上海名校北数学-6直角三角形的性质+张来

21.6直角三角形的性质对于直角三角形，我们主要研究它的角、边、特殊线段等之间构成的特殊关系，在七年级第二学期我们已经学习过直角三角形的一个性质：直角三角形的性质定理1:直角三角形的两个锐角互余本课我们重点研究直角三角形的斜边上的中线的性质.问题如图21.6.1,为迎接2008年奥运会，我们已在北京西郊建成射击场C、体操馆B、水上中心A三个重要场馆，恰巧处于一个直角三角形的三个顶点上，现要修建运动员的休息公寓，为了公平起见，你作为设计师，你觉得要在哪里修建比较合理？图21.6.1我们先从最特殊的直角三角形一等腰直角三角形入手研究.如图21.6.2,对于等腰直角三角形这样特殊的直角三角形，它的斜边与斜边上的中线具有怎样的关系?图21.6.2根据等腰三角形“三线合一”的性质，可以知道/B=ZC=ZBAD=ZCAD=45°,因此有AD=BD=CD=1BC.也就是说，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2那么这个结论能推广到一般的直角三角形吗？试着给出证明.已知：如图21.6.3,在Rt^ABC中，/ACB=90°,CD是AB边上的中线.求证：CD=1AB.2A图21.6.3证明：若CD>AD=BD,则/A>Z1,/B>/2../ACBV/A+/B../ACB+ZA+ZB=180°,・./ACBV90°.与/ACB=90°矛盾，•・假设不成立.同理，CDVAD=BD也不成立.…1CD=AD=-AB.2由此，我们有了直角三角形的性质定理2:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半数学语言表述：在^ABC中，ACB=90°,CD为斜边AB的中线，•••CD=1AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.2我们也知道了，之前的问题中运动员的休息公寓修建在AB的中点比较合适.例1已知：如图21.6.4,在4ABC中，AD平分/BAC,BEXAD且交AD延长线于点E,F为AB的中点,求证：EF//AC.图21.6.4证明：:BEXAD于点E,F为AB的中点,EF=1AB=AF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).2FAE=ZFEA..AD平分/BAG,・./FAE=ZEAC.・./FEA=ZEAC.EF//AC.例2已知：如图21.6.5,在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，M是BC的中点，MN，DE,垂足为点N.求证：DN=EN.CC图21.6.5分析：由题意可以发现，点M是BC上的中点，而BC既是RtABEC的斜边，又是RtABDC的斜边，因此联结ME、MD,使之成为斜边上的中线，这是一种有效的方法.证明：联结ME、MD.BD、CE分别是AC、AB边上的高，且M是BC的中点，ME=1BC=MD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).2•••MNXDE,DN=EN.例3已知：如图21.6.6,在Rt^ABC中，ZACB=90°,M是AB边的中点，CHLAB于点H,CD平分/ACB.(1)求证：/1=/2;(2)过点M作AB的垂线交CD延长线于点E.求证：△AEB是等腰直角三角形.

CA1DBECA1DBE图21.6.6证明：（1）.「/ACB=90°,M是AB边的中点，CM=1AB=AM=BM（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.2ACM=ZCAB../ACB=90°,CHLAB于点H,・•/CAB+ZCBA=90°=ZHCB+/CBA（直角三角形两个锐角互余）../CAB=ZHCB../ACM=ZHCB.••CD平分/ACB,/ACD=/BCD.=/2./MEXAB,CHLAB,ME//CH../1=/MED../2=/MED.EM=CM=AM=BM.••MELAB,./MAE=ZMEA=45°,/BEM=/MBE=45°.AE=BE,/AEB=90°..AEB是等腰直角三角形.练习21.6(1)FDB=50°,求/AC于点E求证：.在△ABC中，/ACB=90°,CD^AB于点D,E、F分别是FDB=50°,求/AC于点E求证：.已知：如图，在^ABC中，ZACB=90°,D为AB的中点，BELCD于点F,/A=/CBE.

