湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-11解答题（提升题）

湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-11解答题(提升题)一.反比例函数综合题(共1小题)(2022•衡阳)如图，反比例函数y=典的图象与一次函数y=Ax+6的图象相交于A(3,1),x8(-1,〃)两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)设直线A8交y轴于点C,点M,N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点〃的坐标.二.二次函数综合题(共5小题)(2022•湘西州)定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”,如图①,抛物线Ci：y=7+2x-3与抛物线C2：y=ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(-3,0)、8(点8在点A右侧)，与y轴的交点分别为G、H(0,-1).(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标.(2)点/是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MNLx轴于点N,交抛物线C2于点D,求线段MN与线段QM的长度的比值.(3)如图②，点E是点”关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在x轴上是否存在点F,使得/G是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(2022•张家界)如图，已知抛物线y=a?+6x+3(a#0)的图象与x轴交于A(1,0),B(4,0)两点，与)，轴交于点C,点。为抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数表达式及点。的坐标:(2)若四边形8CE尸为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止.当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间r的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点尸，点G是点尸关于点。的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象上的动点.若过点Q的直线/：y=kx+m(因＜9)与抛物线只有一个公共4点，且分别与线段GA、GB相交于点，、K,求证：G”+GK为定值.(2022•长沙)若关于x的函数y,当lJlWxWh工时，函数y的最大值为最小值为

2 2N,令函数人=4_,我们不妨把函数〃称之为函数y的''共同体函数”.(1)①若函数y=4044x,当t=l时，求函数y的''共同体函数”力的值；②若函数.丫=丘+%(AWO,k,b为常数)，求函数y的''共同体函数”6的解析式；(2)若函数y=2(x2l),求函数y的“共同体函数”〃的最大值；x(3)若函数y=-/+4x+&,是否存在实数%,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“6的最小值.若存在，求出”的值；若不存在，请说明理由.(2022•永州)己知关于x的函数(1)若。=1,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,1),求该函数的表达式和最小值;(2)若a=l,b=-2,c=m+\Ht，函数的图象与x轴有交点，求m的取值范围.(3)阅读下面材料：设a>0,函数图象与x轴有两个不同的交点A,B,若A,B两点均在原点左侧，探究系数a,b,c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以△—b2-4ac>0；②因为4,B两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c>0；③上述两个条件还不能确保A,B两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需--L<0.2a综上所述，系数a,b,c应满足的条件可归纳为：'a>0△=b2-4ac5*0'c>0请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数的图象在直线x=l的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.(2022•岳阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线Fi：y=/+bx+c经过点A(-3,0)和点B(1,0).(1)求抛物线F\的解析式；(2)如图2,作抛物线尸2,使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线尸2的解析式；(3)如图3,将(2)中抛物线F1向上平移2个单位，得到抛物线尸3,抛物线F\与抛物线尸3相交于C,。两点(点C在点。的左侧).①求点C和点D的坐标；

②若点M,N分别为抛物线Fi和抛物线F3上C,。之间的动点（点M,N与点C,。不重合），试求四边形CMZJN面积的最大值.三.三角形综合题（共1小题）（2022•湘潭）在△4BC中，NBAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,过点B、C分别作/的垂线，垂足分别为点。、E.（1）特例体验：如图①，若直线/〃BC,AB=AC=&,分别求出线段8。、CE和DE的长；（2）规律探究：（I）如图②，若直线/从图①状态开始绕点A旋转a（0<a<45°）,请探究线段8£>、CE和OE的数量关系并说明理由；（II）如图③，若直线/从图①状态开始绕点A顺时针旋转a（45°<a<90°）,与线段BC相交于点”，请再探线段8。、CE和0E的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中，延长线段8。交线段AC于点凡若CE=3,DE=\,求心BFC.BFC.四.四边形综合题（共1小题）（2022•衡阳）如图，在菱形A8CO中，AB=4,NBAD=60°,点尸从点A出发，沿线段AD以每秒I个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQLAB于点Q,作PMLA。交直线A8于点M,交直线BC于点F,设△PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为5(平方单位)，点尸运动时间为r(秒).(1)当点”与点5重合时，求f的值；(2)当，为何值时，/XAP。与全等：(3)求S与，的函数关系式；(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE,当2W/W4时，求点E运动路径的长.F湖南省各地区2022年中考数学真题按题型难易度分层分类汇编-11解答题(提升题)参考答案与试题解析一.反比例函数综合题(共1小题)(2022•衡阳)如图，反比例函数丫=四的图象与一次函数丫=履+。的图象相交于4(3,1),x8(-1,〃)两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式：(2)设直线AB交)，轴于点C,点、M,N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标.1=—,3••m1—3,反比例函数关系式为y=3：X把8(-I,〃)代入y=3得:X3Qn=-^-=-3,-1：.B(-1,-3),将A(3,1),8(-1,-3)代入y=G+〃得:

