)可导，其导函数/(x)是周期为7的周期函数，且40)=/(7),则犬x)也是的周期为7的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差.总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一.即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立.【同类问题】题型一函数的奇偶性与周期性.已知函数应0是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<xVl时，｛0=4',则.(一号+/(1)=()A.-2 B.0 C.2 D.1.答案A解析•••函数兀0为定义在R上的奇函数，且周期为2,.1/(1)=-/(-1)=—_/(-1+2)=—/(I),/./(l)=o, =-/(I)=-4；=-2, +/(1)=-2..(2021・全国甲)设函数y(x)的定义域为R,_/(x+l)为奇函数，Ax+2)为偶函数，当XC[1,2]时，犬》)=加+b.若购+43)=6,则隐等于()9 3 八7 5A.一彳 B.-2 C・[ D.22.答案D解析由于/x+1)为奇函数，所以函数凡r)的图象关于点(1,0)对称，即有/(x)+_/(2-x)=0,所以贝1)+"2—1)=0,得贡1)=0,即a+b=0.①，由于Hx+2)为偶函数，所以函数日制的图象关于直线x=2对称，即有火x)-/(4-x)=0,所以10)+/(3)=-/(2)+_/(1)=—4a—6+a+b=-3a=6.②，根据①(②可得。=-2,b=2,所以当xG[l,2]时，火的=一"+2.根据函数人外的图象关于直线x=2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数危)的周期为4,所以/③=於卜一/(1)=2x02—2言.3.已知函数人外为定义在R上的奇函数，/(x+2)是偶函数，且当xG(0,2]时，火x)=x,则/(—2022)+42O23)=( )A.-3 B.-2 C.1 D.0.答案C解析\•函数_/(x+2)是偶函数，函数火x)关于x=2对称，二7(—x+2)=/(x+2), —x+4)=7(x),.\/(x+4)=力一(-x)+4]=次一x)=-/(x),.\/(x+8)=力(x+4)+4]=-/(x+4)=/(x),.•.函数的周期为8, 022)+7(2023)=-y(2O22)+/(2023)=-y(6)+y(7)=/(2)-/(1)=2-1=1..(多选)(2022・威海模拟)函数4x)的定义域为R,若_/(x+l)与hx-l)都是偶函数，贝1]()

A.y(x)是偶函数 B.凡r)是奇函数 C.y(x+3)是偶函数 D.f(x)=J(x+4).答案CD解析1)是偶函数，.；/(—x+l)=/(x+1),从而_/(-x)=_/(x+2). 1)是偶函数，从而贝一x)=;(x-2)..\Ax+2)=/U-2),_/(x+4)=/(x),是以4为周期的周期函数.x—l+4)=y(x—1+4),即_/(—x+3)=/(x+3),.\/(x+3)是偶函数..(多选)已知凡r)为奇函数，且凡r+1)为偶函数，若负1)=0,则()A.人3)=0B.<3)=45)C.J(x+3)=fix-l)D./(x+2)+^+1)=1.答案ABC解析因为函数4x+1)为偶函数，所以—x),又因为负幻是R上的奇函数，所以Ax+l)=/U-x)=-/(x-l),所以_/(x+2)=-Ax),<x+4)=-/(x+2)=/(x),所以"0的周期为4,又因为41)=0,_/(3)=负-1)=-/0)=0,/(5)=^1)=0,故A,B正确；J(x+3)=J(x+3-4)=fix-1),所以C正确；A2)=/(2—4)=/(—2),同时根据奇函数的性质得42)=-/(—2),所以*2),—2)既相等又互为相反数，故火2)=0,所以42)+_/(1)=算1,即_/(*+2)+_/^+1)=1对于8=0不成立，故D不正确..已知_Ax)是定义在R上的奇函数，y(x+l)是偶函数，当XG(2,4)时，y(x)=|x-3|,则_/(1)+_/(2)+_/(3)+14)+…+犬2022)=..答案0解析 为奇函数,y(x+l)为偶函数，.\Xx+l)=/(—x+D=—Ax—1),.\/(x+2)=一凡r),：.J(x+4)=~fi,x+2)=J(x),二函数_/(x)的周期为4,；.贝4)=/(0)=0,13)=_/(—1)=一/(1)=0,即_/U)=0.在儿t+l)=<-x+l)中,令x=l,可得<2)=/(0)=0,.\/(1)+<2)+<3)+贡4)=0..\/U)+_A2)+1/(3)+负4)+…+负2022)=505x［/(l)+y(2)+y(3)+y(4)］+y(l)+y(2)=0..