2022届高考数学课标版数学(文理通用)一轮题型专项练课件-专题2-函数与导数

专题二函数与导数专题二函数与导数-1-2.1函数概念、性质、图象专项练2.1函数概念、性质、图象专项练-2--3-1.函数:非空数集A→非空数集B的映射.(1)求函数定义域的主要依据是使函数表达式有意义.(2)求函数值域要优先考虑定义域,常用方法有:单调性法;图象法;基本不等式法;导数法.2.函数的奇偶性:若函数的定义域关于原点对称,则f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x).3.函数的周期性:(1)若f(x)=f(a+x)(a>0),则T=a;(2)若f(x)满足f(a+x)=-f(x),则T=2a;(3)若f(x+a)=±

(a≠0),则T=2a;(4)若f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.4.判断函数单调性的方法:(1)定义法;(2)导数法;(3)复合函数根据同增异减的判定法则.-3-1.函数:非空数集A→非空数集B的映射.-4-5.函数图象的几种常见变换(1)平移变换:左右平移——“左加右减”;上下平移——“上加下减”.(2)翻折变换:①将y=f(x)在x轴下方的图象翻折到上方,与y=f(x)在x轴上方的图象合起来得到y=|f(x)|的图象;②将y=f(x)在y轴左侧部分去掉,再作右侧关于y轴的对称图象合起来得到y=f(|x|)的图象.(3)对称变换:①若y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x)或f(x+2a)=f(-x).②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.-4-5.函数图象的几种常见变换-5-(4)函数的周期性与对称性的关系:①若f(x)的图象有两条对称轴x=a和x=b(a≠b),则f(x)必为周期函数,且它的一个周期是2|b-a|;②若f(x)的图象有两个对称中心(a,0)和(b,0)(a≠b),则f(x)必为周期函数,且它的一个周期是2|b-a|;③若f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a≠b),则f(x)必为周期函数,且它的一个周期是4|b-a|.6.两个函数图象的对称关系-5-(4)函数的周期性与对称性的关系:①若f(x)的图象有-6-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.下列函数中,既是偶函数,又在区间[0,1]上单调递增的是

(

)答案解析解析关闭四个函数都是偶函数,在[0,1]上递增的只有D,而A,B,C三个函数在[0,1]上都递减,故选D.答案解析关闭D-6-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析解-7-一二A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b

答案解析解析关闭答案解析关闭-7-一二A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D-8-一二3.设x=30.5,y=log32,z=cos2,则(

)A.z<y<x B.z<x<y C.y<z<x D.x<z<y答案解析解析关闭答案解析关闭-8-一二3.设x=30.5,y=log32,z=cos2-9-一二4.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=(

)A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}答案解析解析关闭f(x-2)>0等价于f(|x-2|)>0=f(2),∵f(x)=x3-8在[0,+∞)内为增函数,∴|x-2|>2,解得x<0或x>4.答案解析关闭B-9-一二4.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0-10-一二5.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是

(

)A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]答案解析解析关闭因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1≤f(x-2)≤1等价于f(1)≤f(x-2)≤f(-1).又f(x)在(-∞,+∞)单调递减,所以-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.所以x的取值范围是[1,3].答案解析关闭D-10-一二5.函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇-11-一二为(

)A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b答案解析解析关闭答案解析关闭-11-一二为()答案解析解析关闭答案解析关闭-12-一二7.定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1<x<0时,f(x)=2x-1,则f(log220)等于(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-12-一二7.定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)-13-一二(

)A.(-∞,0] B.(-∞,1]C.[-2,1] D.[-2,0]答案解析解析关闭答案解析关闭-13-一二()答案解析解析关闭答案解析关闭-14-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-14-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-15-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-15-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-16-一二11.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(

)A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案解析解析关闭答案解析关闭-16-一二11.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则-17-一二12.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(

)A.-50 B.0C.2 D.50答案解析解析关闭∵f(-x)=f(2+x)=-f(x),∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x).∴f(x)的周期为4.∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.∵f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.∴f(1)+f(2)+…+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.答案解析关闭C-17-一二12.已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函-18-一二二、填空题(共4小题,满分20分)

答案解析解析关闭要使函数f(x)有意义,则log2x-1≥0,解得x≥2,即函数f(x)的定义域为[2,+∞).答案解析关闭[2,+∞)-18-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析-19-一二是

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-19-一二是.

