新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法 新人教B必修1

2.2.3一元二次不等式的解法整理ppt整理ppt1.一元二次不等式的概念形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等.整理ppt【思考】(1)不等式x2+>0是一元二次不等式吗？提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式.(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？提示：不可以，若a=0，就不是二次不等式了.整理ppt2.一元二次不等式的解法(1)因式分解法：如果x1<x2，则不等式(x-x1)(x-x2)<0的解集是(x1，x2)；不等式(x-x1)(x-x2)>0的解集是(-∞，x1)∪(x2，+∞).整理ppt(2)配方法：一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式，再由k值情况，可得原不等式的解集，如下表：整理pptk>0k=0k<0(x-h)2>k转化为|x-h|>，解集为(-∞，h-)∪(h+，+∞)(-∞，h)∪(h，+∞)R(x-h)2<k转化为|x-h|<，解集为(h-，h+)⌀⌀整理ppt【思考】(1)因式分解法的实质是什么？提示：通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解.(2)配方法的实质是什么？提示：通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解.整理ppt【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)mx2-5x<0是一元二次不等式. (

)(2)若方程ax2+bx+c=0可以变形为a(x-1)(x+1)=0，则ax2+bx+c<0的解集为(-1，1). (

)整理ppt(3)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式. (

)整理ppt提示：(1)×.当m=0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式.(2)×.当a>0时，ax2+bx+c<0的解集为(-1，1).(3)√.整理ppt2.不等式2x≤x2+1的解集为 (

)A.∅ B.RC.{x|x≠1} D.{x|x>1或x<-1}【解析】选B.2x≤x2+1⇔x2-2x+1≥0⇔(x-1)2≥0，所以x∈R.整理ppt3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为________.

【解析】原不等式可化为，所以，所以原不等式的解集为.答案：

整理ppt类型一解一元二次不等式角度1因式分解法【典例】已知集合A={x|x2-x-2>0}，则∁RA= (

)世纪金榜导学号A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}整理ppt【思维·引】解一元二次不等式可得集合A，再求其补集即可.【解析】选B.由x2-x-2>0左边因式分解得(x+1)(x-2)>0，解得x<-1或x>2，则A={x|x<-1或x>2}，所以∁RA={x|-1≤x≤2}.整理ppt【素养·探】本例考查一元二次不等式的解法与集合的运算，同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.本例若改为：设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，则A∩B= (

)整理ppt【解析】选D.由x2-4x+3<0，得(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，所以A=(1，3).由2x-3>0，解得x>，所以B=.所以A∩B=.整理ppt角度2配方法【典例】解下列不等式(1)3x2-5x-2<0.(2)-x2+6x-10>0.【思维·引】用配方法解答.整理ppt【解析】(1)原不等式可化为，因为，所以原不等式可化为，两边开平方得，所以，即，所以原不等式的解集为.整理ppt(2)原不等式可化为x2-6x+10<0，因为x2-6x+10=(x-3)2+1，所以原不等式可化为(x-3)2<-1，因为(x-3)2≥0恒成立，故原不等式的解集为⌀.整理ppt【类题·通】利用配方法解一元二次不等式的步骤：(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1.(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h)2>k或(x-h)2<k的形式.(3)根据k值情况确定不等式的解集.整理ppt【习练·破】1.(2019·天津高考)设x∈R，使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为________.

【解析】3x2+x-2<0，即(x+1)(3x-2)<0，即-1<x<，故x的取值范围是.答案：

整理ppt2.解下列不等式(1)-3x2+6x≤2.(2)4x2-12x+9>0.整理ppt【解析】(1)原不等式可化为，因为，所以原不等式可化为，两边开平方得，所以，所以原不等式的解集为.整理ppt(2)原不等式可化为x2-3x+>0，因为，所以原不等式可化为，所以只要，不等式即成立，所以原不等式的解集为.整理ppt【加练·固】解不等式(1)2x2-3x-2<0.(2)x2-2x+2>0.整理ppt【解析】(1)由2x2-3x-2<0得(x-2)(2x+1)<0，解得-<x<2，所以原不等式的解集为.(2)因为x2-2x+2=(x-1)2+1，所以原不等式可化为(x-1)2>-1，显然成立，所以原不等式的解集为R.整理ppt类型二解简单的分式不等式【典例】1.不等式>0的解集是________.

2.解不等式≤2. 世纪金榜导学号【思维·引】先把分式不等式转化为整式不等式后再求解.整理ppt【解析】1.因为>0，所以(x-2)(x+4)<0，故-4<x<2.答案：

整理ppt2.由题意x-2≠0，所以(x-2)2>0原不等式两边同乘以(x-2)2得：(x+1)(x-2)≤2(x-2)2且x-2≠0，即(x-2)(-x+5)≤0，所以(x-2)(x-5)≥0，所以x<2或x≥5，所以原不等式的解集为：(-∞，2)∪[5，+∞).整理ppt【内化·悟】1.解分式不等式的思想方法是什么？提示：转化思想.2.解分式不等式要注意什么？提示：分母不为零.整理ppt【类题·通】解分式不等式的关注点(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：①>0⇔f(x)g(x)>0；②<0⇔f(x)g(x)<0；整理ppt③≥0⇔f(x)g(x)≥0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)>0或f(x)=0；④≤0⇔f(x)g(x)≤0且g(x)≠0⇔f(x)g(x)<0或f(x)=0.整理ppt(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解.整理ppt【习练·破】不等式≥0的解集为 (

)整理ppt【解析】选C.原不等式等价于(x-1)(2x+1)>0或x-1=0，解得x<-或x>1或x=1，所以原不等式的解集为.整理ppt【加练·固】解不等式>1.【解析】由题意x+3≠0，所以(x+3)2>0，原不等式两边同乘以(x+3)2得：(2-x)(x+3)>(x+3)2且x+3≠0，即(x+3)(-2x-1)>0，所以(x+3)(2x+1)<0，故-3<x<-，故原不等式的解集为.整理ppt类型三一元二次不等式的实际应用【典例】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点. 世纪金榜导学号整理ppt(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式.(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.整理ppt【思维·引】由题意构建函数关系或不等式解决问题.整理ppt【解析】(1)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为200a(1+2x%).依题意：y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0<x<10).整理ppt(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).依题意得：a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%，化简得，x2+40x-84≤0，所以-42≤x≤2.又因为0<x<10，所以0<x≤2.所以x的取值范围是{x|0<x≤2}.整理ppt【内化·悟】求实际应用问题中未知数的取值范围，应注意什么隐含信息？提示：应注意未知数具有的“实际含义”，隐含着其取值范围的限制.整理ppt【类题·通】解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系.(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.(3)求：解不等式.整理ppt(4)答：回答实际问题.特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.整理ppt【习练·破】某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24).(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？整理ppt(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？整理ppt【解析】(1)设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则y=400+60t-120(0≤t≤24).令x=，则t=，所以y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12)，所以当x=6，即t=6时，ymin=40，整理ppt即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨.整理ppt(2)由已知400+10x2-120x<80，得x2-12x+32<0，解得4<x<8，即，而，所以每天约有8小时供水紧张.整理ppt【加练·固】

有一批净水机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销整理ppt售.某单位需购买一批此类净水机