C.已知：妒图，AE、BD相交于点C,M、F、G分别是AD、BC、CE的中点，AB=AC,DC=DE,求证：MF=MG..已知：如图，在^ABC中，AD是/BAC内一条射线，BEXAD于点E,CF±AD于点F,M是BC的中点，求证：EM=FM.如图21.6.7,观察这个等边三角形，作BC边上的高AD,垂足为D.你能发现DC与AC之间的关系吗?图21.6.7我们发现，结合等边三角形以及等腰三角形的“三线合一”的性质，可以得到/1=30°,DC=1bC=1AC.22由此，我们可以猜想：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.那么这个猜想是否正确呢？以下给出证明.已知：如图21.6.8,在RtAABC中，/ACB=90°,/A=30°.求证：BC=1AB2图21.6.8证明：作斜边AB上的中线CD.在RtAABC中，•.ZA=30°,，/B=60°（直角三角形两个锐角互余）.•.CD为斜边AB上的中线，,•,CD=BD=1AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.2.•.△BCD是等边三角形.BC=CD.11BC=—AB.由此我们有了直角三角形性质定理2的推论1:推论1在直角三角形中，如果有一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.数学语言表述：如图21.6.9,在RtAABC中，・./ACB=90°,/A=30°,1•BC=—AB（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半）.2

图21.6.9反过来，在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，是否有这条直角边所对的锐角为30呢？已知：如图21.6.10,在RtAABC中，ZACB=90°,BC=1AB2求证：/A=30°图21.6.10证明：作斜边AB上的中线CD.在RtAABC中，•.CD为斜边AB上的中线，,•,CD=BD=1AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.21,BC=—AB,2.-.bc=cd=bd...△BCD为等边三角形，./B=60°../A=30°由此我们有了直角三角形性质定理2的推论2:30推论2在直角三角形中，如果直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30数学语言表述：如图21.6.11,在RtAABC中，1•••/ACB=90°,BC=2AB,2A=30°（在直角三角形中，如果直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30°）.图21.6.11例4如图21612,/BAC=30°,点P为/BAC平分线上一点，PDLAC于点D,PM//AC交AB于点M,AM=10cm,求PD的长.图21612解过点P作PEXAB于点E..「P为/BAC平分线上一点，./PAM=ZFAD.••PM//AC,./MPA=ZFAD../PAM=ZMPA.PM=AM=10cmBAC=30°.PM//AC,./PME=30°.1PE=-PM=5cm（在直角三角形中，如果有一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一2半）.PDXAC,PEXAB,PD=PE=5cm（角的平分线上的点到角两边的距离相等）.1例5已知：如图21.6.13,在△ABC中，ZC=90,AC=-AE,ZBAE=15,E为BC上一点，求证:2点E在AB的垂直平分线上.

