初二教案三角形压轴题分类解析学习汇报总结

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济南初中数学压轴姜姜老师

北师大版七年级下三角形综合题归类

一、双等边三角形模型1.（1）如图7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，订交于点E，连接BC．求∠AEB的大小；（2）如图8，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕着点O旋转（OAB和OCD不能重叠），求∠AEB的大小.CBBECEDOAOAD图7图8

同类变式：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共极点C，连接AF和BE.

线段AF和BE有如何的大小关系?请证明你的结论；

(2)将图a中的△CEF绕点C旋转必定的角度，获得图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明原由；

(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转必定的角度，请你画出一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成

立吗?作出判断不用说明原由.

图c

如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M,N分别为EB,CD的中点，易证：

CDBE，△AMN是等边三角形．（1）当把△ADE绕A点旋转到图10的地点时，CDBE能否依旧成立？若成立,请证明；若不成立，请说明原由；（2）当△ADE绕A点旋转到图11的地点时，△AMN能否还是等边三角形？假如，请给出证明，若不是，请说明理由．

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图9图10图11标准适用

同类变式：已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BECD；②AMAN；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其余条件不变，获得图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论能否依旧成立.CCNNEBDAMBDMDAE图①图②A4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接GBG与DE订交于点H．（）证明：△ABG≌△ADE；C1H（2）试猜想BHD的度数，并说明原由；FE（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转（0°＜BAE＜180°），设△ABE的面积B为S1，△ADG的面积为S2，判断S1与S2的大小关系，并恩赐证明．

5.已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AE，CD．

1）求证：△AGE≌△DAC；

2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断△AEF是如何的三角形，试证明你的结论．

A

EDG

BFC

二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为要点观察内容）

考点1：利用垂直证明角相等文案大全标准适用

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

求证：（1）AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长．

2.（西安中考）如图(1),已知△ABC中,0且B、C∠BAC=90,AB=AC,AE是过A的一条直线,在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E。

图(1)图(2)图(3)

试说明:BD=DE+CE.

若直线AE绕A点旋转到图(2)地点时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?写结论,并说明理

由。

若直线AE绕A点旋转到图(3)地点时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?写出结论,可不说明原由。

3.直线CD经过BCA的极点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且BECCFA．

（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下边两个问题：

①如图1，若BCA90,90，则EFBEAF（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若0BCA180，若使①中的结论依旧成立，则与BCA应满足的关系是；

（2）如图3，若直线CD经过BCA的外面，BCA，请研究EF、与BE、AF三条线段的数目关系，并给

文案大全标准适用

予证明．

BBBFDEAECEFDCCAAFD图1图2图3

考点2：利用角相等证明垂直

已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确立AP与AQ的数目关系和地点关系

QA

F

DE

P

BC

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

求证：CD=BF；

求证：AD⊥CF；

连接AF，试判断△ACF的形状.

拓展牢固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．

ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交

C

FD

ABE图9

如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.

1）试猜想AE与GC有如何的地点关系，并证明你的结论；

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你以为（1）

中的结论能否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明原由.

文案大全标准适用AFEBDC

4.如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC,且ACBC,EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图1中，请你经过观察、丈量，猜想并写出AB与AP所满足的数目关系和地点关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的地点时，EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数目关系和地点关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的地点时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ,你以为（2）中所猜想的BQ与AP的数目关系和地点关系和地点关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明原由.AEA(E)EAlQFPBCBC(F)P(3)QlBF(2)C(1)Pl

三、等腰三角形（中考重难点之一）考点1：等腰三角形性质的应用1.如图，ABC中，ABAC，BAC90，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC交于F．求证：BEAF，AECF．

2.两个全等的含30，60角的三角板ADE和三角板ABC，以以以下图搁置，E,A,C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME,MC．试判断EMC的形状，并说明原由．

MB

D

ECA

文案大全标准适用压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知RtABC中，ACBC，C90，D为AB边的中点，EDF90，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图1），易证SDEFSCEF1SABC．当EDF绕D点旋转到DE和AC2不垂直时，在图2和图3这两种状况下，上述结论能否成立?若成立，请恩赐证明；若不成立，SDEF，SCEF，SABC又有如何的数目关系？请写出你的猜想，不需证明．AAADDEDECBFCFBCFBE图1图2图3

3.已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE均分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD订交于点F，H

是BC边的中点，连接DH与BE订交于点G。(1)BF=AC(2)CE=1BF(3)CE与BC的大小关系如何。2

考点2：等腰直角三角形（45度的联想）

如图1，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边

经过点D，且直角极点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM

的均分线BF订交于点F.

⑴如图14―1，当点E在AB边的中点地点时：

①经过丈量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数目关系是；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数目关系是；

③请证明你的上述两猜想.

⑵如图14―2，当点E在AB边上的任意

地点时，请你在AD边上找到一点N,使得

NE=BF，从而猜想此时DE与EF有如何的数

量关系并证明

文案大全标准适用2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连接EF与CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．①求证：DG=DC②判断FH与FC的数目关系并加以证明．（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其余条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论能否发生改变．（本小题直接写出结论，不用证明）BBHGGFADECADCE图1图2同类变式：（期末考试原题哦）已知：△ABC为等边三角形，M是BC延长线上一点，直角三角尺的一条直角边

经过点A，且60o角的极点E在BC上滑动，（点E不与点B、C重合），斜边与∠ACM的均分线CF交于点F

（1）如图（1）当点E在BC边得中点地点时

○1猜想AE与EF满足的数目关系是.

○2连接点E与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数目关系

是.○3请证明你的上述猜想；AA（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意地点时，ＡＥ和EF有如何的数目关系，并说明你的原由？

F

NF

BCBECMM图（2）图（1）

四、角均分线问题1.如图：E在线段CD上，EA、EB分别均分∠DAB和∠CBA,∠AEB=90°,设AD＝x,BC＝y，且x,y满足x2y26x8y250EC文案大全D

AB标准适用

（1）求AD和BC的长；（2）你以为AD和BC还有什么关系？并考据你的结论；

（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不可以，请说明原由.

2.如图①，OP是∠MON的均分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参照这

个作全等三角形的方法，解答以下问题：

1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的均分线，AD、CE订交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数目关系；

2）如图③，在△ABC中，假如∠ACB不是直角，而(1)中的其余条件不变，请问，你在(1)中所得结论能否仍

然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明原由。BMBEEFDFDOPACC图①NA图②图③(第23题图)3.(北京市中考模拟试题)如图，在四边形ABCD中，AC均分BAD，过C作CEAB于E，而且AE1(ABAD)，2则ABCADC等于多少？DC

4.如图，△ABC中，AD均分∠BAC，DG⊥BC且均分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.AEB（1）说明BE=CF的原由；（2）假如AB=a，AC=b，求AE、BE的长.AEGBCFD五、中点问题1.在△ABC中,D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G。DEGF,并交AB于点E.连接EG.1）求证:BGCF；

2）请猜想BECF与EF的大小关系,并加以证明

文案大全标准适用

2.如右以以下图，在ABC中，若B2C，ADBC，E为BC边的中点．求证：AB2DE．A

BDEC

3.已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，CE为ABC的AB边上的中线．求证CD2CE（提示：倍长中线试一试）

C

AEBD

附带思虑题：以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BADCAE90.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．研究：A