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文档简介
初中几何题中几种常见的辅助线对于几何题中辅助线如何添加,学生往往感到比较困难,而小小一条辅助线有时又是解决问题的关键,辅助线添加的好,它可使复杂的题目大大简话,有时有可使难题迎刃而解。因此,掌握几种常见的辅助线的作法很有必要,我认为初中阶段辅助线的添加不外乎就是以下几种:1、在解有关等腰三角形的问题时,“三线合一”是常见的辅助线;2、在解有关平行四边形的问题时,对角线是常用的辅助线:3、在解有关等腰梯形的问题时,有常见的三种辅助线:①作等腰梯形的高;②在等腰梯形内部(或外部作平行四边形)③延长等腰梯形的两腰、相交得到三角形.4、在解有关圆的问题时,常常要作垂直于弦的直径,即“弦心距”;5、在解有关圆的切线问题时,经常需要作出过切点的半径;6、在解有关圆的问题时,作直径上的圆周角,也是比较常用的辅助线;7、在解有关两圆相交的问题时,相交两圆的公共弦是常用的辅助线;8、在解有关两圆相切的问题时,内、外公切线是常用的辅助线.等等从上面可以看出,辅助线添加是遵循一定规律的,既与该题所涉及的定理、推论有关,因此,只有在熟练的理解和掌握了所学的公理、定理、推论的前提下,才能恰到好处的连好辅助线,为后面证题铺平道路。以上是本人的一点肤浅认识,希望同仁多提宝贵意见。专题三:初学添加辅助线教学目的:使学生掌握添加辅助线的方法教学重点与难点:如何添加辅助线教学过程:说明:利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明,必须具备相应的图形,即三线八角,如果图形不齐全,则应将其补齐,这个“补齐”过程,就是添置辅助线,通常有两种情况;.缺角补角在图形中虽然具备了“三线”,但“八角”没有完全显露出来,为了使解题思路流畅自然,应利用延长线段的方法,将“八角”补齐.缺线补线如果在图形中“三线”尚不齐全,则首要的任务是添线,通常是做平行线进行添线,添置平行线有一定难度,应结合已知条件,对图形全面进行考查,并辅以必要的练习,才能领会其中要领。
例题解析:例1.如图所示,AB//CD,/A=/C。求证;AD//BC分析:由AB//CD知它所对应的图形应是三线八角,而在图中,没有完全显露出来,为了更好地使用已知条件,可以将某些线段延长证法1:如图所示,延长CD和AD。©AB//CD(己知)二=两直线平行,同位角相等)0Z4=ZC(已知)..Zl=ZC二ADHBC(椭角相等,两直线平行)AB证法2:延长CD和AD。QABIICD(已知)[N4=N2(两直线平行,内错角相等)己知).N2=ZC..ADHBC(同位角相等,两直线平行)证法3:延长CD和AD^ABHCD(已知)/4+/3=180。(两直线平行,同旁内角互补)⑥乙4=/C(己知)Z3+ZC=180°:.(同旁内角互补,两直线平行)小结:延长AD,CD是为了更好地认识和使用图形一一三线八角,但没有决定性作用,可以不作为添加辅助线的必要部分。本题虽然不添置辅助线也能够证明,但思路狭隘,不利于培养逻辑思维能力。例2.如图所示,已知:/B+/D=/BED,求证:AB//CD分析:由条件和结论可以发现,要证明AB//CD,缺少第三条直线,怎样添加第三条直线呢?如图1中,DM是第三条直线;图2中,BN是第三条直线;图3中,BD是第三条直线,按这三种方法添置辅助线,都可以进行证明,只是在证明过程中,要用到三角形内角和定理。图1
A由已知图形及条件/B+/D=/BED可以意识到,AB,CD分别在两组“三线八角”中,而且BE,DE分别是第三条直线,基于上述认识,过E点应存在一条平行于AB的直线,这就挖掘出了添置辅助线“过E作EF//AB”的背景。如图4,也是过E作EF//AB,图5也是过E作EG//AB,只是方向不同。证法1:如图4,过E作EF//ABZB=Z1(两直线平行,内错角相等)0Z^D=Z1+Z2(等量代换)Z^D=Z^+ZZ)(已知)Z1+Z2-Z5+ZD(等量代换);Z2=ZD二EF//CD(内错角相等,两直线平行)/CO(平行于同一条直线的两直线平行)证法2:如图5,过E作EG//AB请同学自己完成证明。【模拟试题】.如图所示,已知AB//CD,求证:NB+CBED.如图所示,已知M般片乙比二加,4=40*,求证:破间.如图所示,AB//CD,EF分另U交
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