ABAB图21.6.13证明：在4AEC中，・/0=90°,AC=1AE,2•./AEC=30°（在直角三角形中，如果直角边等于斜边白一半，那么它所对的锐角等于30°）..ZAE0=ZB+ZBAE,/BAE=15°../B=15°=ZBAE..•.BE=AE.•・点E在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.练习21.6（2）.如图，在Rt^ABC中，/0=90°,/B=15°,AB的垂直平分线分别与AB和BC相交于点N和M,联结AM,AC=6,求BM的长..如图，在^ABC中，/0=90°,AD是/BAC的角平分线，且BD:DC=2:1,求/B的度数..已知：如图，在等边△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且BD=AE,CD交BE于点O,DF^BE,点F为垂足，求证：OD=2OF.AF.若等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边上的长度的一半，求其顶角的度数.例6如图21.6.14,在RtAABC中，ZB=90°,/BAC=78°,过点C作CF//AB,联结AF与BC相交于点G.若GF=2AC,求/BAG的度数.图21.6.14分析：观察到GF是Rt^FCG的斜边，又有GF=2AC,因此考虑作边FG上的中线.解：取GF中点M,联结CM.CF//AB,/B=90°,・./BCF=ZB=90°.・•.CM=MF=1GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）.2•.GF=2AC,MF=CM=AC..•.ZF=ZMCF,/AMC=/MAC.・./AMC=/F+ZMCF,・./MAC=ZAMC=2ZF..CF//AB,・./BAG=ZF./MAC=2/BAG.・./BAC=78°,，一一1，一一一BAG=1/BAC=26,例7已知：如图21.6.15,在^ABC中，/ACB=90°,/BAC=30°,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作等边△ABF和等边△ACD,DE与AB交于点F.求证：EF=FD.E图21.6.15分析根据条件可以知道AB=2BC,再结合等边三角形ABE,可以作AB的中点H,则AH=BC.可以证明△AHE^ABCA,再证△EHF^ADAF.证明：过点E作EHXAB于点H.•••三角形ABE为等边三角形，.•.AH=-AB,AE=AB.・./ACB=90°,/BAC=30°,・•.BC=；AB=AH(在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半).在RtAAHE与Rt^BCA中，?AE=ABi，?AH=BC••RtAAHE^RtABCA(HL).EH=AC.••三角形ACD为等边三角形，，AD=AC=EH,/CAD=60°../BAC=30°,・./BAD=90°=ZEHA.在△EHF与^DAF中，i?EHF?DAF?1?EFH?DFA??HE=ADEHF^ADAF.EF=DF.例8如图21.6.16,点A是等腰直角△ABC的直角顶点，AD//BC,BD=BC,求/CDB的度数.

图21.6.16AD分析由于等腰直角△ABC的特殊性，因此作BC边上的局AE,同时可以得到AE=」BC.结合AD//BC,DFXBC,则DF=1BC,得到/DBC=30°,进而可求出/CDB的度数.2解作AELBC于点E,DFLBC于点F.•・•点A是等腰直角△ABC的直角顶点，1AE=一BC.2••AD//BC,DFXBC,DF=AE=1BC

2••BD=BC.1-DF=1BD.2丁./DBF=30°(在直角三角形中，如果直角边等于斜边白^一半，那么它所对的锐角等于30°).••BD=BC.•.ZCDB=ZDCB=-(1800-30。)=75°.2练习21.6(3).如图，在△ABC中，AB=AC,/BAC=120°,D是BC中点，DELAB于点E,求BE:EA的值..如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB,ZABC=45°,/APC=60°,求/ACB的度数..如图，点D、E是等边△ABC的边BC、AC上的点，且CD=AE,AD、BE相交于点F,BQXAD.若FE=1,FQ=3,求AD的长度，参考答案练习21.6(1).10°2,提示：/A=/ACD=/CBE.提示：联结AF、DG,则AFXBD,DG±AE,MF=-AD=MG.证法1:延长EM交CF于点H(如图1)..CFXAD,BEXAD,.BE//CF,.EBM=/HCM.又/BME=/CMH,BM=MC,•.△BEM^ACHM.EM=HM,即M为EH的中点.又・./EFH=90°,FM=1EH,故FM=EM.ABFEDMCABFEDMC证法2:延长BE、FM交于点H(如图2).同证法1易证△BMH叁*CMF.FM=MH.又/FEH=90EM=1FH=FM2练习21.6(2).12.提示：可证AM=BM,ZAMC=ZB+ZBAM=2ZB=30°./B=30°,提示：作DE^AB于点E,贝UBD=2DC=2DE,/B=30°.提示：可证△ADC^ACEB,则/ACD=ZCBE,/DOF=/CBE+/OCB=/ACD+/OCB=60°,因此/FDO=30°,从而OD=2OF.30°、120°或150°,提示：这条高有可能是腰长的一半，也有可能是底边的一半；有可能在三角形内部，也有可能在三角形外部，因此有以下几种情况：如图1,在等腰△ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=-AC,则/A=30°;2如图2,在等腰△ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=-BC,则/B=30°,/A=120°;2如图3,在等腰△ABC中，CD是腰AB上的高，若CD=-AC,则/DAC=30°,/BAC=150°2

