《一元二次方程》课件-(公开课获奖)2022年华师大版-2

22.1一元二次方程22.1一元二次方程1一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2，则花边多宽?你怎么解决这个问题？新知探索一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５2解：如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为

m,宽为

m,根据题意,可得方程：（8－2x）（5－2x）(8－

2x)(5－

2x)=18.5xxxx

（8－2x）（5－2x）818m2数学化新知探索解：如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为3x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m如果设梯子底端滑动Xm，那么滑动后梯子底端距墙

m根据题意，可得方程：

72＋(X＋6)2＝1026X＋6如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？10m数学化新知探索x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯4由上面二个问题，我们可以得到二个方程：(8-2x)(5-2x)=18;即

2x2－

13x＋11=0.(x＋６)2＋７2＝102即x2＋12

x－15＝0.上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？新知探索特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.由上面二个问题，我们可以得到二个方程：(8-2x)(5-2x5我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２，bx

，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，

b分别称为二次项系数和一次项系数．新知探索一元二次方程的概念

像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一6下列方程哪些是一元二次方程?为什么？(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0解:

(1)、(4)(3)2x2－－1＝0

－13x(4)＝0－y22练习巩固下列方程哪些是一元二次方程?为什么？(2)2x2－5xy＋71.关于x的方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,当k

时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,当k

时，是一元二次方程．当k

时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1例题精讲1.关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,2.关于x83.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0或－7x2＋0

x＋4＝03－5＋11＋1－8－70

43－5

111－8－70

4或7x2

－4＝070－4－7x2＋4＝0例题精讲3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、9解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为

尺,长为

尺,依题意得方程：4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．(x－4)2＋(x－2)2＝x2即x2－12x＋20＝04尺2尺xx－4x－2数学化(x－4)(x－2)例题精讲解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为尺10拓展提高1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2，求m的值。3.方程(x2－1)(2x+5)=0的解为

。2.方程(x－1)(x+3)(x－2)=0的解为

。4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根，求m2+m的值为

。拓展提高1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－211拓展提高5.方程x2－2007x－2008=0的解为1；2B.2；2008C.－1；2008D.1；－20086.已知6和－7是某一个方程的两个根，则该方程可以是(x－7)(x+6)=0B.(x+7)(x+6)=0C.x2－x+42=0D.x2+x－42=0拓展提高5.方程x2－2007x－2008=0的解为6.12本节课你又学会了哪些新知识呢？１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．２．会用一元二次方程表示实际生活中数量关系本节课你又学会了哪些新知识呢？133．根据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5)m,宽为(x＋2)m，依题意得方程：(x＋5)(x＋2)＝54即x2

＋7x－44＝025xxX＋5X＋254m23．根据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2的长方形，将14（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242.

x2

＋2x－80＝0.即解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１,

x＋2，依题意得方程：（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分15单项式除以单项式单项式除以单项式16学习目标课堂小结巩固练习例题讲解复习回顾学习六步曲探究新知学习目标课堂小结巩固练习例题讲解复习回顾学习六步曲探究新知17学习目标

掌握单项式除以单项式的运算法则，并能熟练地运用这些法则进行有关计算。学习目标掌握单项式除以单项式的运算法则，并能熟18(2)=

;

回顾

&

思考☞1、用字母表示幂的运算性质：(3)=

;

(4)=

.

;(1)=

;

2、计算：(1)

a20÷a10；(2)

a2n÷an(3)(−c)4÷(−c)2；(4)

(a2)3·(-a3)÷a3)；

(5)

(x4)6÷(x6)2·(-x4)2。=a10=an=c2=−a9÷a3=−a6=x24÷x12·x8=x24—12+8=x20(2)=;回顾&思考☞1、用19类比探索做一做计算下列各题,并说说你的理由:(1)(x5y)

÷x2;(2)(8m2n2)

÷(2m2n);(3)(a4b2c)÷(3a2b)解：(1)(x5y)6÷x2=

x30y6÷x2

把除法式子写成分数形式，=

把幂写成乘积形式，

约分。==x·x·x·yxxxx=x3y

；

省略分数及其运算,上述过程相当于：

(1)(x5y)

÷x2=(x5÷x2)·y=x5−2

·y可以用类似于分数约分的方法来计算。(2)(8m2n2)

÷(2m2n)==(8÷2

)·m2−2·n2−1(3)(8÷2

)·(m2÷m2)·(n2÷n

)(1)(x5y)

÷x2=(x5÷x2)·y=x5−2

·y=4n类比探索做一做计算下列各题,并说说你的理由:解：(120观察、归纳

观察

&

归纳(1)

(x5y)

÷x2=x5−2

·y(2)(8m2n2)

