2017名师一号文科-第1章1节

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合查清·基础知识探究·命题热点最新考纲1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系。2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。C查清·基础知识1．元素与集合(1)集合中的元素有三个性质：__________，__________，无序性。(2)集合中元素与集合的关系分为______和__________两种，分别用____和____表示。(3)常见数集的符号表示(4)集合有三种表示法：________，________，________。(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为________、________、______。确定性互异性属于不属于∈∉数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示法____N*或N＋____________NZQR列举法描述法图示法有限集无限集空集2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都____________子集A中任意一个元素均为B中的元素______________真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素______________空集空集是任何集合的_______，是任何非空集合的_________相同A＝BA⊆B或B⊇AAB或BA子集真子集3.集合的基本运算及性质(1)集合的基本运算∁UAx∈A或x∈Bx∈A且x∈Bx∈U且x∉A(2)集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔________。交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔______。补集的性质：A∪(∁UA)＝_____；A∩(∁UA)＝__；∁U(∁UA)＝__。B⊆AA⊆BU∅A[想一想]判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合。(

)(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A。(

)(3){1,2,3}＝{3,2,1}。(

)(4){0}＝∅。(

)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)总成立。(

)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C。(

)××√×√×解析(1)错误。A是函数y＝x2的定义域，即A＝R；B是函数y＝x2的值域，即B＝{y|y≥0}；C是抛物线y＝x2上的点组成的集合。(2)错误。元素与集合间的关系为“∈”或“∉”，a在集合A中，可用符号表示为a∈A。(3)正确。集合中元素的无序性的体现。(4)错误。∅是空集，不含有任何元素；而{0}是含有一个元素0的单元素集合。(5)正确。借助Venn图可知，(A∩B)⊆(A∪B)总是成立。(6)错误。若A＝∅，或A⊆B且A⊆C时，原题关系也成立，而集合B与C不一定相等。3．(2015·山东卷)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝(

)A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)解析A＝{x|1<x<3}，故A∩B＝{x|2<x<3}。答案C4．(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝(

)A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]解析先化简两集合，然后结合数轴可得解。M∪N＝{x|x＝1或x＝0}∪{x|0<x≤1}＝{x|0≤x≤1}，故选A。答案A5．已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。解析由题意知B⊆A，则集合B有8个。8T探究·命题热点【例1】

(1)(2016·衡水调研卷)设集合M＝{y|y＝2sinx，x∈[－5,5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝(

)A．{x|1<x≤5} B．{x|－1<x≤0}C．{x|－2≤x≤0} D．{x|1<x≤2}考点一

集合的基本概念

【解析】

(1)∵M＝{y|y＝2sinx，x∈[－5,5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}。【答案】

D

(2)已知集合A＝{a＋2016，a2－2015a＋2016,2015}，且2016∈A，则实数a的取值集合为________________。【解析】

令a2－2015a＋2016＝2016，则a＝0或a＝2015。当a＝0时，集合A中元素重复，故舍去。当a＝2015时，集合A满足题意。令a＋2016＝2016，则a＝0，显然不合题意，综上得a＝2015。{2015}【规律·方法】

(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。(2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。对应训练1

(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(

)A．1 B．3C．5 D．9解析∵x－y＝{－2，－1,0,1,2}，∴其元素个数为5。答案C(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________。考点二

集合间的基本关系

(－∞，3]【规律·方法】

根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解。(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性。(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到。对应训练2

(1)(2015·重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(

)A．A＝B B．A∩B＝∅C．AB D．BA(2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4解析(1)∵2∈A,3∈A，且1∉B，∴BA。(2)由题意可得，A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}。又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D项。答案(1)D

(2)D(3)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，①若B⊆A，求实数a的值；②若A⊆B，求实数a的值。考点三

集合的基本运算

发散2：借助数轴进行集合运算【例4】

(2015·四川卷)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)<0}，集合B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝(

)A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<1}C．{x|1<x<2} D．{x|2<x<3}【解析】

A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝{x|－1<x<3}。【答案】

A发散3：已知集合的运算结果求参数的取值范围【例5】

设集合A＝{x|(x－a)2<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(

)A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6} D．{a|2≤a≤4}对应训练5

已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝______，n＝________。－11【规律·方法】

集合运算问题的常见类型及解题策略(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解。(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解。(3)已知集合的运算结果求集合，常借助数轴或Venn图求解。(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解。1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到。解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化。2．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简。3．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解。求解集合中新定义问题的策略以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，考查考生理解、解决创新问题的能力。归纳起来常见的命题角度有：一、创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以创新，结合相应的数学知识，来解决创新集合的新定义问题。【例1】

(2015·湖北卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(

)A．77

B．49C．45

D．30【解析】

由题意，A＝{(0,0)，(0,1)，(0，－1)，(1,0)，(－1，0)}，B＝{(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，根据定义，知A⊕B＝{(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1，1)，(－1,2)，(0，－2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(－2,3)，(－1,3)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(－2，－3)，(－1，－3)，(0，－3)，(1，－3)，(2，－3)，(3，－2)，(3，－1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(－3，－2)，(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)}。其元素个数为45个。故选C。二、创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的。【例2】

对于任意两个正整数m，n，定义运算(用⊕表示运算符号)：当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊕