笛卡尔与解析几何的创立

PAGEPAGE14课程论文课程：数学简史题目：笛卡尔与解析几何的创立学院：教育技术学院学院：教育技术学学生姓名：侯元军学号：201076000208笛卡尔与解析几何的创立（201076000208侯元军10级教育技术学（1）班）【摘要】17世纪数学的最大成就是创立了解析几何和微积分学,为变量数学即近代数学大厦的形成和发展提供了坚实基础。哲学家兼数学家笛卡尔是解析几何学的主要创立者之一。本文通过简要论述和概括解析几何之父——笛卡尔的生平、笛卡尔解析几何思想的成因以及解析几何的建立及其影响，以此来呈现伟大的数学家笛卡尔的光辉人生和解析几何的创立的背景及意义。【关键字】笛卡尔解析几何变量数学代数几何十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先欧式几何的那套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。一、认识解析几何之父（一）生平简介笛卡尔是法国伟大的数学家、哲学家和物理学家。1596年5月31日他出生在法国都兰的贵族家庭，自幼丧母，体弱多病，8岁入拉弗来什公学读书。教师考虑到他的特殊情况，允许他每天早上晚起多睡。但笛卡尔利用这段时间进行晨读，并养成善于思考的习惯。传说笛卡尔是躺在床上观察虫子在天花板上爬行的位置，激发了灵感，使他产生了坐标的概念。笛卡尔博览群书，曾自述：“别人学的，我都学了。我并不以此为满足，那些认为最奇怪，最不寻常的有关各种科学的书，凡是我能搞到的，我都要把它们读完。”他有好的思考习惯，每当读书时，总是把书拿来先弄清作者的主要意图，随之读完开头的部分就细细品味，并力求得出下面的结论。1612年他入普瓦界大学攻读法学，四年后获博士学位，后去巴黎当律师。1618年参军，部队到荷兰南部的小城布勒达时，一次巧遇街头小报上在征解数学难题，笛卡尔成功的应解，这使他对数学发生兴趣，并坚定他终身研究数学的决心。1619年11月部队到达多瑙河上的一个小镇时，他不断思考——怎样把代数应用到几何中去。他曾说：“我想去寻求一种新的，包含两门学科的好处，而又没有它们缺点的方法。”他在致力研究数学中一门完全崭新的领域，这个领域后来被牛顿称之为解析几何。1621年他退伍去荷兰、瑞士、意大利旅行。1625年返回巴黎.1628年定居荷兰进行研究与写作，这时他研究哥白尼学说，1634年写成《论世界》一书。1637年出版了《新光学》、《气象学》和《几何学》。1644年笛卡尔出版了《哲学原理》，1646年出版了《论心灵的各种感情》等重要著作。同年冬，笛卡尔应瑞典女王克利斯提娜的邀请移居斯德哥尔摩为女王讲授哲学，后因感染肺炎，于1650年2月11日去世，享年54岁。（二）主要贡献法国数学家、物理学家、哲学家笛卡尔，生前因怀疑教会信条受到迫害，长年在国外避难。他的著作在他生前或被禁止出版或被烧毁，他死后多年还被列入“禁书目录”。但在今天，法国首都巴黎安葬民族先贤的圣日耳曼圣心堂中，庄重的大理石墓碑上镌刻着“笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为人类争取并保证理性权利的人”。笛卡尔的著作，无论是数学、自然科学，还是哲学，都开创了这些学科的崭新时代。《几何学》是他公开发表的唯一数学著作，虽则只有117页，但它标志着代数与几何的第一次完美结合，使形形色色的代数方程表现为不同的几何图形，许多相当难解的几何题转化为代数题后能轻而易举地找到答案.他的主要著作都是在荷兰完成的，其中1637年出版的《方法论》一书成为哲学经典。这本书中的3个著名附录《几何》《折光》和《气象》奠定了笛卡尔在数学、物理和天文学中的地位。在《几何》中，笛卡尔分析了几何学与代数学的优缺点，指出：希腊人的几何过于抽象，而且过多的依赖于图形，总是要寻求一些奇妙的想法。代数却完全受法则和公式的控制，以致于阻碍了自由的思想和创造。他同时看到了几何的直观与推理的优势和代数机械化运算的力量。于是笛卡儿着手解决这个问题，并由此创立了解析几何。所以说笛卡尔是解析几何的创始人。笛卡尔一生作出了多方面的贡献，他在1634年写的《宇宙学》，包含当时被教会视为“异端”的观点：他提出地球自转和宇宙无限；他提的漩涡说是当时最权威的太阳起源理论；他还提出了光的本性是粒子流的假说，并认为在广袤无垠的太空中存在着极其精细的以太。他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。他还是西方现代哲学思想的奠基人，是近代唯物论的开拓者提出了“普遍怀疑”的主张。他的哲学思想深深影响了之后的几代欧洲人，开拓了所谓“欧陆理性主义”哲学。直到二三百年以后，笛卡尔的这些观点仍具有很高的研究价值。（三）传奇故事１６４７年深秋的一个夜晚，在巴黎近郊，两辆马车疾驰而过。马车在教堂的门前停下。身佩利剑的士兵押着一个瘦小的老头儿走进教堂。他就是近代数学