3k+b=l-k+b=-3解得k=l解得k=lb=-2二一次函数的关系式为y=x-2；答：反比例函数关系式为y=答：反比例函数关系式为y=一次函数的关系式为y=x-2；(2)在y=x-2中，令x=0得y=-2,：.C(0,-2),设M(m,3),N(n,n-2),而。(0,0),m,/四边形OCNM是平行四边形，：.CM.ON为对角线，它们的中点重合，0+m=n+0< 3 ，-2L=n-2+0m解得（唾或（甲幸,In=V3In=W3.♦.M（百，百）或（-百，-V3）;二.二次函数综合题（共5小题）（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”,如图①，抛物线Ci：y=?+2x-3与抛物线C2：y=ar+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线Ci和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（-3,0）、8（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0,-1）.（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标.（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MNLr轴于点M交抛物线C2于点D,求线段MN与线段QM的长度的比值.（3）如图②，点E是点”关于抛物线对称轴的对称点，连接EG,在x轴上是否存在点F,使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】解：(1)将4(-3,0)、”(0,-1)代入丫=—+2以+0中,.(9a-6a+c=0Ic="l'二解得c=~ly=-1,“3 3在y=7+2x-3中，令x=0,则y=-3,：.G(0,-3)；(2)设M(t,?+2r-3),则£>(/,工?+4-1),N(t,0),33：.NM=-t2-2f+3,DM=-1-(?+2r-3)=- -_lf+2,33 3 3.MN=-&2+253)=3DM-4(t2+2t-3)2(3)存在点F,使得是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由(1)可得y=x1+2x-3的对称轴为直线x=-1,点与，点关于对称轴》=-1对称，：.E(-2,-1),设F(x,0),①当七6=石产时，VG(0,-3),:.EG=2近,2近=V(x+2)2+1'x=V7-2^x=-V7-2.

：.F(V7-2,0)或(--2,0)；②当EG=R7时，2&=«+*2,此时x无解:综上所述：F点坐标为（々-2,0）或（-b-2,0）.（2022•张家界）如图，已知抛物线yuo?+fec+S（aWO）的图象与x轴交于A（1,0）,B（4,0）两点，与y轴交于点C,点。为抛物线的顶点.（1）求抛物线的函数表达式及点。的坐标;（2）若四边形BCEF为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点尸运动，一点到达终点，另一点随之停止.当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间r的值;（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P,点G是点P关于点。的对称点，点。是x轴下方抛物线图象上的动点.若过点。的直线/：y=kx+m（因＜9）与抛物线只有一个公共4点，且分别与线段GA、G8相交于点，、K,求证：G//+GK为定值.【解答】解：【解答】解：（1）设二次函数表达式为：将A(1,0)、B(4,0)代入 得:(a+b+3=0I16a+4b+3=0解得，＜3_解得，＜15

x+3‘...抛物线的函数表达式为：v=lx2x+3‘TOC\o"1-5"\h\zy4 415 3 >15.2-t-R24X—X3-(^-)