答案解析解析关闭答案解析关闭-20-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-20-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-21-一二一的x0,使得h(x)=min{f(x),g(x)}的最小值为h(x0),则实数a的取值范围为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-21-一二一的x0,使得h(x)=min{f(x),g(x2.2函数的零点与方程专项练2.2函数的零点与方程专项练-22--23-1.零点的定义:对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.3.函数的零点与方程根的关系:函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.4.判断函数零点个数的方法:(1)直接求零点;(2)零点存在性定理;(3)数形结合法.-23-1.零点的定义:对于函数y=f(x),使f(x)=0-24-5.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.(4)方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域.-24-5.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:-25-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.由表格中的数据可以判定函数f(x)=lnx-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(k∈Z),则k的值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案解析解析关闭当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=-0.61,f(5)=-1.39,∵f(3)f(4)<0,∴函数的零点在(3,4)区间上,∴k=3,故选C.答案解析关闭C-25-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析-26-一二2.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(

)

答案解析解析关闭答案解析关闭-26-一二2.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的-27-一二3.若关于x的方程4sin2x-msinx+1=0在(0,π)内有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是(

)A.{x|x<-3} B.{x|x>-4}C.{x|x>5} D.{x|x>5}∪{4}答案解析解析关闭答案解析关闭-27-一二3.若关于x的方程4sin2x-msinx+1-28-一二4.已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3)C.(-3,1) D.(1,+∞)答案解析解析关闭函数f(x)=2ax-a+3,由∃x0∈(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)<0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,+∞).答案解析关闭A-28-一二4.已知函数f(x)=2ax-a+3,若∃x0∈-29-一二5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=lnx+x,h(x)=lnx-1的零点依次为a,b,c,则(

)A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c答案解析解析关闭由f(a)=ea+a=0,得a=-ea<0;b是函数y=lnx和y=-x图象交点的横坐标,画图(图略)可知0<b<1;由h(c)=lnc-1=0知c=e,所以a<b<c.答案解析关闭A-29-一二5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln-30-一二6.已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数a,b满足0<b<1<a,则n的值为(

)A.2 B.1 C.-2

D.-1答案解析解析关闭答案解析关闭-30-一二6.已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0∈(-31-一二于

(

)A.4n B.2n C.n D.0答案解析解析关闭答案解析关闭-31-一二于()答案解析解析关闭答案解析关闭-32-一二8.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-32-一二8.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+-33-一二9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间

上的所有零点的和是(

)A.2 B.3 C.-2 D.4答案解析解析关闭答案解析关闭-33-一二9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(-34-一二10.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈R,都有f(x-2)=f(x+2),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-1.若在区间(-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则a的取值范围是(

)A.(1,2) B.(2,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭-34-一二10.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意x∈-35-一二g(x)存在2个零点,则a的取值范围是

(

)A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭-35-一二g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()-36-一二12.已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x>1时,f(x)=.则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实根时实数a的取值范围是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-36-一二12.已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+-37-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-37-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-38-一二14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=2017x+log2017x,则f(x)在R上的零点的个数为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-38-一二14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当-39-一二于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是

.

(4,8)

解析:由f(x)=ax,可得

-39-一二于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则-40-一二令g'(x)<0,可得x<-2;令g'(x)>0,可得-2<x<-1,则g(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,-1)上单调递增.同理可得h(x)在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.画出g(x)和h(x)的大致图象如图所示.由图可知,满足题意的a的取值范围是(4,8).

-40-一二令g'(x)<0,可得x<-2;由图可知,满足题-41-一二16.已知函数f(x)=ex-e-x,下列命题正确的有

.(写出所有正确命题的编号)

①f(x)是奇函数;②f(x)在R上是单调递增函数;③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根;④如果对任意x∈(0,+∞),都有f(x)>kx,那么k的最大值为2.答案解析解析关闭答案解析关闭-41-一二16.已知函数f(x)=ex-e-x,下列命题正2.3函数与导数的应用专项练2.3函数与导数的应用专项练-42--43-1.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0),相应的切线方程是y-y0=f'(x0)(x-x0).注意:在某点处的切线只有一条,但过某点的切线不一定只有一条.2.常用的求导方法(1)(xm)'=mxm-1,(sinx)'=cos

x,(cos

x)'=-sinx,(ex)'=ex,-43-1.导数的几何意义-44-一二一、选择题(共12小题,满分60分)1.函数f(x)=excosx在点(0,f(0))处的切线斜率为(

)答案解析解析关闭f'(x)=excosx-exsinx,∴k=f'(0)=e0(cos0-sin0)=1.答案解析关闭C-44-一二一、选择题(共12小题,满分60分)答案解析-45-一二2.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(

