全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13立体几何初步)

2007年高考中的“立体几何初步（一）空间直线和平面”试题汇编大全一、选择题：1.(2007安徽理)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”是lm且“ln”的A）A）充分不用要条件（B）必要不充分条件充分必要条件（D）既不充分也不用要条件2.(2007安徽文)把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为（C）(A)22(B)(C)2(D)33.(2007安徽理)半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正周围体的极点，则A与B两点间的球面距离为（C）（A）arccos(3)（B）arccos(6)（C）arccos(1)（D）arccos(1)33344.（2007福建文)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（B）A.45°B.60°C.90°D.120°5（2007福建文、理)已知m、n为两条不一样样的直线，为两个不同的平面，则以下命题中正确的选项是（D）ABCD6.(2007广东文)若l,m,n是互不一样样的空间直线，,是不重合的平面，则以下命题中为真命题的是（D）【分析】逐一判除,易得答案(D).7.（2007湖北文）在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=（0≤≤1），则点G到平面D1EF的距离为（D）A.32C.25B.3D.258.（2007湖北理）平面α外有两条直线m和n，若是m和n在平面α内的射影分别是m＇和n＇，给出以下四个命题：①m＇⊥n＇m⊥n;③m＇与n＇订交m与其中不正确的命题个数是（

n订交或重合；D）

②m⊥n④m＇与

m＇⊥n＇n＇平行m与

n平行或重合

.A.1

B.2

C.3

D.49．（2007湖南文）如图1，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是(D)A．EF与BB1垂直B.EF与BD垂直图1C.EF与CD异面D.EF与A1C1异面10．（2007湖南理）棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个极点都在球O的表面上，E，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（D）A．2C．12D．2B．12211．（2007江苏）已知两条直线

m,n

，两个平面

,

，给出下面四个命题：（C）①m//n,m③m//n,m//

nn//

②//,m,n④//,m//n,m

m//nn其中正确命题的序号是A．①③B．②④C．①④D．②③．（2007辽宁文、理）若m，n是两条不一样样的直线，，，是三个不一样样的平面，则下12列命题中的真命题是（B）．．．A．若m，，则mB．若m，m∥，则C．若，⊥，则D．若m，n，m∥n，则∥13.（2007陕西文、理）已知P为平面a外一点，直线la,点Q∈l,记点P到平面a的距离为a,点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则（Ａ）（A）abc（B）cab(C)acb(D)bca111D1为正方体，下面结论错误的选项是（D）14.（2007四川文、理）如图，ABCD-ABC．．(A）BD∥平面CB1D1(B)AC1⊥BD(C)AC1⊥平面CB1D1(D)异面直线AD与CB所成的角为60°15（2007四川文）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三极点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（D）A.234637221B.C.D.33416.（2007四川理）如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三极点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是（D）（A）23（B）46（C）317（D）22134317.（2007天津文、理）设a，b为两条直线，，为两个平面，以下四个命题中，正确的命题是（D）A．若a，b与所成的角相等，则a∥bB．若a∥，b∥，∥，则a∥bC．若a，b，a∥b，则∥D．若a，b，，则ab18.（2007浙江文、理）若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则（B）过点P有且仅有一条直线与l、m都平行(B)过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直(C)过点P有且仅有一条直线与l、m都订交过点P有且仅有一条直线与l、m都异面19.（2007福建理)极点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A’B’C’中D，’AB＝1，AA’＝，则A、C两点间的球面距离为（B）ABCD2020.(2007重庆文)垂直于同一平面的两条直线（A）20（A）平行（B）垂直20正视图侧视图（C）订交（D）异面1021.（2007重庆理）若三个平面两两订交，且三条交10线互相平行，则这三个平面把空间分成（C）A．5部分B.6部分20C.7部分D.8部分俯视图22.(2007海南、宁夏文、理)已知某个几何体的三视图以下，依照图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（B）Ａ．4000cm3Ｂ．8000cm333Ｃ．2000cm3Ｄ．4000cm323(2007海南、宁夏文)已知三棱锥SABC的各极点都在一个半径为r的球面上，球心O．在AB上，SO底面ABC，AC2r，则球的体积与三棱锥体积之比是（D）Ａ．πＢ．2πＣ．3πＤ．4π24．(2007海南、宁夏理)一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1:h2:h（B）Ａ．3:1:1Ｂ．3:2:2Ｃ．3:2:2Ｄ．3:2:325．（2007江西文）周围体ABCD的外接球球心在CD上，且CD＝2，AB＝3，在外接球面上两点A、B间的球面距离是（Ｃ）A．B．2D．5C．663326．（2007江西理）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是（D）．．A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°27.（2007全国Ⅰ文、理）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（Ｄ）（A）1（B）2（C）3（D）4555528（2007全国Ⅱ理）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（A）61023(A)(B)(C)(D)442229.（2007全国Ⅱ文）已知正三棱锥的侧棱长为底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（A）(A)

3

(B)

3

(C)

2

(D)

