最优化2(非线性 多目标)课件

5.非线性规划模型

前面介绍了线性规划问题，即目标函数和约束条件都是线性函数的规划问题，但在实际工作中，还常常会遇到另一类更一般的规划问题，即目标函数和约束条件中至少有一个是非线性函数的规划问题，即非线性规划问题.

事实上，客观世界中的问题许多是非线性的，给予线性大多是近似的，是在作了科学的假设和简化后得到的.为了利用线性的知识，许多非线性问题常进行线性化处理.但在实际问题中，有一些是不能进行线性化处理的，否则将严重影响模型对实际问题近似的可依赖型.

由于非线性规划问题在计算上常是困难的，理论上的讨论也不能像线性规划那样给出简洁的结果形式和全面透彻的结论.这点又限制了非线性规划的应用，所以，在数学建模时，要进行认真的分析，对实际问题进行合理的假设、简化，首先考虑用线性规划模型，若线性近似误差较大时，则考虑用非线性规划.非线性规划模型按约束条件可分为以下三类：⑴无约束非线性规划模型：⑵等式约束非线性规划模型：⑶不等式约束非线性规划模型：1)无约束的非线性规划问题.针对上述三类非线性规划模型，其常用求解的基本思路可归纳如下：2)只有等式约束的非线性规划问题通常可用消元法、拉格朗日乘子法或反函数法，将其化为无约束问题求解.3)

具有不等式约束的非线性规划问题解起来很复杂，求解这一类问题，通常将不等式化为等式约束，再将约束问题化为无约束问题，用线性逼近的方法将非线性规划问题化为线性规划问题.下面介绍一个简单的非线性规划问题的例子，其中的一些约束条件是等式，这类非线性规划问题可用拉格朗日方法求解.表4各种符号表示意义表第i种油的存储量第i种油的价格第i种油的供给率第i种油的每单位的存储费用第i种油的每单位的存储空间总存储公式表5数据表已知总存储空间代入数据后得到的模型为：模型求解：拉格朗日函数的形式为：

即:对求各个变量的偏导数，并令它们等于零，得:解这个线性方程组得：从而可得最小值是.6、多目标规划模型

在许多实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，例如设计一个导弹，既要射程最远，又要燃料最省，还要精度最高.这一类问题统称为多目标最优化问题或多目标规划问题.我们先来看一个生产计划的例子.我们希望购买DVD的总数量最小，即:由此，可以得到问题三的双目标整数线性规划模型如下：表6当时最小购买量的值DVD编号D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10最少购买量14211724121719212214DVD编号D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20最少购买量18181717172418161823DVD编号D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30最少购买量20182214181715121624DVD编号D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40最少购买量19222019222213171717DVD编号D41D42D43D44D45D46D47D48D49D50最少购买量32201621221620152020续上表DVD编号D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60最少购买量24171917191819172021DVD编号D61D62D63D64D65D66D67D68D69D70最少购买量16191920171917212019DVD编号D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80最少购买量21221520151412171917DVD编号D81D82D83D84D85D86D87D88D89D90最少购买量18101412211322151317DVD编号D91D92D93D94D95D96D97D98D99D100最少购买量24171514251522201122

我们利用规划模型求得每种DVD的购买量后，需要对其进行可行性校验，测试此结果是否可以满足一个月内比例为95%的会员得到他想看的DVD，且具有尽可能大的总体满意度.校验方法：

（一）根据订单和求得的DVD购买数量，利用问题二的规划模型进行第一次分配，对分配情况：租赁的会员，DVD的分配情况，剩余的各种DVD数量作记录；同时将已租赁的会员在满意指数矩阵的指数全变为0，即不考虑对其进行第二次分配.

（二）随机从第一次得到DVD的会员中抽取60%，将这部分人所还回的DVD与第一次分配余下的DVD合在一起，作为第二次分配时各种DVD的现有量.然后，利用问题二的0-1线性规划模型对第一次未分配到DVD的会员进行第二次分配；

（三）统计出经过两次分配后，得到DVD的会员的比例，若大于95%，则此次分配成功.利用这种算法进行多次随机模拟，若大多数情况下可以使得到DVD的会员大于95%，则认为模型三是合理的.校验结果：

因为每次检验需时约1小时，我们只对问题三求得的结果进行了7次模拟，其中6