171一元二次方程的概念课件

17.1一元二次方程的概念17.1一元二次方程的概念1某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题1：解：设长方形绿地的宽为x米，得整理可得：

……（1）变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为x米，得整理可得：

……（2）某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长为902思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？

思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个名称吗？思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是一元二次方程吗？

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？思考2：方程（3

一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）都是整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2整式方程一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b4一元二次方程的概念

像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。③都是整式方程;①只含一个未知数;②未知数的最高次数是2.即：一元二次方程的共同特点:（默1）一元二次方程的概念像这样的等号两边都是整式,只含有一个未5

一般地,任何一个关于x

的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？

ax2+bx+c=0(a≠

0)b是一次项系数一元二次方程的一般形式a是二次项系数常数项二次项一次项“=”的右边必须整理成0.（默2）一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为为什6ax2+bx=0

(a≠0,b≠0)

一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0

(a≠0)完全的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)

不完全的一元二次方程ax2+c=0

(a≠0,c≠0)ax2=0(a≠0)归纳：ax2+bx=0(a≠0,b≠0)一元二次方程的7例1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x=36(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个条件进行判别。

（默3）（默3）例1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x8下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：____________尝试练习：可能为0是分式是二次根式下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：_____9例题讲解[例2]

将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：(1)例题讲解(2)解：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的例题讲解[例2]将下列方程化为一般形式，并分别指出它们10

ax2+bx+c=0注意:要确定一元二次方程的系数和常数项,必须先将方程化为一般形式二次项系数一次项系数常数项(a≠0)在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。ax2+bx+c=0注意:要确定一元二次方程11例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝03－5＋11＋1－83－5

111－87x2

－4＝070－4例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数1242x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1抢答：4x2-5=040-5m-31-m-m3x(x-1)=5(x+2)(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)3-8-1042x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x13

方程(2a－4)x2－2bx+a=0,①在什么条件下此方程为一元二次方程？②在什么条件下此方程为一元一次方程？解：由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2∴当a≠2时是一元二次方程；

2a－4=0a=2

－2b≠0b≠0由题意得，解之得∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.例4：（默4）方程(2a－4)x2－2bx+a=0145（默5）5（默5）151.关于x的方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,当k

时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,当k

时，是一元二次方程．当k

时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1练习巩固1.关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,2.关于x164.当m为何值时,方程

是关于x的一元二次方程.m=13.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D4.当m为何值时,方程17已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m＋4＝0有一根为2,求m.分析:一根为2，即x＝2,只需把x＝2代入原方程.一元二次方程解的概念方程解的定义是怎样的呢?能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根.（默6）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m＋4＝0有18已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0得，32+3a+a=09+4a=04a=-9练一练已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a19171一元二次方程的概念课件206621171一元二次方程的概念课件22已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值. 解：由题意得思考:若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根吗?解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根是1 拓展:若a-b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根吗?新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！已知关于x的一元二次方程解：由题意得思考:若a+b+c23讨论：当一元二次方程有一个根为0或1、-1时，一元二次方程的项有什么特征？对于一元二次方程，当有一个根为0时，常数项为0；当有一个根为1时，二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，即；当有一个根为-1时，一次项系数等于二次项系数与常数项的和，即。讨论：当一元二次方程有一个根为0或1、-1时，一元二次方程的24-1120（默7）-1120（默7）25

?A.1B.-1C.1或-1D.0B?A.1B.-1C.1或-126看谁眼力好！下列方程中，哪些是一元二次方程？先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件看谁眼力好！下列方程中，哪些是一元二次方程？先看是不是整式方271.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是

3、如何理解一元二次方程的一般形式

(a≠0)？（1）（2）（1）（2）一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式

转化、建模思想。(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件找一元二次方程的二次项、一次项系数及常数项要先化为一般式1.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是28知识回顾一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)对应练习1：1.将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式

.其中二次项系数

，常数项

.