奠基人、伟大的哲学家和数学家笛卡尔。由于他在著作中宣传科学，触犯了神权

，因而遭到了当时教会的残酷迫害。

才学里，烛光照射在圣母玛丽亚的塑像上。塑像前是审判席。被告席上的笛

卡尔开始接受天主教会法庭对他的宣判：“笛卡尔散布异端邪说，违背教规，亵

渎上帝。为纯洁教义，荡涤谬误，本庭宣判笛卡尔所著之书全为禁书，并由本人

当庭焚毁。”笛卡尔想申辩，但士兵立即把他从被告席上拉下来，推到火盆旁，

笛卡尔用颤抖的手拿起一本本凝结了他毕生心血的著作，无可奈何地投入火中。

笛卡尔１５９６年生于法国。８岁入读一所著名的教会学校。主要课程是神

学和教会的哲学，也学数学。他勤于思考，学习努力，成绩优异。２０岁时，他

在普瓦界大学获法学学位。之后去巴黎当了律师。出于对数学的兴趣，他独自研

究了两年数学。１７世纪初的欧洲处于教会势力的控制之下。但科学的发展已经

开始显示出一些和宗教教义离经背道的倾向。笛卡尔和其他一些不满法兰西政治

状态的青年人一起去荷兰从军体验军旅生活。

说起笛卡尔投身数学，多少有一些偶然性。有一次部队开进荷兰南部的一个

城市，笛卡尔在街上散步，看见用当地的

佛来米语书写的公开征解的几道数学

难题。许多人在此招贴前议论纷纷，他旁边的一位中年人用法语替他翻译了这几

道数学难题的内容。第二天，聪明的笛卡尔兴冲冲地把解答交给了那位中年人。

中年人看了笛卡尔的解答十分惊讶。巧妙的解题方法，准确无误的计算，充分显

露了他的数学才华。原来这位中年人就是当时有名的数学家贝克曼教授。笛卡尔

以前读过他的著作，但是一直没有机会认识他。从此，笛卡尔就在贝克曼的指导

下开始了对数学的深入研究。所以有人说，贝克曼“把一个业已离开科学的心灵

，带回到正确、完美的成功之路”。１６２１年笛卡尔离开军营遍游欧洲各国。

１６２５年回到巴黎从事科学工作。为综合知识、深入研究，１６２８年变卖家

产，定居荷兰潜心著述达２０年。

几何学曾在古希腊有过较高的发展，欧几里得、阿基米德、阿波罗尼都对圆

锥曲线作过深入研究。但古希腊的几何学只是一种静态的几何，它既没有把曲线

看成一种动点的轨迹，更没有给出它的一般表示方法。文艺复兴运动以后，哥白

尼的日心说得到证实，开普勒发现了行星运动的三大定律，伽利略又证明了炮弹

等抛物体的弹道是抛物线，这就使几乎被人们忘记的阿波罗尼曾研究过的圆锥曲

线重新引起人们的重视。人们意思到圆锥曲线不仅仅是依附在圆锥上的静态曲线

，而且是与自然界的物体运动有密切联系的曲线。要计算行星运行的椭圆轨道，

要求出炮弹飞行所走过的抛物线，单纯靠几何方法已无能为力。古希腊数学家的

几何学已不能给出解决这些问题的有效方法。要想反映这类运动的轨迹及其性质

，就必须从观点到方法都要有一个新的变革，建立一种在运动观点上的几何学。

