03静力学平衡问题解析

静力学平衡问题辽宁高校环境学院程志辉yuanfang696@sohu平面一般力系的平衡方程依据平面随意力系向一点简化的理论，若力系平衡，必有主矢F’R=0，主矩M’0=0，反之亦然。因此，平面随意力系平衡的充分与必要条件为：平面随意力系的主矢和主矩同时为零主矢可用两个方向的分力表示平面随意力系平衡的解析条件力系中的各力在两个任选相交的坐标轴上投影代数和分别为零，各力对某点力矩代数和为零平面一般力系的平衡方程一矩式∑MO(F)=0，∑X=0，∑Y=0二矩式（式中A，B连线不能与x轴垂直）∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，∑X=0三矩式（式中A、B、C三点不能共线）∑MA(F)=0，∑MB(F)=0，∑MC(F)=0例：求图示AB梁A端的支座反力。已知q=5kN/m，F1=10kN，F2=8kN，l=2m，α=450。解：取AB梁为探讨对象，作受力图，选坐标系列平衡方程αF1F2FAxFAymAyxαF1F2l/2l例：求图示刚架支座A，B的反力。已知m=2.5kN·m，P=5kN。解：取钢架整体为探讨对象，作受力图，选坐标轴列平衡方程2.5m2mm43PADBCm43PADBCxyXAYAYB若用方程ΣmB(F)=0取代ΣY=0同样解得此时留意：AB两点连线不能与x轴垂直若用方程ΣmC(F)=0取代ΣX=0同样解得此时留意：A，B，C三点不共线m43PADBCxyXAYAYB例：图示结构，点D受一水平力作用，已知 P=2kN，求支座A，B，C的约束反力。解：取T型杆ABC为探讨对象，作受力图，选坐标系分析若先列投影方程，则无论如何选取投影轴，方程中至少含有两个未知数，因此应先列力矩方程，矩心取在两个反力作用线交点处45ACB2m2m4mDyACBxRARCRBEFyACBxRARCRBEFRA，RC计算结果为负值，说明支座A，C的反力与受力图中的假设方向相反。例：支架由杆AB和CD组成，尺寸如图，在水平杆B端悬挂一重P=2kN的重物，不计杆重，求CD杆受力和支座A的约束反力。解：取杆和重物为分别体。CD杆为二力杆，约束反力Sc沿杆轴线方向，与P交于O点分别体在三个力作用下平衡，因此支座A的约束反力RA必汇交于O点PABCO解得ScRA2m1mPABDC450αyxβ例：图示简支梁，已知集中力P=10kN，α=450。求A，B的约束反力。解：取梁AB为探讨对象，依据三力汇交 定理画出支座AB的约束反力，方向 假定；取投影轴x，y如图所示，列平衡方程将解得：llPθCABRBRAαPAB例：图示简易起重装置，重物重P=2kN，杆AB与AC铰接，并以铰链B，C与墙相连。两杆和滑轮的自重不计，并忽视摩擦和滑轮的大小，试求平衡时的AB和BC所受的力。解：取滑轮A与重物为探讨对象，受力如右图所示。杆AB，AC为二力杆，约束反力沿杆方向。绳拉力与重物重力大小相等，即T=P。不计滑轮大小，可视作平面汇交力系。取坐标系如图列平衡方程。RAB为负值，表明RAB的实际指向与图示假设相反。PABC300450600PATRAByxRAC4m2m例：求图中力P=100kN对梁上A点的力矩。P300ABCDFyFx解：P的力臂求解困难，但其水平和垂直分力的力臂已知，将力沿AB，CD进行分解，依据合力矩定理例：求图示分布荷载对A点的力矩解：合力矩定理分力对某点力矩等于其合力对该店力矩学问点：分布荷载合力沿直线平行分布的线荷载，可以合成为一合力，合力大小等于分布荷载面积，方向与分布荷载方向相同，作用线通过分布荷载面积的重心。