)A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1答案解析解析关闭答案解析关闭-45-一二2.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)-46-一二3.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(

)A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x答案解析解析关闭因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.答案解析关闭D-46-一二3.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,-47-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-47-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-48-一二5.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)内单调递增,则k的取值范围是(

)A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭-48-一二5.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+-49-一二6.已知函数f(x)=ln(ex+e-x)+x2,则使得f(2x)>f(x+3)成立的x的取值范围是(

)A.(-1,3) B.(-∞,-3)∪(3,+∞)C.(-3,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭-49-一二6.已知函数f(x)=ln(ex+e-x)+x2-50-一二7.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是(

)A.(-∞,0) B.C.(0,1) D.(0,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭-50-一二7.已知函数f(x)=x(lnx-ax)有两个-51-一二8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f'(x)是连续不断的,若方程f'(x)=0无解,且∀x∈(0,+∞),f[f(x)-log2015x]=2017,设a=f(20.5),b=f(log43),c=f(logπ3),则a,b,c的大小关系是(

)A.a>c>b B.b>c>aC.c>a>b D.a>b>c答案解析解析关闭∵方程f'(x)=0无解,∴f'(x)>0或f'(x)<0恒成立,∴f(x)是单调函数.由题意得∀x∈(0,+∞),f[f(x)-log2015x]=2017,则f(x)-log2015x是定值,设t=f(x)-log2015x,则f(x)=t+log2015x,∴f(x)是增函数,又0<log43<logπ3<1<20.5,∴a>c>b.故答案为A.答案解析关闭A-51-一二8.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函-52-一二9.设f(x)=ex,f(x)=g(x)-h(x),且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,若存在实数m,当x∈[-1,1]时,不等式mg(x)+h(x)≥0成立,则m的最小值为(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-52-一二9.设f(x)=ex,f(x)=g(x)-h(x-53-一二10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(

)A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)答案解析解析关闭答案解析关闭-53-一二10.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)-54-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-54-一二答案解析解析关闭答案解析关闭-55-一二12.已知f(x)=x2ex,若函数g(x)=f2(x)-kf(x)+1恰有四个零点,则实数k的取值范围是(

)D解析:f'(x)=2xex+x2ex=x(x+2)·ex,令f'(x)=0,解得x=0或x=-2,∴当x<-2或x>0时,f'(x)>0,当-2<x<0时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增,在(-2,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,-55-一二12.已知f(x)=x2ex,若函数g(x)=f-56-一二当x=0时,f(x)取得极小值f(0)=0.作出f(x)的大致函数图象如图所示:-56-一二当x=0时,f(x)取得极小值f(0)=0.作出-57-一二二、填空题(共4小题,满分20分)13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-57-一二二、填空题(共4小题,满分20分)答案解析解-58-一二数a的取值范围为

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-58-一二数a的取值范围为.

答案解-59-一二15.若直线y=kx+b是曲线y=ln

x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=

.

答案解析解析关闭答案解析关闭-59-一二15.若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的-60-一二16.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点(1,0)中心对称,其导函数为f'(x),当x<1时,(x-1)[f(x)+(x-1)f'(x)]>0,则不等式xf(x+1)>f(2)的解集为

.

答案解析解析关闭设g(x)=(x-1)f(x),当x<1时,x-1<0,∴g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)<0,则g(x)在(-∞,1)内单调递减,又f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,∴f(x+1)的图象关于点(0,0)中心对称,则f(x+1)是奇函数.令h(x)=g(x+1)=xf(x+1),∴h(x)为R上的偶函数,且在(-∞,0)递减,∴在(0,+∞)上递增.∵h(1)=f(2),∴xf(x+1)>f(2)⇔h(x)>h(1),即|x|>1,解得x>1或x<-1.答案解析关闭(-∞,-1)∪(1,+∞)-60-一二16.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于点2.4