古希腊数学过于重视几何学的研究，却忽视了代数方法。代数方法在东方（

中国，印度，阿拉伯）虽有高度发展，但缺少论证几何学的研究。后来，东方高

度发展的代数传入欧洲，特别是文艺复兴运动欧洲数学在古希腊几何学和东方代

数学的基础上有了巨大的发展。

笛卡尔在数学上的杰出贡献就在于将代数和几何巧妙地联系在一起，从而创

造了解析几何这门数学学科。

１６１９年在多瑙河的军营里，笛卡尔用大部分时间思考着他在数学中的新

想法：能不能用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢？要这样做就必须找到

一座能连接（或说融合）几何与代数的桥梁－－使几何图形数值化。笛卡尔用两

条互相垂直且交于原点的数轴作为基准，将平面上的点的位置确定下来，这就是

后人所说的笛卡尔坐标系。笛卡尔坐标系的建立，为用代数方法研究几何架设了

桥梁。它使几何中的点Ｐ与一个有序实数偶（x,y)构成了一一对应关系。

坐标系里点的坐标按某种规则连续变化，那末，平面上的曲线就可以用方程

来表示。笛卡尔坐标系的建立，把过去并列的两个数学研究对象“形”和“数”

统一起来，把几何方法和代数方法统一起来，从而使传统的数学有了一个新的突

破。

关于笛卡尔的这一发现，有些史料曾有这样一段记述：由于对科学目的和科

学方法的狂热追求，新几何的影子不时萦绕脑际。１６１９年１１月１０日这一

天，笛卡尔做了一个触发灵感的梦。他梦见一只苍蝇，飞动时划出一条美妙的曲

线，然后一个黑点停在有方格的窗纸上，黑点到窗棂的距离确定了它的位置，梦

醒后，笛卡尔异常兴奋，理性主义的理性追求竟由此顿悟而生！笛卡尔后来曾说

，他的梦象一把打开宝库的钥匙，这把钥匙就是坐标几何，由于教会势力的控制

，笛卡尔的坐标几何的思想未能及时公诸于世。为避免教会的迫害，１６３７年

，也就是奇妙梦幻的１８年春秋以后，笛卡尔在荷兰匿名出版了《科学中正确运

用推理和寻求真理的方法论》一书。书中抨击繁琐哲学，倡导科学为人类造福，

主张人应该主宰自然。笛卡尔的哲学思想，反映了１７世纪法国资产阶级反对封

建主义，发展生产，发展科学的历史要求。对当时的科学发展有着决定性的影响。

《几何学》是该书的一篇附录。在这篇附录中笛卡尔介绍了他所创立的解析几何

几何学。１７世纪以来，数学的巨大发展很大程度上归功于笛卡尔的解析几何学。

作为附录的《几何学》虽是这位伟大哲学家的唯一一篇数学论文，然而它的历史

价值却使笛卡尔的名字千古流芳。

１７６０年２月１１日笛卡尔在斯德哥尔摩病逝。由于教会的阻止，仅有几个友人为其送葬。其著作在他死后也被教会列为禁书。可是，这位对科学作出巨大贡献的学者却受到广大科学家和革命者的敬仰和怀念。法国大革命之后，笛卡尔的骨灰和遗物被送进法国历史博物馆。其墓碑上镌刻着：

