01-第1章-地球椭球体的基本公式解析

1地图投影

MapProjections蒲英霞南京高校地理信息科学系2011年8月30日2第一章地球椭球体的基本公式3地球椭球体的形态和大小地球椭球面上的基本点、线、面和地理坐标子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径地球球半径经线弧长纬线弧长地球椭球面上的梯形面积4大地水准面与大地体（Geoid）设想当海水面完全处于静止状态下，并延长到大陆内部，使它成为一个到处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做大地水准面。由它所包围的球体，叫做大地体。§1.1地球椭球体的形态和大小大地水准面照旧不是一个规则的曲面，而是一个起伏不平的重力等位面，即地球物理表面。GeoidNPSPEllipsoid5高程基准是推算国家统一高程限制网中全部水准高程的起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。其中水准基面在理论上通常接受大地水准面，事实上是取验潮站长期观测结果计算出来的平均海面来确定的。中国以青岛港验潮站长期观测资料推算出的黄海平均海面作为中国的水准基面，即零高程面。中国水准原点建立在青岛验潮站旁边，并构成原点网。用精密水准测量测定水准原点相对于黄海平均海面的高差，即水准原点的高程，定为全国高程限制网的起算高程。大地水准面的作用——高程基准6地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid)选择一个大小和形态同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。这个旋转椭球面可代表地球的形态，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由它所围成的球体，称为地球椭球体或地球椭球。GeoidNPSPEllipsoid7地球椭球体的形态和大小扁率(FlatteningorCompression)第一偏心率(FirstEccentricity)其次偏心率(SecondEccentricity)POE1EP1Aaebe8第一偏心率和其次偏心率之间的关系：POE1EP1Aaebe9椭球名称年代长半径（m）短半径（m）扁率附注埃弗斯特(Everest)1830637727663560751:300.8英国白塞尔(Bessel)1841637739763560791:299.15德国克拉克(ClarkeⅠ)1866637820663565841:295.0英国克拉克(ClarkeⅡ)1880637824963565151:293.5英国海福特(Hayford)1909637838863569121:297.01942年国际第一个推荐值克拉索夫斯基(Krassovsky)1948637824563568631:298.3前苏联1967年大地坐标系1967637816063567551:298.2471971年国际第一个推荐值1975年大地坐标系1975637814063567551:298.2571975年国际第一个推荐值1980年大地坐标系1979637813763567551:298.2571979年国际第一个推荐值WGS84198463781371:298.257223563美国世界各国常用的地球椭球体数据101952年以前接受海福特椭球体1953年起接受克拉索夫斯基椭球体1980年国家大地坐标系接受的地球椭球体（1975年大地坐标系）的参数：ae=6378140，扁率为1：298.2572008年7月1日起启用2000国家大地坐标系，具体参数为：ae=6378137，be=6356752.31414,扁率为1：298.257222101我国接受的椭球体：111980西安坐标系

采用国际地理联合会（IGU）第十六届大会推荐的椭球参数，大地坐标原点在陕西省泾阳县永乐镇的大地坐标系，又称西安坐标系。1954年北京坐标系

采用克拉索夫斯基椭球参数，又称北京坐标系。

2000国家大地坐标系

采用地心坐标系。12§1.2地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标平行圈(parallel)子午圈(meridian):长半径为ae，短半径为be的椭圆纬线(parallel)地理经度(longitude)点

两极(pole)线

地理纬度(latitude)经线(meridian)面

地理坐标

地理纬度PP1EE1起始经线FGaebe赤道r平行圈子午圈地理经度A13子午圈

卯酉圈

§1.3子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径通过地面任一点的法线可以有多数法截弧，它们与椭球面相交则形成多数法截弧，其中有一对相互垂直的法截弧，称为主法截弧。主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。P1PEE1ADrQLW子午圈(PEP1E1)和卯酉圈(AQW)14子午圈曲率半径(radiusofcurvatureinmeridian)(M)：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径。卯酉圈曲率半径(radiusofcurvatureinprimevertical)：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径(N)。P1PEE1ADrQLW子午圈(PEP1E1)和卯酉圈(AQW)15子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）之间的关系在赤道上：在极点上：子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其它纬度相同的状况下，同一点上卯酉圈曲率半径（N）均大于子午圈曲率半径（M）。≤16曲率和曲率半径设一曲线的直角坐标方程是y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。则该曲线的曲率为：曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。xyy=f(x)MD17将地球视作旋转椭球体，则经线圈是椭圆，纬线圈是圆。假如以椭圆的短轴为y轴，长轴为x轴（见下图），经线圈上一点A的x坐标，便是纬圈的半径。由右图，经线椭圆的方程式为：过A点作切线AB交x轴于B点，A点的法线与x轴（代表赤道面）的夹角为纬度，因此有：PPyxAxy90+abEENB(1-1)(1-2)18对（1-1）式求导数：(1-3)由（1-2）、（1-3）式可得：由偏心率公式，可以进一步得到：(1-4)(1-5)19（1-4）式可以化为：(1-6)将（1-6）式代入（1-1）式，则：整理后，得(1-7)20曲线上一点的曲率半径等于曲线在该点的曲率的倒数。用M表示子午圈曲率半径，则有：上式之所以取负号，是由于y<0。由（1-2）式知，将上式对x再求一次导数，得：(1-8)21按（1-7）式对求导数代入（1-8）中，得y，(1-9)(1-10)22将（1-2）、（1-10）式代入M的表达式，得经过整理，得到子午圈曲率半径的公式为：23卯酉圈曲率半径的公式为：24三轴平均球半径：椭球体三个半轴取平均数等面积球半径：球体的面积等于地球椭球体的面积

等体积球半径：球体的体积等于地球椭球体的体积

§1.4地球球半径25§1.5经线弧长设在经线上有一点A，其纬度为1，当A点沿经线移动一无限小距离达到A点时，纬度增加d，设A点的经线曲率半径为M，则经线上这一微分弧AA为假如求1至2一段经线弧长，可将上式积分，即PEP1BAAE126将子午圈曲率半径（M）带入上式，经整理，最终得：其中同纬差的子午线弧长由赤道向两极渐渐增长纬差1的子午线弧长在赤道为110576m，在两极为111695m。27§1.6纬线弧长在地球椭球体上，纬圈是圆。若求纬线上两点间经差为（2-1）的一段弧长，可由下式求得：NrP1PE1Esn同经差的纬线弧长由赤道向两极缩短经差1的纬线弧长在赤道为111321m，在纬度45处为78848m，在两极为0。28§1.7地球椭球面上的梯形面积设在地球椭球面上，有两条无限靠近的经线和两条无限靠近的纬线，其经度为和+d

，纬度为和d

。它们构成了一个微分梯形ABCD（如图所示）。这个微分梯形的边长为经线和纬线的微分弧长。因而有：

于是微分梯形的面积为：经度为1和2的经线和纬度为1和2所围成的球面梯形的面积，可由下式积分求得：DACB29上式经过积分并加以整理，得：其中30实习作业计算纬度为3230N的纬圈上某一点的子午圈曲率半径（M）、卯酉圈曲率半径（N）和纬圈半径（r）。计算从赤道（0）至3230N的经线弧长。计算在3230N纬圈上从本初子午线（0）至11930E的纬线弧长。计算球面梯形（30N~35N，115E~120E)的面积。几点留意事项：比较克拉索夫斯基椭球体与2000国家大地坐标系中所接受的椭球体之间的区分；变量名称的定义统一；MajorRadius(a),MinorR