36

4

2

230．（2007

山东文、理）以下几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（

D）①正方形②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．①③C．①④D．②④31（2007陕西文）Rt△ABC的三个极点在半径为13的球面上，两直角边的长分别为6和8，则球心到平面ABC的距离是（Ｄ）（A）5（B）6（C）10（D）1232.（2007陕西理）一个正三棱锥的四个极点都在半径为1的球面上，其中底面的三个极点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（Ｂ）（A）33(B)3(C)3(D)34341233.（2007四川文、理）设球O的半径是、、C是球面上三点，已知A到B、C两点1，AB的球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小是，则从A点沿球23面经B、C两点再回到A点的最短距离是（C）(A)7(B)5(C)4(D)36432二、填空题：1．（2007江西文）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，错误的命题是．．A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直平面CB1D1C．二面角C—B1D1—C1的正切值为2D．点H到平面A1B1C1D1的距离为34其中真命题的代号是

A，B，C

．(写出所有真命题的代号

)2.（2007上海理）在平面上，两条直线的地址关系有订交、

平行、重合三种．

已知

，是两个

订交平面，空间两条直线

l1，l2在

上的射影是直线

s1，s2，

l1，l2在

上的射影是直线t1，t2．用s1与s2，t1与t2的地址关系，写出一个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件：s1//s2，并且t1与t2订交（t1//t2，并且s1与s2订交）．3（.2007浙江文、理）已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于0的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的大小是__900__．4.(2007安徽理)在正方体上任意选择4个极点，它们可能是以下各种几何形体的4个极点，这些几何形体是①③④⑤（写出所有正确结论的编号）.．．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的周围体；④每个面都是等边三角形的周围体；⑤每个面都是直角三角形的周围体.5.（2007湖南文）棱长为1的正方形ABCDA1B1C1D1的8个极点都在球O的表面上，则球O的表面积是3π；设E、F分别是该正方形的棱AA、DD的中点，则直线EF11被球O截得的线段长为2.6．（2007江苏）正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A到侧面PBC的距离是6.57．（2007辽宁文、理）若一个底面边长为6，棱长为6的正六棱柱的所有极点都在一2个球的面上，则此球的体积为43π．8.（2007全国Ⅰ文）正四棱锥S-ABCD的底面边长和各测棱长都为2，点S、A、B、C、4πD都在同一个球面上，则该球的体积为39.（2007全国Ⅰ理）一个等腰直角三角形的三个极点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为23.C110（.2007全国Ⅱ文、理）一个正四棱柱的各个极点在一个直径为2cm的球面上。A1若是正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为242cm2.CA

B1B11.（2007上海文）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的大小是arccos

6

（结果用反三角函数值表示）．612.（2007四川文、理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是.613.（2007天津文、理）一个长方体的各极点均在同一球的球面上，且一个极点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为14．三、解答题：1．(2007广东文)（本小题满分12分）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．求该儿何体的体积V；求该几何体的侧面积S【分析】画出直观图并就该图作必要的说明.3分(2)V647分(3)S4024212分2.(2007广东理)（本小题满分14分）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66,高CD=3，点B是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的地址，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.1）求V(x)的表达式；2）当x为何值时，V(x)获取最大值？3）当V(x)获取最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值2.解：(1)已知EFAB,那么翻折后，显然有PEEF,又PEAE,从而PE面ABC,即PE为四棱锥的高。四棱锥的底面积S=SABC-SBEF而△BEF与△BDC相似，那么x2x2()()SABCx2SABCSBEF=36SBDC=362=108222xSABCx1x则S=SABC-108=（1-108）2663=96（1-108）11x2x2故四棱锥的体积V(x)=3SH=396（1-108）=36（1-108）(0<x<36)6(2)V’(x)=36-1226)x(0<x<3令V’(x)=0得x=6当x∈(0，6)时，V’(x)>0,V(x)单调递加；x∈(6，36)时V’(x)><0,V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)获取最大值V(x)max=V(6)=126273．(2007海南、宁夏文)（本小题满分12分）如图，A，B，C，D为空间四点．在△ABC中，AB2，ACBC2．等边三角形ADB以AB为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB平面ABC时，求CD；D（Ⅱ）当△ADB转动时，可否总有ABCD？证明你的结论．3．解：（Ⅰ）取AB的中点E，连接DE，CE，因为ADB是等边三角形，因此DEAB．当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，因此DE平面ABC，可知DECE由已知可得DE3，EC1，在Rt△DEC中，CDDE2EC22．（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有ABCD．证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，ADBD，因此C，D都在线段AB的垂直均分线上，即ABCD．

