《高等数学A》教学大纲

《高等数学A》教学大纲适用范围：2018版本科人才培养方案课程代码：13110011/13110021课程性质：通识教育必修课学分：11学分学时：176学时先修课程：初等数学后续课程：概率论与数理统计等适用专业：金融数学本科专业教材：《高等数学》（第七版），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2014开课单位：基础部一、课程的性质与任务课程性质：本课程是金融数学本科专业学生必修的重要基础理论课。课程任务：通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、向量代数与空间解析几何等近代数学方面的基本知识、基本理论和基本技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。同时，本课程着重培养学生的逻辑思维能力，空间想象能力，熟练的运算能力，分析问题、解决问题的能力，并通过该课程的学习使学生具有数学建模的基本思想。二、课程的基本内容及要求（一）函数与极限1．课程教学内容（1）映射与函数；（2）数列的极限；函数的极限；（3）无穷大与无穷小，无穷小的比较；（4）极限的运算法则，极限存在法则，两个重要极限；（5）函数的连续性与间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性；（6）闭区间上连续函数的性质。2．课程重点难点重点:函数的概念；复合函数的概念；极限的概念；函数连续的概念；极限运算法则和两个重要极限。难点:复合函数与分段函数的概念；函数的极限；无穷小的比较；判断间断点的类型；求极限。3．课程教学要求（1）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解，了解函数性质；（2）理解复合函数的概念，了解反函数的概念；（3）会建立简单实际问题中的函数关系式；（4）理解极限的概念，了解极限的、定义；（5）掌握极限的四则运算法则，会用变量代换求某些简单的复合函数的极限；（6）了解极限的性质和两个存在准则；掌握用两个重要极限公式求极限的方法；（7）了解无穷小、无穷大、高阶无穷小和等价无穷小的概念，会用等价无穷小替换求极限；（8）理解函数连续的概念；（9）了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型；（10）了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。（二）导数与微分1．课程教学内容（1）导数的概念，函数的求导法则；（2）高阶导数；（3）隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率；（4）函数的微分。2．课程重点难点重点:导数的概念及其几何意义；基本初等函数的求导公式；微分的概念；导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。难点:导数、微分的概念；复合函数的求导；隐函数和参数方程所确定的函数的导数的求法；实际问题中的变化率的描述。3．课程教学要求（1）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系；（2）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率；（3）掌握基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，了解反函数的求导法则，会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶导数以及这两类函数中比较简单的二阶导数，会解一些简单实际问题中的相关变化率问题；（4）理解微分的概念，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性；（5）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。（三）微分中值定理与导数的应用1．课程教学内容（1）微分中值定理；洛必达法则；（2）泰勒公式；（3）函数的单调性与曲线的凹凸性；（4）函数的极值与最大值最小值；（5）函数图形的描绘；曲率。2．课程重点难点重点:罗尔定理；拉格朗日中值定理；函数极值；利用导数判断函数的单调性和求极值。难点:中值定理；求未定式的极限；求最大值、最小值的应用问题。3．课程教学要求（1）理解罗尔定理和拉格朗日中值定理，掌握这两个定理的简单应用，了解柯西中值定理；（2）会用洛必达法则求未定式的极限；（3）了解泰勒中值定理以及用多项式逼近函数的思想；（4）理解函数的极值概念，掌握利用导数判断函数的单调性和求极值的方法，会求较简单的最大值和最小值的应用问题；（5）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形；（6）了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。（四）不定积分1．课程教学内容（1）不定积分的概念与性质；（2）换元积分法；分部积分法；（3）有理函数的积分；积分表的使用。2．课程重点难点重点:原函数与不定积分的概念，不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法。难点:换元积分法和分部积分法，有理函数的积分，三角有理式的积分，简单无理函数的积分。3．课程教学要求（1）理解原函数与不定积分的概念，了解不定积分的性质，掌握不定积分的基本公式；（2）掌握不定积分的换元积分法和分部积分法；（3）会求有理函数及可化为有理函数的积分。（五）定积分1．课程教学内容（1）定积分的概念与性质；（2）微积分基本公式；（3）定积分的换元积分法与分部积分法；（4）反常积分。2．课程重点难点重点:定积分的概念和几何意义，变上限积分函数及其求导定理，牛顿─莱布尼兹公式，定积分的换元积分法和分部积分法。难点:定积分的概念，变上限积分函数的求导，反常积分的概念，换元积分法和分部积分法。3．课程教学要求（1）理解定积分的概念和几何意义；（2）理解积分上限的函数及其求导定理，掌握牛顿─莱布尼兹公式；（3）掌握定积分的换元法和分部积分法；（4）了解两类反常积分的概念，会计算简单反常积分。（六）定积分的应用1．课程教学内容（1）定积分的元素法；（2）定积分在几何学上的应用；（3）定积分在物理学上的应用。2．课程重点难点重点:定积分的元素法。难点:定积分的元素法，求平面图形的面积、弧长，旋转体的体积，物理上的应用问题。3．课程教学要求理解科学技术问题中建立定积分表达式的元素法的思想，会建立某些简单几何量和物理量的积分表达式。（七）

