(完整版)高等数学笔记

定义域:D(f), 值域:Z(f).2.分段函数:yf(x)3.隐函数:F(x,y)=0

y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Yy=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X1 1 1 1 1 1 x4.函数的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)a5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx1.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈Xlimlimf(x)A limf(x)A§1.2极限 1.数列的极限:lim n

yn以常数A为极限;或称数列

yn收敛于A.定理:若的极限存在必定有界.yn ⑴当x时，f(x)的极限： xx⑵当xx0时，f(x)的极限：limf(x)Axx左极限：limf(x)A

右极限：limf(x)A定理：lim1．无穷大量：limf(x)X再某个变化过程是指：x,

x,

无穷小量：limf(x)0称在该变化过程中f(x)为无穷小量。定理：limf(x)0lim

4．无穷小量的比较：lim0,lim0⑴若lim0,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若lim

111olimylim[f(xx)f(x0)]0

lim

12

lim

121．数列极限存在的判定准则：

且：limyn

limzn

a

则：limn

a2．函数极限存在的判定准则：g(x)f(x)h(x)且：limg(x)limh(x)A则：limf(x)Axx0 xx0 xx若：limu(x)A,limv(x)B②lim[u(x)v(x)]limu(x)limv(x)AB③limu(x)v(x)

limu(x)limv(x)

(limv(x)0)n(x)]limu ②lim[cu(x)]climu(x)③lim[u(x)]n[limu(x)]n1．lim

1

lim

1

)xe

1.函数在x0处连续：f(x)在x0的邻域内有定义，x0 x左连续：limf(x)f(x0)

2olimf(x)f(x0)右连续：limf(x)f(x0)2.函数在x0处连续的必要条件：00处不连续，则x3.函数在x0处连续的充要条件：limf(x)f(x)limf(x)limf(x)f(x) a,b4.函数在 f(x) axalimxb和连续是指：f(x)f(a)f(x)f(b)

b

limf(x)

limf(x)x

limf(x)f(x0)

lim

f(x

lim

limf(x)

limf(x)f(x0)xx0

lim

f(x

lim

limf(x)或xx0 limf(x)limf(x) ㈡函数在0处连续的性质 limf(x)f(x0)设xx0

limg(x)g(x0)lim[f(x)g(x)]f(x0)g(x0) xx0lim[f(x)g(x)]f(x0)g(x0) xx0limf(x)f(x0) yf(u),u(x), yf[(x)]lim(x)(x0),

limf(u)f[(x0)]则：limf[(x)]f[lim(x)]f[(x0)]xx0 ))cyf(x),

xf

(x),

f(x0)limf(x)f(x0)limf [a,b]

(y)f

f(x)[a,b]

fx)

[a,b] 0a 2.有界定理：f(x)[a,b]

fx

[a,b] fx)

[a,b]

(a,b) ))0

()

[a,b]

f(a)

(a,b) yf(x) limx0

limx0

x)f(x0)x

lim

f(x)f(x0)xx0

xx0

f(x

0)dy

xx0x0

f(x)f(x0)xx0

(x0)lim

f(x)f(x0)xx定理：f(x)在则：f(x0)limf(x)xx0（或：f(x0)limf(x)）xx0定理：f(x)在x0处可导 f(x)在x0处连续4.函数可导的充要条件：

xx0

f(x

0)存在

f(x0)f(x0)， u5.导函数：yf(x), f(x)在(a,b)内处处可导。yf(x0)是曲线yf(x)上点

x0,y0

（uv)uv（uv)uvuv

uvu

v

(v0)yf(u),u(x), yf[(x)]

，或{f[(x)]}f[(x)](x)☆注意{f[(x)]}与f[(x)]的区别：{f[(x)]}表示复合函数对自变量x求导；f[(x)]表示复合函数对中间变量(x)求导。f(x), f(x),或f(3)(x)f(n)(x)[f(n1)(x)],(n2,3,4)f(x)x 在的某个邻域内有定义，yA(x)xo(x)f(u)du在在 ; (a,b)内可导A(x)x o(x) limo(x)0阶的无穷小量，即：x0

yf(x)x在处可微，记作：dyA(x)xdyA(x)dx (x0)f(x)

x

f(x)

x

f(x)A(x) f(x) . . 3f(a)f(b).0

存在一点,使得f()0. f(x)gg(x)A,（或）gg(x)gg(x)A,f(x)ao f(x)

f(b)f(a)

f(x)g(x) limxa

f(x)0g(x)0

(或）(或）1oxa g(x)0

limxa()则：xa()

xa()

（或）2o若不满足法则的条件，不能使用法则。0 即不是0型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母4o若f(x)和g(x)还满足法则的条件，lim

f(x)g(x)

lim

f(x)g(x)

limg(x)

A（或）5o若函数是

0, 1,00,0或型；若是 采用对数或指数变形，化成0或型。yf(x),

0,y

0)切线方程：yy0f(x0)(xx0)

yy

f(x

(xx

0

(f(x

0)0)f(x)0

f(x)在(a,b)内单调增加；f(x)0

x(a,b)