[压轴大题1]函数、导数、

方程、不等式2.4[压轴大题1]函数、导数、

方程、不等式-61--62-1.导数的几何意义(1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k=f'(x0).(2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”:①切点在函数图象上,满足函数解析式;②切点在切线上,满足切线方程;③切点处的导数等于切线的斜率.2.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若f'(x)>0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若f'(x)<0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减.3.函数的导数与单调性的等价关系函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.-62-1.导数的几何意义-63-4.函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.5.常见恒成立不等式(1)ln

x≤x-1;(2)ex≥x+1.-63-4.函数的极值、最值-64-6.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x));(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数.-64-6.构造辅助函数的四种方法-65-7.函数不等式的类型与解法∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;∀x∈D,f(x)≤g(x)⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x)⇔f(x)min≤g(x)max.8.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最大值.(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最小值.(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最小值.-65-7.函数不等式的类型与解法-66-(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最大值.(5)∃x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域与g(x)在[c,d]上的值域交集非空.(6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在[c,d]上的值域.(7)∀x2∈[c,d],∃x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在[c,d]上的值域.-66-(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x2.4.1

导数与函数的单调性、

极值、最值2.4.1导数与函数的单调性、

极值、最值-67--68-考向一考向二考向三考向四讨论、判断、证明单调性或求单调区间解题策略一

分类讨论法

(1)讨论f(x)的单调性;难点突破

(1)讨论f(x)的单调性→求函数的定义域→求导函数

-68-考向一考向二考向三考向四讨论、判断、证明单调性或求单-69-考向一考向二考向三考向四解:f(x)的定义域为(0,+∞).当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当a>0时,-69-考向一考向二考向三考向四解:f(x)的定义域为(0,-70-考向一考向二考向三考向四综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;-70-考向一考向二考向三考向四综上所述,当a≤0时,f(x-71-考向一考向二考向三考向四当0<a<2时,f(x)在(0,1)内单调递增,-71-考向一考向二考向三考向四当0<a<2时,f(x)在(-72-考向一考向二考向三考向四(2)证明:由(1)知,a=1时,设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减,因为φ(1)=1,φ(2)=-10,所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0.-72-考向一考向二考向三考向四(2)证明:由(1)知,a=-73-考向一考向二考向三考向四所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.-73-考向一考向二考向三考向四所以h(x)在(1,x0)内-74-考向一考向二考向三考向四(1)讨论f(x)的单调性;-74-考向一考向二考向三考向四(1)讨论f(x)的单调性;-75-考向一考向二考向三考向四-75-考向一考向二考向三考向四-76-考向一考向二考向三考向四(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x1<x2,则x2>1.-76-考向一考向二考向三考向四(2)证明:由(1)知,f(-77-考向一考向二考向三考向四解题策略二

构造函数法

例2已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间.-77-考向一考向二考向三考向四解题策略二构造函数法

-78-考向一考向二考向三考向四即h(x)在(0,+∞)上是减函数.由h(1)=0知,当0<x<1时,h(x)>0,从而f'(x)>0;当x>1时,h(x)<0,从而f'(x)<0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞).解题心得通过导数研究单调性首先要判断构造函数的导函数的正负,因此,构造函数的关键在于其导函数的零点是否易求或易估.-78-考向一考向二考向三考向四即h(x)在(0,+∞)上是-79-考向一考向二考向三考向四对点训练2设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解:(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.解得a=2,b=e.-79-考向一考向二考向三考向四对点训练2设函数f(x)=x-80-考向一考向二考向三考向四(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).-80-考向一考向二考向三考向四(2)由(1)知f(x)=x-81-考向一考向二考向三考向四求函数的极值、最值解题策略一

利用单调性求

(1)求函数f(x)的单调区间.(2)当a=-1时,①求函数f(x)在[e-e,e]上的值域;-81-考向一考向二考向三考向四求函数的极值、最值(1)求函-82-考向一考向二考向三考向四难点突破

(1)求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可.(2)将a=-1代入f(x),①求出函数的导数,根据函数的单调性求出函数的值域即可;-82-考向一考向二考向三考向四难点突破(1)求出函数f(-83-考向一考向二考向三考向四解:(1)∵f'(x)=1-aln

x-a=1-a(lnx+1).①当a=0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)单调递增;(2)①a=-1时,f(x)=x+xln

x.由f'(x)=2+ln

x,令f'(x)=0,x=e-2,∴f(x)在[e-e,e-2]单调递减,在[e-2,e]单调递增,-83-考向一考向二考向三考向四解:(1)∵f'(x)=1--84-考向一考向二考向三考向四-84-考向一考向二考向三考向四-85-考向一考向二考向三考向四解题心得1.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值;2.对k<f(x)(或k>f(x))恒成立,求参数k的最值问题,若求不出f(x)的极值点,可求极值点所在区间,再由极值点范围求极值的范围,由此得出参数的最值.-85-考向一考向二考向三考向四解题心得1.求最值的常用方法-86-考向一考向二考向三考向四对点训练3已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;解:(1)因为f(x)=excos