向量代数与空间解析几何1．课程教学内容（1）向量及其线性运算，数量积，向量积，混合积；（2）平面及其方程，空间直线及其方程；（3）曲面及其方程，空间曲线及其方程。2．课程重点难点重点:空间直角坐标系的概念，向量的概念，坐标表示的向量运算，平面方程和直线方程。难点:平面方程、直线方程的求法。3．课程教学要求（1）理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示；（2）掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；（4）了解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的图形及其投影，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面的方程；（5）了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程；（6）掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。（八）多元函数微分法及其应用1．课程教学内容（1）多元函数的基本概念；（2）偏导数；全微分；（3）多元复合函数的求导法则；隐函数的求导公式；（4）多元函数微分学的几何应用；方向导数与梯度；（5）多元函数的极值及其求法。2．课程重点难点重点:二元函数的概念；二元函数偏导数与全微分的概念；复合函数一阶偏导数的求法；二元函数极值与条件极值。难点:复合函数的偏导数的求法。3．课程教学要求（1）理解二元函数的概念，了解多元函数的概念；（2）了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质；（3）理解偏导数与全微分的概念，会求偏导数，了解全微分存在的必要条件和充分条件；（4）了解一元向量值函数及其导数的概念与计算方法；（5）了解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法；（6）掌握复合函数一阶偏导数的求法，掌握全微分的求法。会求复合函数的二阶偏导数，会求隐函数的一阶偏导数；（7）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求它们的方程；（8）理解二元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值的求法，掌握求条件极值的拉格朗日数乘法，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。（九）重积分1．课程教学内容（1）二重积分的概念与性质，二重积分的计算法；（2）三重积分；（3）重积分的应用。2．课程重点难点重点:二重积分的概念，二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法。难点:二重积分在直角坐标系、极坐标系下的计算方法，二重积分的实际应用，三重积分的计算。3．课程教学要求（1）理解二重积分概念，了解三重积分的概念，了解重积分的性质。（2）掌握二重积分的计算方法，会计算简单的三重积分。（3）会用重积分计算平面图形的面积、立体的体积以及曲面的面积等一些几何量，会用重积分计算质量、重心、转动惯量、引力等物理量。（十）曲线积分与曲面积分1．课程教学内容（1）对弧长的曲线积分；对坐标的曲线积分；（2）格林公式及其应用；（3）对面积的曲面积分；对坐标的曲面积分；（4）高斯公式；斯托克斯公式。2．课程重点难点重点:两类曲线积分、曲面积分的概念，格林公式。难点:曲线积分、曲面积分的概念。3．课程教学要求（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分；（2）掌握格林公式并会用平面曲线积分与路径无关的条件，了解第二类平面曲线积分与路径无关的物理意义，会求全微分的原函数；（3）了解两类曲面积分的概念，了解两类曲面积分的性质及二者的关系，会计算两类曲面积分；（4）了解高斯公式，会利用高斯公式计算积分，了解斯托克斯公式。（十一）无穷级数1．课程教学内容（1）常数项级数的概念和性质；（2）常数项级数的审敛法；（3）幂级数；（4）函数展开成幂级数，函数的幂级数展开式的应用；（5）傅里叶级数，一般周期性函数的傅里叶级数。2．课程重点难点重点:正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径及收敛区间的求法，间接展开法把简单的函数展开成泰勒级数。难点:级数敛散性的概念及判定；级数的绝对收敛与条件收敛的判定；把函数展开成幂级数。3．课程教学要求（1）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件；（2）了解正项级数的比较审敛法以及几何级数、级数的敛散性，掌握正项级数的审敛法；（3）了解交错级数的莱布尼兹定理，了解绝对收敛与条件收敛的概念以及二者的关系；（4）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握简单幂级数的收敛半径、收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会利用幂级数的性质求和；（5）会利用、、、、的麦克劳林展开式将一些简单的函数展开成幂级数；（6）了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。（7）了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。课程学时分配教学章节理论实践（验）讨论、习题一、函数与极限142二、导数与微分122三、微分中值定理与导数的应用142四、不定积分142五、定积分122六、定积分的应用102七、向量代数与空间解析几何142八、多元函数微分法及其应用142九、重积分142十、

曲线积分与曲面积分202十一、无穷级数162总计15422四、课程考核方式与要求考核方式：本课程主要以作业评价、课堂讨论、阶段测验、期末考试等方式对学生进行考核评价。考核基本要求：考核总成绩由期末试卷成绩和过程性评价成绩组成。其中：期末试卷成绩为100分（权重60%），试题类型为填空题、选择题、计算题和综合题等类型，试卷中基本知识、基本理论、基本技能占70%左右，综合应用题占30%左右；作业评价、课堂讨论、阶段测验等过程性评价成绩为100分（权重40%）；过程性评价和考试试题分值分配应与教学大纲各章节的学时基本成比例。五、课程资源库1.同济大学数学系.高等数学附册—学习辅导与习题选解(同济·第7版).\o"学苑出版社"高等教育出版社.2014．2.苏德矿，应文隆.

高等数学学习辅导讲义.\o"学苑出版社"浙江大学出版社.2016．3.JamesStewart（白峰杉译）.

微积分.\o"学苑出版社"高等教育出版社.2004．4.郭鹏云，

云文在，

田强，

陈向华，

宋志平.不定积分解法研究.大学数学，2012年，第3期．5.张景中.定积分的公理化定义方法.广州大学学报（自然科学版），2007年，第6期．6.黄炜.tanz,cotz,secz,cscz幂级数展开式的几种简明求法.首都师范大学学报（自然科学版），2018年，第2期．7.M.R.Capobianco,

G.Criscuolo.Ontheapproximationbyproductrulesofweaklysingulardoubleintegrals