v••b_ 4 54ac-b"_ 4 4 27--27-9X3.-2, ,x3, 一飞'24 4X4...顶点为。(5,二Z)；、2 16f(2)依题意，，秒后点M的运动距离为CM=f,则ME=3-f,点N的运动距离为E7V=2r.①当AEMNsAOBC时,・3-t2t• =—»4 3解得r=_L；11②当AEMNs丛OCB时,-3-t2t••二3 4解得r=A；5综上所述，当t—上或t*'时，以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似;11 5(3)•••点2塔，0)关于点。得，磊)的对称点为点G,••靖,7216•.•直线/：y=kx+m(|k|<*)与抛物线图象只有一个公共点,*和2与"3士『只有一个实数解，・\△=0,即：[-G^+k)] (3-m)=0直线GB的解析式为：直线GB的解析式为：y=-5.利用待定系数法可得直线GA的解析式为：丫=-1X港.y4 4联立，..144联立，..144-315)2y=kxH 9 9y—q,结合已知Ik|<-1'解得：m=做+2.1.,12同理可得：XK=^!雪，12则：= =(5佻+红)X叵,GK=Ja告：(^39_5.)XTOC\o"1-5"\h\zsinZAGP、2 12' 4sinZBGP'12 2，V971,4 _ _ _：.GH+GK=&一佻+21)V5L+("’39.二)二^7=、2 12' 4 '12 2， 4 8.•.G//+GK的值为对亚.84.(2022•长沙)若关于x的函数y,当r- 时，函数y的最大值为M,最小值为\o"CurrentDocument"2 2N,令函数/|=JL义，我们不妨把函数〃称之为函数y的''共同体函数”.2 '(1)①若函数y=4044x,当f=l时，求函数y的“共同体函数”〃的值；②若函数丫=履+6(AW0,k,b为常数)，求函数y的''共同体函数”〃的解析式；(2)若函数y=2(x2D,求函数y的“共同体函数”〃的最大值；x(3)若函数y=-/+4x+A,是否存在实数上使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”〃的最小值.若存在，求出上的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：⑴①：r=l.•函数y=4044x,二函数的最大值M=6066,函数的最小值N=2022,.,.A=2022；②当Jt>0时，函数y=kx+b在r- 有最大值M=kt+l-k+b,有最小值N=kt2 2 2-lk+b,22当k<0时，函数y=kx+b在f-工有最大值M=kt-Lk+b,有最小值N=2 2 2kt+^k+b,2：.h=-工；2综上所述：/j=|Aa|；2(2) 即彦旦，TOC\o"1-5"\h\z2 2函数y=2(x2l)最大值何=—2/，最小值%=一、V 1 1t生当尸旦时，力有最大值工：2 2(3)存在实数k,使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数'7的最小值，理由如下：Vy=-x2+4x+k="(x-2)2+4+k,二函数的对称轴为直线x=2,y的最大值为4+A,①当2<L工时，即TOC\o"1-5"\h\z2 2此时M=-(/-A-2)2+4+k,N=-(z+_l-2)2+4+4,2 2：.h=t-2,此时h的最小值为工；2②当什!<2时，即2 2此时N=-(/-A-2)2+4+k,M=-(r+A-2)2+4+%2 2：・h=2-f,此时h的最小值为工；2③当r-』W20,即2WW互,TOC\o"1-5"\h\z2 2此时N=-(r+A-2)2+4+k,M=4+k,2;.h=~L(/-J.)2,2 2④当 即S〈r<2,2 2此时N=-(z-A-2)2+4+*,M=4+k,2A=-l(z-5)2,

2 2〃的函数图象如图所示：〃的最小值为8由题意可得」■=4+&,8解得k=-21；8综上所述：A的值为-31.(1)若。=1,函数的图象经过点(1,-4)和点(2,1),求该函数的表达式和最小值;(2)若a=l,b=-2,c=/m+1时，函数的图象与x轴有交点，求/n的取值范围.(3)阅读下面材料：设a>0,函数图象与x轴有两个不同的交点4,B,若4,8两点均在原点左侧，探究系数a,b,c应满足的条件，根据函数图象，思考以下三个方面：①因为函数的图象与x轴有两个不同的交点，所以A=h2-4ac>0；②因为A,8两点在原点左侧，所以x=0对应图象上的点在x轴上方，即c>0；③上述两个条件还不能确保A,8两点均在原点左侧，我们可以通过抛物线的对称轴位置来进一步限制抛物线的位置：即需一且<0.2a综上所述，系数4,b,C应满足的条件可归纳为:'a>0△=h>2-4ac>0'c>0普<0/a请根据上面阅读材料，类比解决下面问题：若函数y=a?-2x+3的图象在直线x=l的右侧与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.l+b+c=-4【解答】解：(1)根据题意得<4+2b+c=l，a=l\=1解得<b=2，,c=-7...y=f+2x-7=(x+1)2-8,.,.该函数的表达式为丫=/+力:-7或、=(x+1)2-8,当x=l时，y的最小值为0；(2)根据题意得y=7-2x+m+l,•••函数的图象与x轴有交点，A=b2-4ac=(-2)2-4(w+1)》O,解得：w^O；(3)根据题意得到y=o？-2x+3的图象如图所示，•抛物线丫=«？-2x+3经过(0,3),，如图1,\<0ra<0(-2)2-12a>0，，即,云<13a>1a-2+3>0a>-1：.a的值不存在；如图2,如图3不成立;如图4,

