2022年浙教初中数学九上《垂径定理》课件5

3.3垂径定理(2)3.3垂径定理(2)1定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分

弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件①CD为直径②CD⊥AB⑤CD平分弧ADB③CD平分弦AB④CD平分弧AB结论温故知新定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分●OABCDM└CD⊥A2垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.条件结论1结论2逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分3②CD⊥AB,探索规律AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗

平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（不是直径）②CD⊥AB,探索规律AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能4只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

如图,对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└5规律（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.规律（3）（2）（2）（1）（1）（3）（1）（3）命题（16

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理7.OAEBDC已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC.⌒⌒⌒⌒定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.证明：连结OA，OB，则OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AE=BE,∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）（垂径定理）∴AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒请同学们独立证明定理2.OAEBDC已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E8（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.×√××√辨一辨（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对9（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，10（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平11例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.2m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱12ABOCDAB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D.R解：∴OC⊥AB.∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.∵C是AB的中点,⌒ABOCDAB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为13练一练1、已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有:

.AONMFEDCB练一练1、已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直14·ABCD0EFGH2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.M3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。（弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）·ABCD0EFGH2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、15

.AOBECDF4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.G

.AOBECDF4、已知：A16提示:

这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD（1）两条弦在圆心的同侧●OABCD（2）两条弦在圆心的异侧垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等EFE提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD（1）两17课堂小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO课堂小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作18拓展提高1、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？拓展提高1、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米19下列代数式是怎样组成的？有什么共同特点？

-3x,

2a2,ab,由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式单项式：规定:单独一个数或一个字母也是单项式。如1,-a思考下列代数式是怎样组成的？有什么共同由数与字母或字母与字母相乘20

判断下列各代数式是否是单项式，若不是，请说明理由。-m9试一试判断下列各代数式是否是单项式，若不是，请说明理由。-21

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.-3x,

2a2,ab,单项式

的系数分别是:-3,2,1单项式想一想:的系数,次数分别是多少?

特别注意：单独一个非零数的次数是0一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：-3x,2a2,ab单项式的次数分别是1，2，2。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.-3x221、判断下列代数式是否为单项式，如果是单项式，说出它的系数、次数：单项式

系数次数

8

1111

3

-1

2

28xmxy²-t²P99

作业题11、判断下列代数式是否为单项式，如果是单项式，说出它的系数、23下列代数式是怎样组成的？有什么

共同特点？

a2+3a-3,a2+b2+3,50x-1多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。再思考下列代数式是怎样组成的？有什么

共同特点？a2+3a-3,24

在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项多项式想一想:是多项式吗?它的系数,次数分别是多少?

例如，a2+3a-3的项有a2，3a，-3，常数项是-3，次数最高的项a2的次数是2.

一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中25指出下列代数式的项和次数,各是几次几项式多项式最高次项最高次项系数次数几次几项式

三次三项式13-18-2344四次三项式四次三项式八次四项式填一填指出下列代数式的项和次数,各是几次几项式多项式最高次项最高次26整式的概念：单项式与多项式统称为整式。问题：整式与代数式有什么关系？整式一定是代数式，代数式不一定是整式。整式的概念：单项式与多项式统称为整式。问题：整式与代数式有什27

下列代数式那些整式?哪些是单项式？哪些是多项式？它们的次数分别是多少？单项式的系数分别是多少？多项式的项数分别是多少？做一做下列代数式那些整式?哪些是单项式？哪些是多项式？28学以致用

我能行一个花坛的形状如图,它的两端是半径相等的半圆.求(1)花坛的周长C.(2)花坛的面积S思考与探索学以致用我能行一个花坛的形状如图,它的两端是半径相等的半圆29有长为L的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图的形状的园子，园子的宽为t.(1)用关于L，t的代数式表示园子的面积；

(2)当L=100m，t=30m时，求园子的面积。

t相应链接有长为L的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图的形状的园子，园30列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式是单项式还是多项式：（1）一场赛车比赛的门票的价格是每张50元，共售出了n张。总收入为多少元？（2）某城市预计明年固体污染物排放的增长率为-11.2%。设今年该市固体污染物排放总量为x万吨，那么预计明年该市固体污染物的排放总量为多少？（3）已知一个二位数的个位数字是b，十位数字是a。用关于a和b的代数式表示这个二位数。课内练习50n，单项式（1-11.2%）x，单项式10a+b，多项式列出表示下列各题结果的代数式，并指出这些代数式是单项式还是多311.

单项式－32mn2的系数是_____,次数是_____,－32mn2是____次单项式.2.