÷(2m2n)=(8÷2

)·m2

−2·n2−1;(3)(a4b2c)÷(3a2b)=(1÷3

)·a4−2·b2−1·c.商式被除式除式

仔细观察一下，并分析与思考下列几点：(被除式的指数)—(除式的指数)(被除式的系数)÷(除式的系数)商式的系数＝单项式除以单项式，其结果(商式)仍是(同底数幂)商的指数＝一个单项式;写在商里面作被除式里单独有的幂，因式。观察、归纳观察&归纳(1)21单项式的除法法则如何进行单项式除以单项式的运算?议一议

单项式相除,把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式。

理解商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变，指数相减。保留在商里作为因式。单项式的除法法则如何进行单项式除以单项式的运算?议一议22例题解析学一学

例1计算：(1)

;

(2)(10a4b3c2)÷(5a3bc);(−x2y3)÷(3x2y3)

(1)(2)小题的结构一样,说说可能用到的有关幂的运算公式或法则.

观察

&

思考am÷an

=am−n同底幂的除法法则:☾(3)(2x2y)3·(−7xy2)÷(14x4y3);(4)(2a+b)4÷(2a+b)2.[(−7)÷14]·x1−4y2−3题(3)能这样解吗?(2x2y)3·(−7xy2)÷(14x4y3)=(2x2y)3·三块之间是同级运算,只能从左到右.☞

括号内是积、括号外右角有指数时，先用积的乘方法则。(2a+b)4÷(2a+b)2=(24a4b4)÷(22a2b2)

题(4)能这样解吗?

两个底数是相同的多项式时,应看成一个整体(如一个字母).例题解析学一学例1计算：(−x223随堂练习(1)

(2a6b3)÷(a3b2);

(2);

(3)(3m2n3)÷(mn)2;(4)(2x2y)3÷(6x3y2).1、计算：(

x3y2)÷(x2y)随堂练习(1)(2a6b3)÷(a3b2);24答:

月球距离地球大约×105千米,一架飞机的速度约为8×102千米/时.如果乘坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要多少时间?×105÷(8×102)？这样列式的依据=

×103？如何得到的？单位是什么=480(小时)

？如何得到的=20(天)

.？做完了吗如果乘坐此飞机飞行这么远的距离,大约需要20天时间.解题后的反思

你能直接列出一个时间为天的算式吗?×105÷(8×102)÷12.你会计算吗?阅读

思考☞解:学以致用答:月球距离地球大约×105千米,一架飞机25(3)(

)÷(2x3y3

)=

;巩固练习1、计算填空:⑴(60x3y5)÷(−12xy3)=

;◣◢综(2)

(8x6y4z)÷(

)=−4x2y2;合(4)

若(ax3my12)÷(3x3y2n)=4x6y8,

则a=

,m=

,n=

;−5x2y2−2x4y2z1232(3)()÷(2x3y326你来总结课堂小结本题课你有什么收获或感想？你还有什么疑问？你来总结课堂小结本题课你有什么收获或感想？你还有什么疑问？27再见再见2822.1一元二次方程22.1一元二次方程29一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2，则花边多宽?你怎么解决这个问题？新知探索一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５30解：如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为

m,宽为

m,根据题意,可得方程：（8－2x）（5－2x）(8－

2x)(5－

2x)=18.5xxxx

（8－2x）（5－2x）818m2数学化新知探索解：如果设花边的宽为xm,那么地毯中央长方形图案的长为31x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m如果设梯子底端滑动Xm，那么滑动后梯子底端距墙

m根据题意，可得方程：

72＋(X＋6)2＝1026X＋6如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？10m数学化新知探索x8m110m7m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯32由上面二个问题，我们可以得到二个方程：(8-2x)(5-2x)=18;即

2x2－

13x＋11=0.(x＋６)2＋７2＝102即x2＋12

x－15＝0.上述二个方程有什么共同特点？与我们以前学过的一元一次方程和分式方程有什么区别？新知探索特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.由上面二个问题，我们可以得到二个方程：(8-2x)(5-2x33我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２，bx

，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，

b分别称为二次项系数和一次项系数．新知探索一元二次方程的概念

像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。我们把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数,a≠０)称为一34下列方程哪些是一元二次方程?为什么？(2)2x2－5xy＋6y＝0(5)x2＋2x－3＝1＋x2(1)7x2－6x＝0解:

(1)、(4)(3)2x2－－1＝0

－13x(4)＝0－y22练习巩固下列方程哪些是一元二次方程?为什么？(2)2x2－5xy＋351.关于x的方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,当k

时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,当k

时，是一元二次方程．当k

时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1例题精讲1.关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,2.关于x363.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0或－7x2＋0

x＋4＝03－5＋11＋1－8－70

43－5

111－8－70

4或7x2

－4＝070－4－7x2＋4＝0例题精讲3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、37解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为

