江西省宜春第九中学2023学年高三二诊模拟考试数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（）A． B． C． D．2．已知实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．3．已知，则（）A．5 B． C．13 D．4．设是虚数单位，，，则（）A． B． C．1 D．25．已知点，是函数的函数图像上的任意两点，且在点处的切线与直线AB平行，则()A．，b为任意非零实数 B．，a为任意非零实数C．a、b均为任意实数 D．不存在满足条件的实数a，b6．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是()A． B．C． D．7．已知，，若，则实数的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或78．已知函数，则下列判断错误的是（）A．的最小正周期为 B．的值域为C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称9．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（）．A． B． C．1 D．10．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

A．08 B．07 C．02 D．0111．已知，，，，．若实数，满足不等式组，则目标函数（）A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值12．已知函数，其中，记函数满足条件：为事件，则事件发生的概率为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图所示的流程图中，输出的值为______.14．若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______．15．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．16．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________，该几何体的表面积为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足（），数列的前项和，（），且，．（1）求数列的通项公式：（2）求数列的通项公式．（3）设，记是数列的前项和，求正整数，使得对于任意的均有．18．（12分）已知函数，．（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若，当时，函数，求函数的最小值．19．（12分）设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.21．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.22．（10分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P是椭圆上异于短轴端点A，B的任意一点，过点P作轴于Q，线段PQ的中点为M.直线AM与直线交于点N，D为线段BN的中点，设O为坐标原点，试判断以OD为直径的圆与点M的位置关系.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

取的中点，连接、，推导出，设设球心为，和的中心分别为、，可得出平面，平面，利用勾股定理计算出球的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【题目详解】取的中点，连接、，由和都是正三角形，得，，则，则，由勾股定理的逆定理，得.设球心为，和的中心分别为、.由球的性质可知：平面，平面，又，由勾股定理得.所以外接球半径为.所以外接球的表面积为.故选：B.【答案点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．A【答案解析】

所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.【题目详解】解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：．【答案点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.3．C【答案解析】

先化简复数，再求，最后求即可.【题目详解】解：，，故选：C【答案点睛】考查复数的运算，是基础题.4．C【答案解析】

由，可得，通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出的值.【题目详解】解：，，解得：.故选:C.【答案点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把当成进行运算.5．A【答案解析】

求得的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得，为任意非零实数.【题目详解】依题意，在点处的切线与直线AB平行，即有，所以，由于对任意上式都成立，可得，为非零实数.故选：A【答案点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．6．C【答案解析】

对选项逐个验证即得答案.【题目详解】对于，，是偶函数，故选项错误；对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误；对于，当时，；当时，；又时，.综上，对，都有，是奇函数.又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确；对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误.故选：.【答案点睛】本题考查函数的基本性质，属于基础题.7．C【答案解析】

根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.【题目详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得.∴解得.故选：C.【答案点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.8．D【答案解析】

先将函数化为，再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】可得对于A，的最小正周期为,故A正确；对于B，由，可得，故B正确；对于C，正弦函数对称轴可得：解得：，当，，故C正确；对于D，正弦函数对称中心的横坐标为：解得：若图象关于点对称，则解得：，故D错误；故选：D.【答案点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9．B【答案解析】

首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长．【题目详解】解：根据三视图还原几何体如图所示，所以，该四棱锥体的最长的棱长为．故选：B．【答案点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题．10．D【答案解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力.11．B【答案解析】

判断直线与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.【题目详解】由，，所以可得.，所以由，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图所示：由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.故选：B【答案点睛】本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.12．D【答案解析】

由得，分别以为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．4【答案解析】

根据流程图依次运行直到，结束循环，输出n，得出结果.【题目详解】由题：，，，结束循环，输出.故答案为：4【答案点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.14．【答案解析】

利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解.【题目详解】因为双曲线的离心率为,所以,即,因为双曲线的渐近线方程为,所以双曲线的渐近线方程为.故答案为:【答案点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题.15．【答案解析】试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为，则一次取出2只球，基本事件为、、、、、共6种，其中2只球的颜色不同的是、、、、共5种；所以所求的概率是．考点：古典概型概率16．；【答案解析】试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是考点：1．三视图；2．几何体的表面积．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（）．（2），．（3）【答案解析】

（1）依题意先求出,然后根据,求出的通项公式为,再检验的情况即可;（2）由递推公式,得,结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;（3）通过（1）、（2）可得,所以,,,,．记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解.【题目详解】解：（1）因为数列满足（）①；②当时,．检验当时,成立.所以,数列的通项公式为（）．（2）由,得,①所以,．②由①②,得,,即,,③所以,,．④由③④,得,,因为,所以,上式同除以,得,,即,所以,数列时首项为1,公差为1的等差数列,故,．（3）因为．所以,,,,．记,当时,．所以,当时,数列为单调递减,当时,．从而,当时,．因此,．所以,对任意的,．综上,．【答案点睛】本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.18．（1）见解析（2）的最小值为【答案解析】

（1）由题可得函数的定义域为，，当时，，令，可得；令，可得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；当时，令，可得；令，可得或，所以函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，所以函数在上单调递增．综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增．（2）方法一：当时，，，设，，则，所以函数在上单调递减，所以，当且仅当时取等号．当时，设，则，所以，设，，则，所以函数在上单调递减，且，，所以存在，使得，所以当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，，所以，所以，当且仅当时取等号．所以当时，函数取得最小值，且，故函数的最小值为．方法二：当时，，，则，令，，则，所以函数在上单调递增，又，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以当时，恒成立，所以当时，恒成立，所以函数在上单调递减，所以函数的最小值为．19．(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【答案解析】

(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【题目详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【答案点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【答案解析】

（Ⅰ）取中点，连，，根据平行四边形，可得，进而证得平面平面，利用面面垂直的性质，得平面，又由，即可得到平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.【题目详解】（Ⅰ）取中点，连，，由，可得，可得是平行四边形，则，又平面，∴平面平面，∵平面，平面，∴平面平面，∵，是中点，则，而平面平面，而，∴平面.（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，得.【答案点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.21．（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.【答案解析】

（1）当时，，求得其导函数，，可求得函数的图象在处的切线方程；（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；（3）