(多选)定义在R上的偶函数犬x)满足y(x+2)=-/(x),且在［-2,0］上单调递减，下面关于犬x)的判断正确的是()A._/(0)是函数的最小值 B.以外的图象关于点(1,0)对称C.4的在［2,4］上单调递增 D./(X)的图象关于直线x=2对称7.答案ABD解析A项，.."(x+2)=-/(尤)=一次一x),.\Ax+4)=-/(x+2)=Ax)=/(-x),，|幻是周期为4的周期函数，又凡¥)在［-2,0］上单调递减，在R上是偶函数，...在［0,2］上单调递增，.\/(0)是函数的最小值，正确；B项，由y(x+2)+y(一幻=0,."(x)的图象关于点(1,0)中心对称，正确；C项，又在［-2,0］上单调递减，在R上是偶函数，...在［0,2］上单调递增，_/(x)是周期为4的周期函数，在［2,4］上单调递减，错误；口项，；兀<:+2)=-/(工)，.7/(工+4)=-/(1+2)=火工)=/(一月，火外的图象关于直线x=2对称，正确.8.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R,值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式7T . jr.答案/(x)=tanx,x/2+E(kGZ)(答案不唯一)解析满足题意的函数为/(x)=tanx,E伙GZ)(答案不唯一)..函数y=_/(x)对任意xGR都有凡r+2)=y(—x)成立，且函数y=_/(x—1)的图象关于点(1,0)对称,41)=4,贝I］火2020)+7(2021)+7(2022)的值为..答案4解析•.•函数y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称，函数yfx)的图象关于原点对称，即函

数Hx)是R上的奇函数，，y(x+2)=-/(x),.,./(x+4)=-y(x+2)=/(x),故Hx)的周期为4...J(2021)=7(505x4+1)=/(1)=4,/(2020)=/(0)=0,负2022)=汽2)=/(0)=0,：.j(2O2O)+/(2021)+/(2022)=4.题型二函数的奇偶性与对称性.已知兀r)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(-1,0)成中心对称的是()A. B.y=(x+l)/(x+l) C.>=欢此+1 D.尸状》)一1.答案B解析构造函数g(x)=M(x),该函数的定义域为R,所以g(-x)=-'/(-x)=-求x)=-g(x),函数g(x)为奇函数，故函数g(x)的图象的对称中心为原点.函数y=(x+iy(x+l)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移I个单位长度，故函数y=(x+l)/(x+l)图象的对称中心为(一1,0)..已知函数代r)是定义域为R的偶函数，且共x)的周期为2,在［-1,0］上单调递增，那么共外在［1,3］上()A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增.答案C解析函数兀V)的周期为2,且_/(x)在［-1，0］上单调递增且为偶函数，...函数"外在［0,I］上单调递减，函数人处在［1,3］上先增后减..已知定义在R上的奇函数八0满足火x+2)=一次幻，且在区间［1,2］上单调递减，令〃=ln2,b=Q)”，c=logi2,则犬。)，艮b),/(c)的大小关系是()2A.1。)勺(c)勺(a) B,^«)<Ac)</(*)C./(c)勺(b)勺(a) D.火c)勺(a)勺(b)12.答案C解析依题意，定义在R上的奇函数/(x)满足负x+2)=-/(x),则_/(x+2)=A—X),即函数_Ax)的图象关于直线x=l对称，且共0)=0.又火x)在区间［1,2］上单调递减，则y(x)在区间［0,1］上单JL调递增，则川)乂).由(Ka=ln2<l,得加)»(0)=0,6=(；)一=木=2,则加)=洲2)=火0)=0,c=k)g；2=-1.则_/(c)=y(-l)=TJ)<0，所以/(c)<K力勺(a).13.定义在R上的奇函数1x),其图象关于点(-2,0)对称，且<x)在［0,2)上单调递增，则()A.火11)勺(⑵勺(21) B.<21)勺(12)勺(11) C.勺(⑵D.y(21)</(ll)<A12).答案A解析函数/(x)的图象关于点(一2,0)对称，.\/(x-4)=-A-x),又"0为定义在R上的奇函数,所以一_A-x)=Ax),所以7(x-4)=Ax),即函数Hx)的周期是4,则真11)=大-1),_/(12)=<0),加1)=火1),，"x)为奇函数，且在［0,2)上单调递增，则兀0在(-2,2)上单调递增，.\/(一1)勺(0)勺U),即川I)勺(⑵勺(21)..写出一个满足y(x)=犬2—x)的偶函数J(x)=..答案COS71X(常数函数也可，答案不唯一)解析取/(X)=COS7TX,证明过程如下：7(X)=COS7LT的定义域为R,由1/(—X)=COS(—7tX)=COS7tx=y(x),故£x)为偶函数，又/(2—x)=cos［兀(2-X)］=COS(2h—7LV)=COSTUC=J(X).题型三函数的周期性与对称性.(多选)已知y(x)的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称且Hx+3)=_/(x-3),当xG［0,3］时，

