有限元数学原理课件

第二章有限元法模拟第一节有限元模拟数学原理第二章有限元法模拟第一节有限元模拟数学原理1主要内容有限元发展历史沿革塑性力学知识简单回顾刚塑性有限元基本原理刚粘塑性有限元基本原理主要内容有限元发展历史沿革2有限元简介有限元发展历史

40年代萌芽;50年代中期创始;(M.J.Turner和R.W.Clough);

60年代诞生;(R.W.Clough,O.C.Zienkiewicz);

有限元简介有限元发展历史3有限元简介塑性成型有限元发展历史1967年，P.V.Marcal和I.P.King[3]1968年Y.Yamada[4]弹塑性小变形问题;1970年H.D.Hibbit,1975年R.M.McMeeking大变形弹塑性问题;1973年C.H.Lee和S.Kobayashi1979年，O.C.Zienkiewicz刚塑性有限元法;

80年代O.C.Zienkiewicz;S.Kobayashi和S.Oh推导了刚粘塑性有限元方法……..有限元简介塑性成型有限元发展历史4有限元简介刚塑性有限元特点优点

没有应力的误差累积可以取较大的增量步历史变量少有限元列式简单缺点

不适合计算弹性问题不能处理回弹不能处理残余应力不适合计算小变形问题有限元简介刚塑性有限元特点优点缺点5塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程-----应力平衡微分方程塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程-----应力平衡微分方程6塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----小变形几何方程塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----小变形几何方程7塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----屈服准则Tresca、Mises准则Tresca、Mises准则塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----屈服准则Tresc8塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----本构方程塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----本构方程9塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----上限原理塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----上限原理10塑性力学知识回顾基本问题描述1、有一块刚塑性材料，其边界S围成的体积为V内满足平衡方程、协调方程、体积不可压缩条件和本构关系。{基本方程}2、在边界S上，一部分表面上给定位移速度，只一部分表面，给定表面力。{力学边界条件}3、在体积V内可能生热；通过表面S，变形体与工具或与周围环境之间可能发生热交换q，但维持能量平衡。

{热力学边界条件}塑性力学知识回顾基本问题描述11刚塑性有限元基本原理基本问题求解15个方程组成的方程组上限原理;应力平衡微分方程（3）小变形几何方程（6）本构方程（6）（屈服准则）刚塑性有限元基本原理基本问题求解15个方程组成的方程组上限原12刚塑性有限元基本原理数学基础

讨论极值的求解方法!优化穷举法求导数方法刚塑性有限元基本原理数学基础优化穷举法求导数方法13刚塑性有限元基本原理数学基础

函数：对于某一值域中的任意数X,F都有唯一的值与之对应，我们称F是一个函数。泛函：对于某一值域中的任意一个函数F(x),II都有唯一的值与之对应，我们称II是一个泛函。

实质：泛函是自变量为函数的函数。刚塑性有限元基本原理数学基础14刚塑性有限元基本原理数学基础函数：F(X)自变量：X微分：df(x)极值：一阶微分为0泛函：II宗量：F(X)变分：&II(F(x))极值：一阶变分为0刚塑性有限元基本原理数学基础函数：F(X)泛函：II15刚塑性有限元基本原理Markov变分原理

设一刚塑性物体．体积为V，边界表面为S，整个物体处于塑性变形状态。在表面的SP部分给定表面力，在表面的SV部分给定速度。在满足几何方程、体积不可压缩条件和速度边界条件的一切动可容速度场，使泛函取得极少值的速度场，即是真实速度场。刚塑性有限元基本原理Markov变分原理取得极少值的速度场，16刚塑性有限元基本原理自然变分原理刚塑性有限元基本原理自然变分原理17刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法18刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法19刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法速度场应变速率应力场刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法速度场20刚塑性有限元基本原理广义变分原理----罚函数法刚塑性有限元基本原理广义变分原理----罚函数法21刚塑性有限元基本原理广义变分原理----可压缩法认为材料是可压缩的g刚塑性有限元基本原理广义变分原理----可压缩法认为材料是可22刚塑性有限元基本原理广义变分原理----各种方法的比较1)拉格朗日乘子法引进了附加的未知数，所以总自由度增加约50％，计算消耗就增加很多。

2)虽然三种方法的总刚度矩阵都是对称、稀疏的，但拉格朗日乘子法的刚度阵不呈带状，所以拉格朗日法需要更多的存储空间和计算时间。

3)如果罚函数法的罚数选得过大，或可压缩性法的g值选得过小，有可能使刚度方程病态。4)理论上，拉格朗日乘子法更精确刚塑性有限元基本原理广义变分原理----各种方法的比较1)23刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性的概念

刚塑性:忽略变形速度的影响;(低温)粘塑性:考虑变形速度的影响。(高温)

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性的概念24刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型

1、过应力模型

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型25刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型

2、Backofen模型

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型26刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型

3、Rosserd模型

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型27刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型

4、Norton-Hoff模型

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型28刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型

５、Sellars-Tegart模型

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性模型29刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元列式

