向量方法在高考立体几何题中的应用

A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,£22一,一,0),44UULU(I)证明：MNA(0,0,0),B(1,0,0),P(0,£22一,一,0),44UULU(I)证明：MN、2.2UUU..2UUir(1n1),0P(07,2),OD设平面OCD的法向量为n(x,y,z),则n?OP—y2z0即2、.2.2—x—y222z0取z板,解得n(0,4,.2)(央，2)22-、2MN?n(1——472,1)?(0A2)0,向量方法在高考立体几何题中的应用广东省梅州市五华县琴江中学(514400)廖伟山在立体几何中引入向量后，解题思路更加广阔，规律越趋明显，利用它可为我们处理立体几何问题提供了新的视角，它是三维空间中图形的位置关系与度量问题的有效工具。我们要体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像力。向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标法是研究向量问题的有力工具，利用空间向量的坐标表示，可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要数学思想，并在一定程度上降低空间思维难度。虽然有时计算量较大，但还是能帮学生较好地从代数方面入手方便解决立体几何题，下面结合2008年各省高考题谈向量方法的运用。一，两条异面直线所成角的向量求法例1安徽卷(18)(本小题满分12分)如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，ABC-,4OA底面ABCD,OA2,M为OA的中点，N为BC的中点。(I)证明：直线MN||平面OCD；(n)求异面直线AB与MD所成角的大小；(m)求点C到平面APB的距离。B解：作APCD于点P如图，分别以AB,AP,AO所在直线为x,y,z轴建立坐标系22,0),D(y,y,0),O(0,0,2),M(0,0,1),N(1

MN//平面OCDunruuuu22(R)设AB与MD所成的角为，「AB(1Q°)，MD(3亍1)cos一,ABcos一,AB与MD所成角的大小为一33点评：利用向量知识直接套用公式求解，是求解异面直线所成的角常用的方法，要熟练掌握。练习1:天津卷（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD点评：利用向量知识直接套用公式求解，是求解异面直线所成的角常用的方法，要熟练掌握。练习1:天津卷（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB3,AD2,PA2,PD2v2,PAB60.（I）证明AD平面PAB;（H）求异面直线PC与AD所成的角的大小。二，线面所成角的向量求法例2湖北卷18（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC侧面AABB1.（I）求证：ABBC;（II）若直线AC与平面ABC所成的角为，二面角ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明证明（I）略解（H）:由（I）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BBi所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设人8=&则B(0,0,0),A(0,c,0),C(Jb2c2,0,0),A(0,c,a),于是uur—uuirBC(.b2c2,0,0),BA(0,c,a),iiur-3——2uuurAC(Jb2c2,c,0),AA(0,0,a).设平面A1BC的一个法向量为n(x,y,z),则AA1=a,AC=b,tn?BA1rhn?Bc0/日

,得0cyaz0,0,可取n(0,a,c),于是n?ACac0,AC与n的夹角为锐角,则与互为余角.cossincosn?AC_actn?BA1rhn?Bc0/日

,得0cyaz0,0,可取n(0,a,c),于是n?ACac0,AC与n的夹角为锐角,则与互为余角.cossincosn?AC_acn?|AC|bja2c2BAi?AC[ba]?|ac"所以sin.acb\acac2练习2:例1第(田)问点评：线面所成的角是通过直线的方向向量和平面的法向量的夹角求得。三，二面角的向量求法例3(全国二19)(本小题满分12分)如图，正四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi且C〔E3EC。(I)证明：AC平面BED;(H)求二面角ADEB的大小。2AB4，点E在CCi上解：以2AB4，点E在CCi上建立如图所示直角坐标系Dxyz.依题设，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,i),A(2,0,4).ULLTUULTUJiruurnDE(0,2,i),DB(2,2,0),AC(2,2,4),DA(2,0,4).(I)因为AC?DB0,AC?DE0,故ACBD,ACDE.又DBIDED,所以AC平面DBE.(H)设向量n(x,y,z),是平面DA〔E的法向量，则nDE,nDA.故2yz0,2x4z0.令yi,WJz2,x4,n(4,i,2).DE,nDA.n,A1C等于二面角ADEB的平面角,n?ACnAC,14~A2n?ACnAC,14~A214所以一面角ADEB的大小为arccos—.42点评：二面角的大小通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。练习3:陕西卷19（本小题满分12分）三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为AB1C1,BAC90°,AA平面ABC,A1A73,AB(I)证明：平面AAD平面BCC1B1;(H)求二面角ACC1B的大小。四，点到面的距离的向量求法例4.（北京卷16）如图，在三棱锥PABC中，ACBC2,ACB900,APBPAB,PCAC.（I）求证：PCAB;（H）求二面角BAPC的大小;（m）求点C到平面APB的距离。证明（I）略解：（H）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.x则C(0,0,0),A(0,2,0)B(2,0,0).设P(0,0,t).xQPBAB2衣，t2,P(0,0,2).取AP中点E,连结BE,CE.ACPC,ABBP,CEAP,BEAP.BEC是二面角BAPC的平面角.uuruurQE(011),EC(0,1,1),EB(2,1,1),EC?EB23cosBEC—ECEB

ECEB而角BAP而角BAPC的大小为arccos(m)QACBCPC,C在平面APB内的射影为正AAPB的中心H,且CH的长为点C到平面APB的距离.uuirunr如(H)建立空间直角坐标系Cxyz.QBH2HE,222点H的坐标为333uuur入222点H的坐标为333CH2—•点C到平面APB的距离为仝L.33练习4:福建卷(18)(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中,则面PAD,底面ABCD,侧棱FA=PD=V2,底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。(I)求证：POL平面ABCD;(H