x-x,所以f'(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,则h'(x)=ex(cos

x-sin

x-sin

x-cos

x)=-2exsin

x.-86-考向一考向二考向三考向四对点训练3已知函数f(x)=-87-考向一考向二考向三考向四解题策略二

构造函数法

h(x)=ex-(a+1)x-b≥0⇒h'(x)=ex-(a+1)⇒h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0⇒(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+1>0),令F(x)=x2-x2ln

x(x>0),-87-考向一考向二考向三考向四解题策略二构造函数法

h-88-考向一考向二考向三考向四解:(1)由已知得f'(x)=f'(1)ex-1-f(0)+x.所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.由于f'(x)=ex-1+x,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.从而,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由已知条件得ex-(a+1)x≥b.①可得ex-(a+1)x<b,因此①式不成立.(ⅱ)若a+1=0,则(a+1)b=0.-88-考向一考向二考向三考向四解:(1)由已知得f'(x)-89-考向一考向二考向三考向四(ⅲ)若a+1>0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g'(x)=ex-(a+1).当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.从而g(x)在(-∞,ln(a+1))单调递减,在(ln(a+1),+∞)单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)).-89-考向一考向二考向三考向四(ⅲ)若a+1>0,设g(x-90-考向一考向二考向三考向四解题心得本例在(2)中,通过作差将条件进行转化,通过构造函数求函数的最小值得出关于a,b的不等式,通过乘以(a+1)得(a+1)b的关系式,再通过第二次构造函数求函数最大值得出结果.-90-考向一考向二考向三考向四解题心得本例在(2)中,通过-91-考向一考向二考向三考向四对点训练4已知函数f(x)=ax-lnx,F(x)=ex+ax,其中x>0,a<0.(1)若f(x)和F(x)在区间(0,ln3)上具有相同的单调性,求实数a的取值范围;a<0,f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立,即f(x)在(0,+∞)上单调递减,当-1<a<0时,F'(x)>0,即F(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意.当a<-1时,由F'(x)>0,得x>ln(-a),由F'(x)<0,得0<x<ln(-a),∴F(x)的单调减区间为(0,ln(-a)),单调增区间为(ln(-a),+∞),∵f(x)和F(x)在区间(0,ln

3)上具有相同的单调性,∴ln(-a)≥ln

3,即a≤-3.综上,a的取值范围是(-∞,-3].-91-考向一考向二考向三考向四对点训练4已知函数f(x)=-92-考向一考向二考向三考向四(2)∵g(x)=xeax-1-ax-ln

x,

-92-考向一考向二考向三考向四(2)∵g(x)=xeax--93-考向一考向二考向三考向四∴h(t)≥h(e2)=0,∴M的最小值为0.

-93-考向一考向二考向三考向四∴h(t)≥h(e2)=0,-94-考向一考向二考向三考向四解题策略三

分类讨论法

例5已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值.-94-考向一考向二考向三考向四解题策略三分类讨论法

-95-考向一考向二考向三考向四解:(1)f'(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).①当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;②当b>2时,若x满足2<ex+e-x<2b-2,综上,b的最大值为2.-95-考向一考向二考向三考向四解:(1)f'(x)=ex+-96-考向一考向二考向三考向四解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否适合题意,最后适合题意的范围即为所求范围,这个范围的最大值也就求出.-96-考向一考向二考向三考向四解题心得依据题意,对参数分类-97-考向一考向二考向三考向四对点训练5设函数f(x)=αcos2x+(α-1)(cosx+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明|f'(x)|≤2A.(1)解:f'(x)=-2αsin

2x-(α-1)sin

x.(2)解:当α≥1时,|f(x)|=|αcos

2x+(α-1)(cos

x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcos2x+(α-1)cos

x-1.令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,-97-考向一考向二考向三考向四对点训练5设函数f(x)=α-98-考向一考向二考向三考向四|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以A=2-3α.-98-考向一考向二考向三考向四|g(-1)|=α,|g(1-99-考向一考向二考向三考向四-99-考向一考向二考向三考向四-100-考向一考向二考向三考向四(3)证明:由(1)得|f'(x)|=|-2αsin

2x-(α-1)sin

x|≤2α+|α-1|.所以|f'(x)|≤1+α<2A.当α≥1时,|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.-100-考向一考向二考向三考向四(3)证明:由(1)得|f-101-考向一考向二考向三考向四证明函数有最值并求最值范围解题策略