图中的分布荷载为梯形，中心位置确定困难，可将其分解为两部分梯形分布荷载对A点的力矩=矩形分布荷载对A点力矩+三角形分布荷载对A点力矩4m1mABC解：（思索：图示钢架结构所受外荷载仅为一个力偶矩为m的力偶，依据力偶系平衡条件Σm=0以及力偶仅能用力偶平衡的原理，可知：支座A与支座B的反力必定构成一力偶，与m等大，反向。）取整体为探讨对象，画受力图由平面力偶系的平衡条件Σm=0得RA·d-m=0Sinα=4/5；d=6sinα=4.8m，代入平衡方程RA=RB=m/d=20.82kNmRARBdα3m3mmABC4mABC例：图示三较钢架，杆BC上作用一矩m=100kN·m的力偶，求支座A，B的约束反力。例：做出图示结构中杆AB，BD的受力图。约束反力方向可确定者不得用两分力表示。解：（学问点：力偶系平衡条件，三力汇交定理，作用力与反作用力公理）取AB杆为探讨对象，做受力图取DE杆为探讨对象，做受力图取BD杆为探讨对象，做受力图RDRERBRAmABCEDmABEDBCDRBRDORC二力杆受力分析依次——从附属到主体，从主动到被动。受力分析图例:图示某刹车拉杆机构,求支座A的约束反力。解：选取三力构件ＡＢＣ，全部力对D点的力矩为：又依据三力平衡必汇交定理：例：起重机重P1=10kN，重物P2=40kN，求在止推轴承A和轴承B处的反作用力。解：起重机为探讨对象∑X=0FAX＋FB=0∑Y=0FAＹ－P1－P2=0∑MA=0－FB·５－P1·１.5－P2·3.5=0FAＹ=50kNFB=－31kNFAX=31kN例：外伸梁的尺寸及载荷如图，试求铰支座A及辊轴支座B的约束力。

解：取AB梁为探讨对象∑X=0FAX－1.5×cos60°=0FAX=0.75kN∑MA=0FB×2.5－1.2－2×1.5－1.5×sin60°×(2.5+1.5)=0FB=3.75kN∑Y=0FAy＋FB－2－1.5×sin60°=0FAy=－0.45kN校核：∑MB(F)=0例：直角刚架ABC承受插入端约束。在刚架的A端作用集中力F与集中力偶M，其尺寸a、b均已知。试求固定端约束的全部约束力。平面平行力系力系中各力的作用线都位于同一平面且相互平行平面随意力系的特殊情形平衡方程形式二矩式留意：AB两点连线不能平行各力作用线yx例：如图所示，移动式起重机自重（不包括平衡锤重量）G=500kN，其重心O离右轨1.5m，悬臂最大长度为10m，最大起重量G1=250kN。欲使跑车满载或空载时起重机均不致翻倒，求平衡锤的最小重量以及平衡锤到左轨的最大距离x。跑车自重可忽视不计。解：取整体为探讨对象，作受力图各力组成平面平行力系吊车满载时，G1=250kN故起重机不向右侧翻的条件是RARB（a）空载时，G1=0由起重机不向左侧翻的条件是RB≥0即（a）-（b），并代入已知条件故RARB（b）将代入（b）式因此留意：此处，G0min与xmax均为临界值，设计时应适当选取。并验证（a），（b）两个不等式成立。RARB超静定问题的基本概念结构的几何构成分析几何不变体系：体系受到随意荷载作用后，若不考虑材料的应变，而能保持其几何形态不变，位置不变。几何不变体系的组成规律：三刚片规则：三刚片用不在同始终线上的三个单铰两两铰联，则组成几何不变体系，且无多余约束。二刚片规则：两刚片用三根不汇交也不平行的链杆联接，则组成几何不变体系，且无多余约束。几何瞬变结构二元体规则：一个刚片与一个结点用两根链杆直连（三个铰不在始终线上），则组成几何不变体系，且无多余约束。二元体：两根不共线链杆联结一个结点的装置推论：在一个体系上增加一个二元体或拆除一个二元体，不会变更原有体系的几何构造性质二元体超静定的基本概念静定基：结构为几何不变体系，但无多余约束。