练习21.6(3).3.提示：可证/B=/ADE=30°贝UAB=2AD,AD=2AE,因此BE=3AE一1.75.提示：如图，作CDLAP于点D,联结BD,则/DCP=30.可证BP=DP=」CP,则2ZPBD=ZPDB=30.又/ABD=15,因此/BAD=150=ZABD,则BD=AD,因为/DBP=30=ZDCP,所以AD=BD=DC,因此/ACD=45,所以/ACB=753.7.提示：易证△ABE^ACAD,从而/=ZBAF+ZCAD=Z3.7.提示：易证△ABE^ACAD,从而/=ZBAF+ZCAD=ZBAG=60,所以BF=2FQ=6,所以AD=BE=BF+EF=6+1=76直角三角形的性质练习21.6(1).已知.如图，在^ABC中，ZACB=90°,CD是高，CE是中线，ZBCD:ZACD=2:1.求证:AD=DE..已知：如图，在4ABC中，/ACB=90°,点D是边AB的中点，DE//AC,且DE=AC,联结AE.求证：AE=AAB2Ea11C-B.已知：如图，△ABC的高BE、CF交十点H,点M、N分别是平分EF.ABMC.已知：如图，在RtAABC中，/BAC=90°,AB>AC,在斜边过点D作直线DE交AB于点E且DE平分△ABC的面积.求证：BE=AB练习21.6(2)1.已知：如图，在^ABC中，/ACB=90°,/A=30°,点M、BC、AH的中点.求证：MN垂直BC上有一点D,使得BD=BA,ED=1BC.2D分别为AB和MB的中点.求证：CDXAB.C.如图，△ABC为等边三角形，边长为6,DELBC于点E,EFLAC于点F,FDLAB于点D,求AD的长..在△ABC中，/C=90°,/A=15°,AB=12,求^ABC的面积.4,已知：如图，在^ABC中，/ACB=90°,/BAC=30°,△ABE和4ACD都是正三角形，F为BE中点，DF交AC于点M.求证：AM=MC.练习21.6(3).如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CDLAB于点D,CE为AB边上的中线，/BCD:/ACD=3:1,若CD=5,求DE的长.C.如图，在△ABC中，/C=90°,D为AB上一点，DE，BC,交BC于点E,若BE=AC,BD=1-,DE+BC=1,求/ABC的度数.23.已知等边^ABC的边长为1,P是AB边上一点，PQXBC,QRXAC,RS,AB,垂足分别为点Q、R、S,若PS=-,求AP的长度.4参考答案练习21.6(1).提示：证明△ACE为等边三角形.提示：联结CD,由全等得出AE=1AB2.如图，联结ME、MF、NE、NF.因为BEXAC,M为BC中点，所以ME为RtABCE斜边上的中线，因此ME=1BC,同理MF=」BC.22所以M=MF,M在EF的垂直平分线上.由BE^AC,CFXAB,N为AH的中点，同理可得NE=1AH=NF.2所以N在EF的垂直平分线上，故MN为EF的垂直平分线，即MN垂直平分EF4.证法一：如图1,在BC上取点F,使得BF=BE,联结AF,?ED=AF则△ABF0^DBE,因此｝1?SDABF=SDDBE=SDABC?2所以S\abf=—Saabc-2所以AF为BC边上的中线，因为/BAC=90°,所以AF=BF=1BC,即BE=ED=-BC22图1证法二：如图2,过点D作BC边的垂线交BA的延长线于点F,则△BDF0^BAC,因此?BF则△BDF0^BAC,因此?SDBDF=SDBACSabdf又因为SABED=—SABC,所以SaSabdf22则DE为BF上的中线，所以DE=BE=1BF=-BC22练习21.6(2).提示：由CM=BC,D是MB的中点，得到CDXAB.2.提示：设AD=x,贝UBD=6-x.在RtAADF中，/A=60°,FD±AD,所以AF=2x,从而CF=6—2x.同理，BE=1(6-x),CE=2(6-2x).21因为BE+CE=6,所以—(6—x)+2(6-2x)=6.2解得x=2,故AD=2.18.提示：W△ABC沿AC翻折，则可得到顶角为