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元列式30刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元列式

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元列式31刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元列式

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元列式32小结Markov变分原理广义变分原理刚粘塑性变分原理小结Markov变分原理33第二章有限元法模拟第一节有限元模拟数学原理第二章有限元法模拟第一节有限元模拟数学原理34主要内容有限元发展历史沿革塑性力学知识简单回顾刚塑性有限元基本原理刚粘塑性有限元基本原理主要内容有限元发展历史沿革35有限元简介有限元发展历史

40年代萌芽;50年代中期创始;(M.J.Turner和R.W.Clough);

60年代诞生;(R.W.Clough,O.C.Zienkiewicz);

有限元简介有限元发展历史36有限元简介塑性成型有限元发展历史1967年，P.V.Marcal和I.P.King[3]1968年Y.Yamada[4]弹塑性小变形问题;1970年H.D.Hibbit,1975年R.M.McMeeking大变形弹塑性问题;1973年C.H.Lee和S.Kobayashi1979年，O.C.Zienkiewicz刚塑性有限元法;

80年代O.C.Zienkiewicz;S.Kobayashi和S.Oh推导了刚粘塑性有限元方法……..有限元简介塑性成型有限元发展历史37有限元简介刚塑性有限元特点优点

没有应力的误差累积可以取较大的增量步历史变量少有限元列式简单缺点

不适合计算弹性问题不能处理回弹不能处理残余应力不适合计算小变形问题有限元简介刚塑性有限元特点优点缺点38塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程-----应力平衡微分方程塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程-----应力平衡微分方程39塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----小变形几何方程塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----小变形几何方程40塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----屈服准则Tresca、Mises准则Tresca、Mises准则塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----屈服准则Tresc41塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----本构方程塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----本构方程42塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----上限原理塑性力学知识回顾塑性力学的基本方程----上限原理43塑性力学知识回顾基本问题描述1、有一块刚塑性材料，其边界S围成的体积为V内满足平衡方程、协调方程、体积不可压缩条件和本构关系。{基本方程}2、在边界S上，一部分表面上给定位移速度，只一部分表面，给定表面力。{力学边界条件}3、在体积V内可能生热；通过表面S，变形体与工具或与周围环境之间可能发生热交换q，但维持能量平衡。

{热力学边界条件}塑性力学知识回顾基本问题描述44刚塑性有限元基本原理基本问题求解15个方程组成的方程组上限原理;应力平衡微分方程（3）小变形几何方程（6）本构方程（6）（屈服准则）刚塑性有限元基本原理基本问题求解15个方程组成的方程组上限原45刚塑性有限元基本原理数学基础

讨论极值的求解方法!优化穷举法求导数方法刚塑性有限元基本原理数学基础优化穷举法求导数方法46刚塑性有限元基本原理数学基础

函数：对于某一值域中的任意数X,F都有唯一的值与之对应，我们称F是一个函数。泛函：对于某一值域中的任意一个函数F(x),II都有唯一的值与之对应，我们称II是一个泛函。

实质：泛函是自变量为函数的函数。刚塑性有限元基本原理数学基础47刚塑性有限元基本原理数学基础函数：F(X)自变量：X微分：df(x)极值：一阶微分为0泛函：II宗量：F(X)变分：&II(F(x))极值：一阶变分为0刚塑性有限元基本原理数学基础函数：F(X)泛函：II48刚塑性有限元基本原理Markov变分原理

设一刚塑性物体．体积为V，边界表面为S，整个物体处于塑性变形状态。在表面的SP部分给定表面力，在表面的SV部分给定速度。在满足几何方程、体积不可压缩条件和速度边界条件的一切动可容速度场，使泛函取得极少值的速度场，即是真实速度场。刚塑性有限元基本原理Markov变分原理取得极少值的速度场，49刚塑性有限元基本原理自然变分原理刚塑性有限元基本原理自然变分原理50刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法51刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法52刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法速度场应变速率应力场刚塑性有限元基本原理广义变分原理----拉格朗日乘子法速度场53刚塑性有限元基本原理广义变分原理----罚函数法刚塑性有限元基本原理广义变分原理----罚函数法54刚塑性有限元基本原理广义变分原理----可压缩法认为材料是可压缩的g刚塑性有限元基本原理广义变分原理----可压缩法认为材料是可55刚塑性有限元基本原理广义变分原理----各种方法的比较1)拉格朗日乘子法引进了附加的未知数，所以总自由度增加约50％，计算消耗就增加很多。

2)虽然三种方法的总刚度矩阵都是对称、稀疏的，但拉格朗日乘子法的刚度阵不呈带状，所以拉格朗日法需要更多的存储空间和计算时间。

3)如果罚函数法的罚数选得过大，或可压缩性法的g值选得过小，有可能使刚度方程病态。4)理论上，拉格朗日乘子法更精确刚塑性有限元基本原理广义变分原理----各种方法的比较1)56刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性的概念

刚塑性:忽略变形速度的影响;(低温)粘塑性:考虑变形速度的影响。(高温)

刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性的概念57刚粘