零点分布法

-101-考向一考向二考向三考向四证明函数有最值并求最值范围-102-考向一考向二考向三考向四(x-2)ex+x+2>0,得结论a∈[0,1)⇔x0∈(0,2],从而h(a)(a∈[0,1))的值域就是g(x0)(x0∈(0,2])的值域.-102-考向一考向二考向三考向四(x-2)ex+x+2>0-103-考向一考向二考向三考向四解:(1)f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞).当且仅当x=0时,f'(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)单调递增.因此当x∈(0,+∞)时,f(x)>f(0)=-1.所以(x-2)ex>-(x+2),(x-2)ex+x+2>0.由(1)知,当x>0时,f(x)+a单调递增.对任意a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0.因此,存在唯一xa∈(0,2],使得f(xa)+a=0,即g'(xa)=0.当0<x<xa时,f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>xa时,f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.-103-考向一考向二考向三考向四解:(1)f(x)的定义域-104-考向一考向二考向三考向四因此g(x)在x=xa处取得最小值,解题心得在证明函数f(x)有最值及求最值范围时,若f'(x)=0解不出,可运用零点存在性定理求出极值点t存在的范围,从而用t表示出最值,此时最值是关于t的函数,通过函数关系式求出最值的范围.-104-考向一考向二考向三考向四因此g(x)在x=xa处取-105-考向一考向二考向三考向四对点训练6已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x+2)2(x>0).(1)若f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)当a∈

时,求证:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)最小值的取值范围.(1)解:由题意,得f'(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,∵函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.∴ex+(x-2)ex+2ax+4a≥0,-105-考向一考向二考向三考向四对点训练6已知函数f(x)-106-考向一考向二考向三考向四(2)证明:∵f'(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,∴[f'(x)]'=x·ex+2a>0,∴y=f'(x)在(0,+∞)上单调递增,又f'(0)=4a-1<0,f'(1)=6a>0,∴存在t∈(0,1)使f'(t)=0,∴x∈(0,t)时,f'(x)<0,x∈(t,+∞)时,f'(x)>0,当x=t时,f(x)min=f(t)=(t-2)et+a(t+2)2,由f'(t)=0,即et·(t-1)+2a(t+2)=0,-106-考向一考向二考向三考向四(2)证明:∵f'(x)=-107-考向一考向二考向三考向四∴f(t)在(0,1)上递减,∴f(1)<f(t)<f(0),-e<f(t)<-1,∴f(x)的最小值的取值范围是(-e,-1).-107-考向一考向二考向三考向四∴f(t)在(0,1)上递-108-考向一考向二考向三考向四与极值、最值有关的证明问题解题策略

等价转换法

例7已知函数f(x)=ln

x-2ax,a∈R.(1)若函数y=f(x)存在与直线2x-y=0垂直的切线,求实数a的取值范围;-108-考向一考向二考向三考向四与极值、最值有关的证明问题-109-考向一考向二考向三考向四①当-1≤a≤1时,g(x)单调递增无极值点,不符合题意,②当a>1或a<-1时,令g'(x)=0,设x2-2ax+1=0的两根为x1和x2,因为x1为函数g(x)的极大值点,-109-考向一考向二考向三考向四①当-1≤a≤1时,g(x-110-考向一考向二考向三考向四所以0<x1<x2,又x1x2=1,x1+x2=2a>0,所以a>0,0<x1<1,-110-考向一考向二考向三考向四所以0<x1<x2,-111-考向一考向二考向三考向四所以h(x)在(0,1)上单调递减,所以h(x)>h(1)=0,原题得证.解题心得将已知条件进行转换或将要解决的问题进行等价转换是解决函数问题的常用方法,通过转换变陌生问题为熟悉问题,从而得到解决.-111-考向一考向二考向三考向四所以h(x)在(0,1)上-112-考向一考向二考向三考向四对点训练7设函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,a∈R.(1)若a=1,求f(x)的递增区间;(2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;(1)解:当a=1,f(x)=e2x-4ex-2x,f'(x)=2e2x-4ex-2,(2)解:∵f(x)在R上单调递增,∴f'(x)=2e2x-4aex-2a≥0在R上恒成立,-112-考向一考向二考向三考向四对点训练7设函数f(x)=-113-考向一考向二考向三考向四(3)证明:∵F(x)=e2x-4aex-2ax+x2+5a2=5a2-(4ex+2x)a+x2+e2x

设h(x)=ex-2x,则h'(x)=ex-2,令h'(x)<0,