\>0(-2)2-12a>0言■>】a-2+3<0%>0a<《3%>0a<《3a<1a<-1'a>0(-2)2-12a=0子>1Naa-2+3>0'a>0(-2)2-12a=0子>1Naa-2+3>0a>0即'1a<1a>-1Aa的值为2:3如图6,当a=0时，函数解析式为y=-2x+3,函数与x轴的交点为(1.5,0),：.a=Q成立；6.(2022•岳阳)如图1,在平面直角坐标系xOy中，抛物线Fi：y=/+bx+c经过点A(-3,0)和点B(1,0).(1)求抛物线F\的解析式；(2)如图2,作抛物线尸2,使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线尸2的解析式；(3)如图3,将(2)中抛物线F1向上平移2个单位，得到抛物线尸3,抛物线Fl与抛物线尸3相交于C,。两点(点C在点。的左侧).①求点C和点D的坐标；

②若点M,N分别为抛物线Fi和抛物线F3上C,。之间的动点（点M,N与点C,。不重合），试求四边形CMZJN面积的最大值.【解答】解：(1)将点4(-3,0)和点8(1,0)代入y=/+fcr+c,.f9-3b+c=01l+b+c=0解得产2,c=-3.'.y=/+2x-3；2)"：y=x1+2x-3=(x+1)2-4,，抛物线的顶点(-1,-4),•.•顶点(-1,-4)关于原点的对称点为(1,4),二抛物线F2的解析式为y=-(x-1)2+4,•"•y=~+2x+3；(3)由题意可得，抛物线尸3的解析式为y=-(x-1)2+6=-/+2r+5,, 2①联立方程组y=-x+2x+5,,y=x2+2x~3解得x=2或、=-2,：.C(-2,-3)或。(2,5)；②设直线CD的解析式为y=kx+b,.f-2k+b=-3'l2k+b=5'解得『=2,lb=l，y=2x+l,过点M作MF//y轴交CD于点F,过点N作NE//y轴交于点E,设M(zn,/n2+2/n-3)»N(n,-n2+2w4-5),则F(m,2m+l),E(〃，2〃+l),J.MF=2m^\-("+2机-3)=-n12+4,NE=-n2+2n+5-In-1=-n2+4,V-2</n<2,-2<n<2,・•・当〃7=0时，Mr有最大值4,当〃=0时，NE有最大值4,•：s1nHi%cmdn=SaCDN+SaCDM=Lx4X(MF+NE)=2(MF+NE),2...当MF+NE最大时，四边形CMCN面积的最大值为16.三.三角形综合题(共1小题)7.(2022•湘潭)在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,过点8、C分别作/的垂线，垂足分别为点。、E.(1)特例体验：如图①，若直线/〃BC,AB=AC=&,分别求出线段8。、CE和DE的长；(2)规律探究：(I)如图②，若直线/从图①状态开始绕点A旋转a(0<a<45°),请探究线段B£>、CE和OE的数量关系并说明理由；(II)如图③，若直线/从图①状态开始绕点4顺时针旋转a(45°<a<90°),与线段BC相交于点”，请再探线段B。、CE和OE的数量关系并说明理由：

(3)尝试应用：在图③中，延长线段80交线段AC于点凡若CE=3,DE=1,求必BFC.图③图③【解答】解：(1)在△ABC中，Z8AC=90°,AB=AC,；./ABC=NACB=45°,'：l//BC,/D4B=/ABC=90°,NC4E=N4C8=45°,：.ZDAB=ZABD=45°,NEAC=NACE=45°,：.AD^BD,AE=CE,：A8=4C=我，AD=50=46=CE=1,：.DE=2；(2)(I)DE=BD+CE.理由如下：在Rtz\ACB中，ZABD+ZBAD^90°,V90°,：.ZBAD+ZCAE=90°,NABD=NCAE,在△ABO和△C4E中，rZABD=ZCAE-ZBDA=ZAEC=906>AB=AC/.△ △CAE(AAS)；:.CE=AD,BD=AE,DE=AE+AD^BD+CE.(II)DE=BD-CE.理由如下：在 中，ZABD+ZBAD=90°,VZBAC=90",，NBAO+/CAE=90°,:.ZABD=ZCAE,在△A8D和△CAE中，fZABD=ZCAE，ZBDA=ZAEC=90°.AB=AC，△AB*△CAE（AAS）；：.CE=AD,BD=AE,：.DE=AE