如果-5x2ym-1为4次单项式,m=___.3.多项式3x3-2x-5的常数项是___,一次项是_____,三次项的系数是_____.二次项的系数是_____.每项的系数分别是_________，每项的次数分别是________多项式的次数是______4.多项式58abm-3ab-3是关于a,b三次三项式，

则m=______学以致用－32

33

3

3

-5-2x

03,-2,-53,1,0321.单项式－32mn2的系数是_____,2.如果-32B

5、如果是7次单项式,则n的值是()A、4B、3C、2D、1B5、如果是332.一个含有x,y的5次单项式，x的指数是3且当x=2,y=-1时，这个单项式的值是40，求这个单项式。课外延伸2.一个含有x,y的5次单项式，x的指数是3且当343.3垂径定理(2)3.3垂径定理(2)35定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分

弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件①CD为直径②CD⊥AB⑤CD平分弧ADB③CD平分弦AB④CD平分弧AB结论温故知新定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分●OABCDM└CD⊥A36垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.条件结论1结论2逆命题1：平分弦的直径垂直于弦。逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。垂径定理的逆命题是什么？想一想垂直于弦的直径平分弦,并且平分37②CD⊥AB,探索规律AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.过点M作直径CD.●O上图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?CD由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗

平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.（不是直径）②CD⊥AB,探索规律AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.你能38只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

如图,对于一个圆和一条直线来说,如果在下列五个条件中:只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.●OABCDM└39规律（3）（1）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（4）（5）（1）（4）（3）（2）（5）（1）（5）（3）（4）（2）命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧命题（3）：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧①CD是直径,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.规律（3）（2）（2）（1）（1）（3）（1）（3）命题（140

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧逆定理定理41.OAEBDC已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E，且AE=BE.求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC.⌒⌒⌒⌒定理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.证明：连结OA，OB，则OA=OB∴△AOB是等腰三角形∵AE=BE,∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）（垂径定理）∴AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒请同学们独立证明定理2.OAEBDC已知：⊙O的直径CD交弦AB（不是直径）于点E42（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.×√××√辨一辨（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.（2）弦所对43（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，44（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（10）平分弧的直线，平45例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.2m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.01m).例1、1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱46ABOCDAB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R，C为AB的中点，连结OC，交AB于点D.R解：∴OC⊥AB.∴OC就是拱高.∴AD=1/2AB=0.5×37.02=18.51,OD=OC-DC=（R-7.23）.在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2∴R2=18.512+(R-7.23)2,解得R≈27.31.答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.∵C是AB的中点,⌒ABOCDAB表示桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为47练一练1、已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:

.图中相等的劣弧有:

.AONMFEDCB练一练1、已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直48·ABCD0EFGH2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.M3、在直径为130mm的圆铁片上切下一块高为32mm的弓形铁片，求弓形的弦的长度。（弓形是圆弧和它所对的弦围成的图形）·ABCD0EFGH2、如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、49

.AOBECDF4、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DF.G

.AOBECDF4、已知：A50提示:

这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD（1）两条弦在圆心的同侧●OABCD（2）两条弦在圆心的异侧垂径定理的推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等.5、求证:如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等EFE提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD（1）两51课堂小结:

解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO课堂小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作52拓展提高1、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？拓展提高1、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米53下列代数式是怎样组成的？有什么共同特点？

-3x,

2a2,ab,由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式单项式：规定:单独一个数或一个字母也是单项式。如1,-a思考下列代数式是怎样组成的？有什么共同由数与字母或字母与字母相乘54

判断下列各代数式是否是单项式，若不是，请说明理由。-m9试一试判断下列各代数式是否是单项式，若不是，请说明理由。-55

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.-3x,

2a2,ab,单项式

的系数分别是:-3,2,1单项式想一想:的系数,次数分别是多少?

特别注意：单独一个非零数的次数是0一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如：-3x,2a2,ab单项式的次数分别是1，2，2。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.-3x561、判断下列代数式是否为单项式，如果是单项式，说出它的系数、次数：单项式

系数次数

8

1111

3

-1

2

28xmxy²-t²P99

作业题11、判断下列代数式是否为单项式，如果是单项式，说出它的系数、57下列代数式是怎样组成的？有什么

共同特点？

a2+3a-3,a2+b2+3,50x-1多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式。再思考下列代数式是怎样组成的？有什么

共同特点？a2+3a-3,58

在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项多项式想一想:是多项式吗?它的系数,次数分别是多少?

例如，a2+3a-3的项有a2，3a，-3，常数项是-3，次数最高的项a2的次数是2.

一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中59指出下列代数式的项和次数,各是几次几项式多项式最高次项最高次项系数次数几次几项式

三次三项式13-18-2344四次三项式四次三项式八次四项式填一填指出下列代数式的项和次数,各是几次几项式多项式最高次项最高次60整式的概念：单项式与多项式统称为整式。问题：整式与代数式有什么关系？整式一定是代数式，代数式不一定是整式。整式的概念：单项式与多项式统称为整式。问题：整式与代数式有什61

下列代数式那些整式?哪些是单项式？哪些是多项式？它们的次数分别是多少？单项式的系数分别是多少？多项式的项数分别是多少？做一做下列代数式那些整式?哪些是单项式？哪些是多项式？62学以致用

我能行一个花坛的形状如图,它的两端是半径相等的半圆.求(1)花坛的周长C.(