尺,长为

尺,依题意得方程：4．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．(x－4)2＋(x－2)2＝x2即x2－12x＋20＝04尺2尺xx－4x－2数学化(x－4)(x－2)例题精讲解：设竹竿的长为x尺,则门的宽度为尺38拓展提高1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2，求m的值。3.方程(x2－1)(2x+5)=0的解为

。2.方程(x－1)(x+3)(x－2)=0的解为

。4.已知m是方程x2+x－2009=0的一个根，求m2+m的值为

。拓展提高1.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－239拓展提高5.方程x2－2007x－2008=0的解为1；2B.2；2008C.－1；2008D.1；－20086.已知6和－7是某一个方程的两个根，则该方程可以是(x－7)(x+6)=0B.(x+7)(x+6)=0C.x2－x+42=0D.x2+x－42=0拓展提高5.方程x2－2007x－2008=0的解为6.40本节课你又学会了哪些新知识呢？１．学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数．２．会用一元二次方程表示实际生活中数量关系本节课你又学会了哪些新知识呢？413．根据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？解：设正方形的边长为xm，则原长方形的长为(x＋5)m,宽为(x＋2)m，依题意得方程：(x＋5)(x＋2)＝54即x2

＋7x－44＝025xxX＋5X＋254m23．根据题意，列出方程：（１）有一面积为54m2的长方形，将42（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？x(x＋1)＋x(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)＝242.

x2

＋2x－80＝0.即解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋１,

x＋2，依题意得方程：（２）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分43单项式除以单项式单项式除以单项式44学习目标课堂小结巩固练习例题讲解复习回顾学习六步曲探究新知学习目标课堂小结巩固练习例题讲解复习回顾学习六步曲探究新知45学习目标

掌握单项式除以单项式的运算法则，并能熟练地运用这些法则进行有关计算。学习目标掌握单项式除以单项式的运算法则，并能熟46(2)=

;

回顾

&

思考☞1、用字母表示幂的运算性质：(3)=

;

(4)=

.

;(1)=

;

2、计算：(1)

a20÷a10；(2)

a2n÷an(3)(−c)4÷(−c)2；(4)

(a2)3·(-a3)÷a3)；

(5)

(x4)6÷(x6)2·(-x4)2。=a10=an=c2=−a9÷a3=−a6=x24÷x12·x8=x24—12+8=x20(2)=;回顾&思考☞1、用47类比探索做一做计算下列各题,并说说你的理由:(1)(x5y)

÷x2;(2)(8m2n2)

÷(2m2n);(3)(a4b2c)÷(3a2b)解：(1)(x5y)6÷x2=

x30y6÷x2

把除法式子写成分数形式，=

把幂写成乘积形式，

约分。==x·x·x·yxxxx=x3y

；

省略分数及其运算,上述过程相当于：

(1)(x5y)

÷x2=(x5÷x2)·y=x5−2

·y可以用类似于分数约分的方法来计算。(2)(8m2n2)

÷(2m2n)==(8÷2

)·m2−2·n2−1(3)(8÷2

)·(m2÷m2)·(n2÷n

)(1)(x5y)

÷x2=(x5÷x2)·y=x5−2

·y=4n类比探索做一做计算下列各题,并说说你的理由:解：(148观察、归纳

观察

&

归纳(1)

(x5y)

÷x2=x5−2

·y(2)(8m2n2)

÷(2m2n)=(8÷2

)·m2

−2·n2−1;(3)(a4b2c)÷(3a2b)=(1÷3

)·a4−2·b2−1·c.商式被除式除式

仔细观察一下，并分析与思考下列几点：(被除式的指数)—(除式的指数)(被除式的系数)÷(除式的系数)商式的系数＝单项式除以单项式，其结果(商式)仍是(同底数幂)商的指数＝一个单项式;写在商里面作被除式里单独有的幂，因式。观察、归纳观察&归纳(1)49单项式的除法法则如何进行单项式除以单项式的运算?议一议

单项式相除,把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式。

理解商式＝系数•同底的幂

•被除式里单独有的幂底数不变，指数相减。保留在商里作为因式。单项式的除法法则如何进行单项式除以单项式的运算?议一议50例题解析学一学

例1计算：(1)

;

(2)(10a4b3c2)÷(5a3bc);(−x2y3)÷(3x2y3)

(1)(2)小题的结构一样,说说可能用到的有关幂的运算公式或法则.

观察

&

思考am÷an

=am−n同底幂的除法法则:☾(3)(2x2y)3·(−7xy2)÷(14x4y3);(4)(2a+b)4÷(2a+b)2.[(−7)÷14]·x1−4y2−3