超静定问题的特征：结构：静定基+多余约束力系：未知力数超过独立平衡方程数多余约束简洁的刚体系统平衡问题刚体系统（物体系统）实际工程中，由若干个构件通过确定的约束组合而成的结构和机构系统处于平衡状态时，该系统中每一个物体必定处于平衡状态在平面随意力系作用下，系统中的每个构件可写出三个独立的平衡方程，刚体系统由n个刚体组成则可写出3n个独立的平衡方程，求解3n个未知量刚体系统受到平面汇交力系或者平面平行力系时，独立平衡方程的数量相应削减。内力与外力内力：系统内部物体之间的相互作用力外力：系统以外的物体作用在这个系统上的力内力与外力是相对的概念，探讨对象不同时，可以相互转化画系统受力图时，只画外力，不画内力APBDCRDRAPBDCAAPBCRCRA物体系统平衡解法分别体的选取有多种方法，必需有一个恰当的选取分别体的依次，并且对每个分别体又能够恰当的应用平衡方程。做到两个“恰当”必需首先了解整体和构件的受力情形，画出受力图，依据已知量与待求未知量之间的联系，确定解题的思路。例：水平梁由AC和CD两部分组成，已知P=2kN，Q=1kN，q=0.5kN/m。qB=0.6kN/m。求支座A，B的约束反力。思路解题中第一个分别体的选取有三种方法①整体；②梁AC；③梁CD欲建立正确的选取依次，首先应对整体 和各部分进行受力分析，画出受力图， 看未知量的数目0.510.51PqQqBACBDmAPqQqBACBDYAXARBXAXCCPqAmAYAYCQqBBDYCXCRBC平面随意力系平衡方程最多可求解三个未知数取整体探讨——四个未知量取AC梁探讨——五个未知量取CD梁探讨——三个未知量mAPqQqBACBDYAXARBXAXCCPqAmAYAYCQqBBDYCXCRB不行解不行解可解解：取梁CD为分别体，作受力图列平衡方程取系统作分别体，列平衡方程QqBBDYCXCRBmAPqQqBACBDYAXARB例：支架由滑轮D，杆AB和CBD构成，绳绕过滑轮，一端挂重为G的物块，另一端系在杆AB的E处，尺寸如图。求A，B，C处约束反力思路：依据题中的已知条件，第一个分别体有三种选择①整体；②杆AB；③杆CD，滑轮和重物BACEDlllXAYAXCYCEBATEXBYBYAXAXBBCDXCYCTEYBr以上三个分别体均有四个未知量，无法解？解：取杆CD、滑轮、重物为分别体， 作受力图列平衡方程取整体为分别体，做出受力图，列平衡方程XBBCDXCYCTEYBBACEDlllXAYAXCYC再取杆CD、滑轮、重物为分别体从本例可知：利用两铰位于同一水平线或同一铅垂线，应用力矩方程，干脆求出一个未知量，削减某些刚体的未知量，这是常常运用的方法，必需予以重视。XBBCDXCYCTEYB例：图示三铰拱。已知P=6kN，M=5kNm，l=1m。求支座A、B的反力。受力分析如图所示：lXAYAYBXB桁架结构的各杆受力桁架结构的力学简化模型基本假设：轴线是直线；节点是光滑铰链；外力作用在节点；杆件自重不计。桁架简化模型的特征：结构仅由二力杆组成，载荷均为节点集中力。志向铰接点桁架结构的力学简化模型志向桁架的求解方法：节点法：合理截取某个节点，得到平面汇交力系，由节点平衡求解内力截面法：合理截取桁架每一部份，得到平面一般力系，由截面体的平衡求解未知内力桁架合理截取的原则：平衡方程中出现的未知力尽可能少桁架结构各杆受力的求解步骤:1、去除零力杆（自由二元体和可能的T字形节点）；2、取整体为探讨对象，解出支座的约束反力；3、合理截取部分平衡体（节点或部分桁架）作为探讨对象，以最简洁的方程求出杆件的受力。部分桁架的截取原则：（1）截出的