笛卡尔，欧洲文艺复兴以来，第一个为争取和捍卫理性权利而奋斗的人。二、笛卡尔的解析几何思想成因（一）从当时的哲学背景看笛卡尔被广泛认为是西方近代哲学的奠基人，他第一个创立了一套完整的哲学体系。哲学上，笛卡尔是一个二元论者以及理性主义者。笛卡尔认为，人类应该可以使用数学的方法――也就是理性――来进行哲学思考。他相信，理性比感官的感受更可靠。（他举出了一个例子：在我们做梦时，我们以为自己身在一个真实的世界中，然而其实这只是一种幻觉而已，参见庄周梦蝶）。他从逻辑学、几何学和代数学中发现了4条规则：除了清楚明白的观念外，绝不接受其他任何东西；必须将每个问题分成若干个简单的部分来处理；思想必须从简单到复杂；我们应该时常进行彻底的检查，确保没有遗漏任何东西。笛卡尔将这种方法不仅运用在哲学思考上，还运用于几何学，并创立了解析几何。这就是他解析几何思想的成因之一。（二）从当时的数学背景看当时的数学状况。一般的坐标思想在古希腊时代就已经产生了，例如古希腊的希帕苏斯在研究天球时就引进过点的坐标；同样，还有古希腊时期的阿波罗尼奥斯，他在推导圆锥曲线的过程中也有过点的坐标思想；还有法国的奥雷斯姆，他用“经度”和“纬度”两个坐标来表示平面上的坐标，并且在这里还有函数表示的思想。当时对曲线的研究非常重视，即有很多的数学家追求一种用一般的方式处理曲线的问题，笛卡尔认识到了使用数量方法的重要性，而且认识到了代数和几何结合起来考虑问题的关键。故而，解析几何的又一关键数学思想是把曲线和曲面用代数方程的形式表达出来。当然，笛卡尔之所以能产生这种想法，也是有深刻的背景的。例如在他之前，法国的大数学家韦达对笛卡尔产生了非常重要的影响。韦达有两个主要科学工作：一个是将代数运用到几何的想法，另一个就是引进了系统的数学符号体系。可以说韦达是和笛卡尔的解析几何走的最近的数学家，但是为什么韦达没有能够创立解析几何呢，就是因为他当时考虑的代数方程仅限于齐次的情况，而笛卡尔则没有局限在仅仅只考虑齐次方程的情形。前人的工作为笛卡尔的解析几何思想提供了重要的源泉，笛卡尔正是在这些人的工作的基础之上而得到了解析几何中一些非常重要的成果。这在数学自身来说，即代数和几何相结合的思想，这些都是解析几何生时的数学背景。当时的数学背景或许也是他解析几何思想的成因之一。（三）从他自身方面看笛卡尔有极富成效的学习方法，这也是他解析几何思想的成因之一。他有自己独特的学习方法.他在学习中习惯于弄清作者的意图,因此,他读书时常常是只读开头的部分,一但弄清作者的意图后,那些应由作者得出的结论,他总是力求自己得出。他在学习欧几里得《几何原本》时,一方面他为书中数学表示出的简洁、令人信服的逻辑推理所吸引。另一方面他感到欧几里得《几何原本》中的每一个证明总是在追求某种新的、往往是奇巧的想法。通过前辈们关于代数与几何关系的讨论,笛卡尔发现了一个数学金矿—代数。他认为代数与其说是一门数学,不如说是一种推理方法,这种有效的推理方法使思考和运算步骤变得简单,并且无需费很大的脑力。在一系列的实践过程中,他看到了数量方法的必要性,科学的需要和对方法的兴趣推动了笛卡尔对解析几何的研究。三、解析几何的创立（一）代数与几何的关系在数学发展史上,代数与几何有着同样深远的渊源,由于欧氏几何是建立在严谨的逻辑推理,公理的体系上的,使几何看起来比算术、代数要严谨得多.因此人们把结构严密的数学仅限于几何学,这种观点严重影响了算术、代数的发展,从那时起,就决定了代数从属于几何的地位。甚至到了十六世纪,代数从属于几何的地位也未得到根本改善,那怕是韦达高超的代数学,也是为几何服务的。（二）笛卡尔的解析几何1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。

具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。笛卡尔的解析几何，使用的是坐标法.这种方法是在平面上建立点的坐标（x，x），用坐标（x,y）表示点的位置，于是一条曲线就可以用关于变数x和y的代数方程来表示.这样，笛卡尔把一个几何问题通过坐标归结为代数方程式，用代数方法研究方程的性质，然后再翻译成几何语言，得出图形的几何性质.笛卡尔用这种方法研究了含有两个未知数的二次方程，并得出一般二次方程分别表示椭圆、双曲线、抛物线等曲线的结论.解析几何的创立，开始了用代数方法解决几何问题的新时代.从古希腊时起，在西方数学发展过程中，几何学似乎一直是至高无上的.一些代数问题，也都要几何方法解决.解析几何的产生，改变了这种传统，在数学思想上可以看作是一次飞跃.代数方程和曲线、曲面联系起来。（三）解析几何的应用解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”

解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何：在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。

运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。（四）解析几何的作用解析几何出现以前，代数已有了相当大的进展，因此解析几何不是一个巨大的成就，但在方法论上却是一个了不起的创建。1、笛卡尔希望通过解析几何引进一个新的方法，他的成就远远超过他的希望。在代数的帮助下，不但能迅速地证明关于曲线的某些事实，而且这个探索问题的方式，几乎成为自动的了。这套研究方法甚至是更为有利的。用字母表示正数、负数，甚至以后代表复数时，就有了可能把综合几何中必须分别处理的情形，用代数统一处理了。例如，综合几何中证明三角形的高交于一点时，必须分别考虑交点在三角形内和三角形外，而解析几何证明时，则不须加区别。2、解析几何把代数和几何结合起来，把数学构造成一个具有两种作用的工具。一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数来达到。反过来，另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义。又可以得到启发去提出新的结论（例如，笛卡尔就提出了用抛物线和圆的交点来求三次和四次方程的实根的著名方法），拉格朗日曾把这些优点写进他的《数学概要》中：“只要代数和几何分道扬镳，他们的进展就缓慢，他们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时，他们就互相吸取新鲜的活力，就以快速走向完善。”可以说十