EABCDABC（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知ABDE．又因ACBC，因此ABCE．又DE，CE为订交直线，因此AB平面CDE，由CD平面CDE，得ABCD．综上所述，总有ABCD．4．（2007江苏）（本小题满分12分）如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11，（1）求证：E,B,F,D1四点共面；（4分）（2）若点G在BC上，BG2M在BB上，D1，点A131GMBF，垂足为H，求证：EM面BCC1B1；（4分）C1B1（3）用表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角大FE小，求tan。（4分）M4.解：（1）证明：在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，DAHEN，显然四边形CFD1N是平行四边形，因此D1F//CN，同CGB理四边形DNEA是平行四边形，因此EN//AD，且EN=AD，又BC//AD，且AD=BC，因此EN//BC，EN=BC，因此四边形CNEB是平行四边形，因此CN//BE，因此D1F//BE，因此E,B,F,D1四点共面。MBG，因此MBBG，即MB2（2）因为GMBF因此BCF∽3，因此MB=1，BCCF32因为AE=1，因此四边形ABME是矩形，因此EM⊥BB1又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，且EM在平面ABB1A1内，因此EM面BCC1B1（3）EM面BCC1B1，因此EMBF，EMMH，GMBF，因此∠MHE就是截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的平面角，∠EMH=90，因此tanME，MH3，ME=AB=3，BCF∽MHB，因此3：MH=BF：1，BF=223213，因此MH=13因此tanME=13MH5.2007辽宁文、理）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC111ACB90，（ABC中，ACBCa，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角MDEA为30．A1C1（I）证明：A1B1C1D；MB1A

C（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．5.本小题主要观察空间中的线面关系、解三角形等基础知识，观察空间想象能力与思想能力。满分12分。（Ⅰ）证明：连接CD，∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱。CC1⊥平面ABC，CD为C1D在平面ABC内的射影，∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点。AB⊥CD，AB⊥C1D，A1B1∥AB，∴A1B1⊥C1D。（Ⅱ）解法一：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF.D、E分别为AB、BC的中点。∴DE∥AC。又∵AF∥CE，CE⊥AC，AF⊥DE。MA⊥平面ABC，AF为MF在平面ABC内的射影。MF⊥DE，∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠在Rt△MAF中，AF＝1BCa,MFA22

MFA＝30°。30,AM=3a.6作AC⊥MF，垂足为G。MF⊥DE,AF⊥DE,∴DE⊥平面AMF,∴平面MDE⊥平面AMF.∴AG⊥平面MDE在Rt△GAF中，∠GFA＝30°，AF=a,2AG=a,即A到平面MDE的距离为a。44∵CA∥DE,∴CA∥平面MDE,∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为a。4解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF，∵D、E分别为AB、CB的中点，DE∥AC,又∵AF∥CE,CE⊥AC,AF⊥DE,MA⊥平面ABC,AF为MF在平面ABC内的射影，MF⊥DE,∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA＝30°。在Rt△MAF中，AF=1BC=a,MFA30,22∴AM=3a.8分6设C到平面MDE的距离为h。VMCDEVCMOC,∴1SCDEMA1SMDEh,33SCDE1CEDEa23a,2,MA68SMDE1MF1AF3CEDEcos30a2,22121a23a13a2h，386312∴h=a，即C到平面MDE的距离为a。12分446．（2007上海文）（本题满分12分）在正四棱锥PABCD中，PA面ABCD所成的角为60，求正四棱锥PABCD的体积V．P6．解：作PO平面ABCD，垂足为O．连接AO，O是正方形ABCD的中心，PAO是直线PA与平面ABCD所成的角．PAO＝60，PA2．PO3．DAO，AB2，1O1123VPOSABCD323．AB337.（2007天津文）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE平面PCD；（Ⅲ）求二面角APDC的大小．

2，直线PA与平PDCCABPA底面ABCD，PEADB

C7.本小题观察直线与平面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识．观察空间想象能力、记忆能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）解：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB．又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD．故PB在平面PAD内的射影为PA，从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．P在Rt△PAB中，ABPA，故∠APB45．M因此PB和平面PAD所成的角的大小为45．E（Ⅱ）证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA．AD由条件CDPC，PAACA，CD面PAC．C又AE面PAC，AECD．PA．B由PAABBC，∠ABC60，可得ACE是PC的中点，AEPC，PCCDC．综上得AE平面PCD．（Ⅲ）解：过点E作EMPD，垂足为M，连接AM．由（Ⅱ）知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD．因此∠AME是二面角APDC的平面角．由已知，可得∠CAD30．设ACa，可得PAa，AD23a，PD21a，AE2a．332在Rt△ADP中，AMPD，AMPDPAAD，则PAADa233a27AMa．PD21a73在Rt△AEM中，sinAMEAE14AM．4因此二面角APDC的大小arcsin14．48.（2007天津理）（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60°，PAABBC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明CDAE；（Ⅱ）证明PD平面ABE；（Ⅲ）求二面角APDC的大小．P8．本小题观察直线与直线垂直、直线与平面垂直、二面角等基础知识，

EADCB观察空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD．∵ACCD，PAACA，∴CD平面PAC．而AE平面PAC，∴CDAE．60°ACPA（Ⅱ）证明：由PAABBC，ABC．，可得∵E是PC的中点，∴AEPC．由（Ⅰ）知，AECD，且PCCDC，因此AE平面PCD．而PD平面PCD，∴AEPD．∵PA底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，ABAD，∴ABPD．又∵ABAEA，综上得PD平面ABE．（Ⅲ）解法一：过点A作AMPD，垂足为M，连接EM．则（Ⅱ）知，AE平面P