11.f(x)存在极值f(x0)f(x)0220.f(x0)存在。11.f(x)在x0处连续；f(x)0 f(x)0

(a,b)

xx

(a,b)

若对于0的某个邻域内的任意点 0，都有：f(x0)f(x)[或f(x0)f(x)]

f)

称x0为f(x)的极大值点（或极小值点）。 0

11.f(x0)0；22.f(x0)存在。 11.f(x0)0，x0,f(x0)称 x0 f(x) f(x)

f(x)

)0)0

f(x0)

(a,b)

f(x)0,xa,b

(a,b)

若limf(x)Ax 或limf(x)Ax

yA是f(x)

f(x)f(x)

xC是f(x)§3.1不定积分1．原函数：设：f(x),

F(x)f(x)F(x)f(x) f(x) f(x)f(x) f(x)dxF(x)Cf(x)f(x)dx3.不定积分的性质： f(x)dxf(x)dxf(x) f(x)dxf(x)C df(x)f(x)C

[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf

f[(x)]d(x) t

F[ (x)]C

)1

(a,b为常数，

a0)

x

1m1

1a(m1)

（m为常数）

)

1a

x

(a0,a1)

1dx

x)sindxd(cosx)cosxdxd(sinx)sec2xdxd(tanx)csc2xdxd(cotx)1x

d(arcsinx)d(arccosx)11x

d(arctanx)d(arccotx)

令x

xxt n为偶数时,t0 , F[

xasint,(或xacosx),0t a2x2xatan

0t,

(0t

a2x2 xasect,(或xacsct),0t,(0t) 2 x2a21.分部积分公式：uv

P(x)sinxdx,

P(x)cosxdxlnlnxu P(x)exdx

P(x)lnxdxP(x)arcsin

P(x)arccos

⑷P(x)arctanxdx,P(x)arccotxdxeaxsinbxdx,eaxcosbxdxP(x)axnaxn1 a n（多项式） P(x)u P(x)u

1.有理函数：

P(x)f(x)Q(x) 2.简单有理函数：上可积。11x((xa)lim f(ii)xxx

f(x)

P(x)1x

f(x)

P(x)

P(x)f(x)(xa)(xb)

f(x)

P(x)2b§3.2定积分 .

Oax1x2xi-1ξixi xn-1bxx0i1n

x轴下方的面积取负号。

设：yf(x)

a0 -b1.f(x)连续，a,b;

上的任意一个原函数：11与积分变量形式无关，即 ii1,x则：则： (x) a i i

F(x)

F(b)F(a)

若f(x)连续，a,b,x 且：(x)(xf(t)dt)f(x) a 2bf(x)dxaf(x)dx

f(x)g(x)dx

f(x)c

(acb)a a 6

ba 0a bx bx0a bx7f(x)g(x),(axb)则bf(x)dxbg(x)dxa m(ba)bf(x)dxM(ba) 则：则：f(x)dx

,则：必存在一点

f()(ba)

且当t从变到时，(t)单调地从a变到b,()a,()b,

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx

f(x)ss f(x)g(x)ss(y)(y)2[

3[

2(x)

f

(x)f 1由yf(x)0,

xa,

xb,

(ab)与x轴所围成的图形的面积y s

f(x)dx2由yf(x), yg(x),(fg)1 与xa,xb所围成的图形的面积3由x(y), x(y),()1 与yc,yd所围成的图形的面积. 1曲线y

f(x)0,与

xa,xb及x轴所围图形绕x轴旋转所V bf2(x)dxx 2由曲线x (y)0,与yc,yd及y轴所围成图形绕y轴旋转所V §4.1偏导数与全微分一.主要内容：㈠.多元函数的概念zf(x,y)

(x,y)D定义域：D(f) （点(x0,y0)可除外）2limf(x,y)Ax

x0则称zf(x,y)在(x0,y0)极限存在，且等于A。00,y0)limxx x xff(x 0)lim 0,y

xx0y

f(x,y)f(x

0,y0)则称zf(x,y)在(x0,y0)处连续。定义:f(x,y),在(x0,y0)点

(x f(xx,y0)f(x0,y0)y0

0,y0

y)f(x

0,y

(x

0,y0),f

(x

0,y0)分别为函数

f(x,y)在(x

0,y0)处对x,y的偏导数。zf(x,y)在D内任意点(x,y)处的偏导数记为：

(x,y)

f(x,y)x

x

(x,y)

f(x,y)

若zf(xx,yy)f(x,y)AxByo( 其中，A、B与x、y无关，o（）是比 x2y2较高阶的无穷小量。则:dzdf(x,y)AxBy是zf(x,y) 定理：若f(x,y),fx

则：zf(x,y)在点(x,y)处可微且

(x,y)dxx

f

(x,y)dy设：zf(u,v),uu(x,y),vv(x,y)zfu(x,y),v(x,y)则：x

u

ux

x

u

u

设yf(u,v),uu(x),vv(x)

u

yf[u(x),v(x)]设F(x,y,z)0,zf(x,y),且F

0则

x

FF

FF