J(x)=2x+2x-l\,则下列结论正确的是()A.兀0为偶函数 B.儿0在［-6,—3］上单调递减C.«x)的图象关于直线x=3对称 D.fil023)=-715.答案ACD解析对于A,因为/x)的定义域为R,其函数图象关于直线x=-3对称，所以兀1一3)=/(—x-3),又I/(x+3)=/(x-3),所以_/(x+3)=_/(一》一3),所以人(工-3)+3)=/(一(X一3)—3),即"0=fi—x),所以函数为偶函数，故A正确；对于B,因为1/(x+3)=_/(x—3),所以./((x+3)+3)=y((x+3)-3),即"r+6)=/(x),所以函数是周期为6的周期函数，当xd［-6,-3］时，x+6e［0,3］,因为当xe［0,3］时，fix)=2x+2x-U,函数在［0,3］上单调递增，所以当xG［—6,—3］时，fix)=J(x+6)=2"+6+2(x+6)-11,函数在［—6,—3］上单调递增，故B错误；对于C,因为兀0=/(一此，且凡r)的周期为6,所以“r-3)=_/(一(x—3))=/(3-x)=_/(x+3),所以/(x)的图象关于直线x=3对称，故C正确；对于D,023)=7(337x6+1)=/(1),又xG［0,3］时，尺0=2*+2(—11,所以_/(2O23)=/U)=2i+2xl-ll=-7,故D正确..已知定义在R上的函数对任意实数x有凡r+4)=-/(x),若函数凡r-1)的图象关于直线x=1对称，1)=2,贝1］火2025)=..答案2解析由函数y=*x-l)的图象关于直线x=l对称可知，函数儿0的图象关于y轴对称，故.氏x)为偶函数.又由y(x+4)=—Ax),得y(x+4+4)=—/(x+4)=/(x), 是周期为8的偶函数..\/(2025)=/U+253x8)=/U)=H—l)=2..已知偶函数兀0满足«r)+_/(2—x)=0,下列说法正确的是()A.函数人x)是以2为周期的周期函数 B.函数*x)是以4为周期的周期函数C.函数_/(x+2)为偶函数 D.函数兀r—3)为偶函数17.答案BC解析依题意知Hx)是偶函数，且/(x)+/(2—x)=0,J(x)=~fi.2-x)=—fix—2),所以A错误.y(x)=-/(x-2)=-［-/(x-2-2)］=/(x-4),所以B正确.j(x+2)=j(x-2+4)=j［x-2)=J(-(x-2))=fi-x+2),所以函数及+2)为偶函数,C正确.若/(x-3)是偶函数，则凡r-3)=/(-x-3)=/(x+3),则函数凡0是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以火x—3)不是偶函数.D错误.18.已知定义在R上的函数於)满足负一x)=一/(x),y(l+x)=/U—x),当xG［-l，1］时，危)=丁一3口则7(2023)等于()A.1 B.-2 C.-1 D.2.答案D解析由题意知，函数Hx)满足/(l+x)=/U-x),可得火x)的图象关于直线x=l对称，又由H-x)=-/(x),可得凡r)的图象关于点(0,0)对称，所以函数凡0是周期为4的函数，所以023)=;(-1),因为当 1］时，4*)=V一3居则男2023)=火-1)=2..已知函数段)满足必+2)的图象关于直线*=一2对称,且%+2)=点,当20W3时,/W=log2(x+?),则了(%的值为()A.2 B.3 C.4 D.6.答案B解析因为«x+2)的图象关于直线x=-2对称，所以风。的图象关于直线x=0对称，即函

数段)为偶函数，因为於+2)=表，所以函数外)是周期函数，且7=4,所以/(罢)=/(108+|)=/(|)=/(一l)=/(T+4)=/(l)=log2(l+芸)=3..设函数y(x)为定义在R上的函数，对VxGR都有：y(x)=/(—x)，40=/(2—x)；且函数_/(x)对Vx”X2G［0,1］,X1¥X2，有“:U：”>0成立，设a=/(2：23),/,=^iOg43),c=f(-g,则a,b,c的大小关系为..答案c<a<b解析 一》)，兀0=/(2—x),."(x+2)=/(2—(x+2))=/(—x)=/v),又♦..对Vxi,*2丘［0,1］,X#X2,有个二个>0成立,•••函数y(x)为偶函数、周期为2,在［0,1］上单调递增，...,=/(—；)