2.当m

时，方程mx2-3x=2x2-mx+2

是一元二次方程.当m

时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.x2+3x-3=01-3≠2＝2知识回顾一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0291.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.B.C.D.A（1）三个特征：只含有一个未知数；方程的两边都是整式；未知数的最高次数为2次.（2）形如ax2+bx+c=0（a≠0）叫做一元二次方程.2.关于x的方程（a-1）x2-2x+3=0是一元二次方程，则（）A.a>1B.a<1C.a=1D.a≠1D一元二次方程的概念1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.B30方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程,则m的值为()

A.任何实数B.m≠0C.m≠1D.m≠0且m≠1C4.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程,则m315、已知x=2是一元二次方程

的一个解，则m=_____。

6、已知是方程

的一个解，则的值是______。-357、方程mx2+5x+m=0一定是（）。(A)一元二次方程；(B)一元一次方程;(C)整式方程;(D)关于x的一元二次方程C5、已知x=2是一元二次方程32已知方程(m2)(m2)x40（1）m为何值时它是一元二次方程？（2）m为何值时它是一元一次方程？分析：（1）由一元二次方程的一般形式，m222，故m20，故m2；（2）需分三种情况讨论：①m20，此时m2；②m221，此时m；③显然x0，故若m220，则原方程也是一元一次方程已知方程(m2)(m2)x33解：（1）由m222，m20 得m2；（2）分三种情况讨论：一元二次方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。一元二次方程中未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。34

①m20,即m2时,原方程为4x40，是一元一次方程；②m221，即m时，原方程为2x40，是 一元一次方程；③显然x0，否则有40；故当m220，即m时， 原方程为(2)x60，也是一元一次方程。 综上：当m2时，它是一元二次方程；当m2，，时，它是一元一次方程。否则有4=0 否则有4=035 点拨：对于方程ax2bxc0(x为未知数)，若a0时，它是一元二次方程；当a0，b0时，它是一元一次方程。对于方程axmbxc0，当a0，m2时，它是一元二次方程；当a0或m1或m0（此时必须x0）时，它是一元一次方程。 点拨：对于方程ax2bxc0(x为未知数)，若a0361、（苏州）若是关于的一元二次方程，则（）走进中考2、是关于的一元二次方程，则m的值为C(南京)变式一元一次方程A、p为任意实数

B、p=0C、p≠0D、p=0或11、（苏州）若是关于的一元二次方程，则3717.1一元二次方程的概念17.1一元二次方程的概念38某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长为900米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题1：解：设长方形绿地的宽为x米，得整理可得：

……（1）变式：某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？解：设长方形绿地的宽为x米，得整理可得：

……（2）某小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟周长为9039思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？思考2：方程（1）和方程（2）有什么共同点呢？

思考3：你能类比一元一次方程给方程（2）起个名称吗？思考4：根据以上讨论的结果，你能说出什么方程是一元二次方程吗？

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

思考1：方程（2）与一元一次方程的区别在哪里？思考2：方程（40

一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）都是整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2整式方程一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？ax=b41一元二次方程的概念

像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程。③都是整式方程;①只含一个未知数;②未知数的最高次数是2.即：一元二次方程的共同特点:（默1）一元二次方程的概念像这样的等号两边都是整式,只含有一个未42

一般地,任何一个关于x

的一元二次方程都可以化为的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？

ax2+bx+c=0(a≠

0)b是一次项系数一元二次方程的一般形式a是二次项系数常数项二次项一次项“=”的右边必须整理成0.（默2）一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为为什43ax2+bx=0

(a≠0,b≠0)

一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0

(a≠0)完全的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0,b≠0,c≠0)

不完全的一元二次方程ax2+c=0

(a≠0,c≠0)ax2=0(a≠0)归纳：ax2+bx=0(a≠0,b≠0)一元二次方程的44例1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x=36(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0判断一个方程是否是一元二次方程，关键是要将方程化为一般式，然后根据一元二次方程必须同时满足的三个条件进行判别。

（默3）（默3）例1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)x2+x45下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：____________尝试练习：可能为0是分式是二次根式下列方程中哪些是一元二次方程？是一元二次方程的有：_____46例题讲解[例2]

将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：(1)例题讲解(2)解：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的例题讲解[例2]将下列方程化为一般形式，并分别指出它们47

ax2+bx+c=0注意:要确定一元二次方程的系数和常数项,必须先将方程化为一般形式二次项系数一次项系数常数项(a≠0)在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一次项,最后是常数项。ax2+bx+c=0注意:要确定一元二次方程48例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：3x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝03－5＋11＋1－83－5

111－87x2

－4＝070－4例3.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数4942x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x-1=03-1-1抢答：4x2-5=040-5m-31-m-m3x(x-1)=5(x+2)(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)3-8-1042x2+x+4=021-4y2+2y=0-4203x2-x50

方程(2a－4)x2－2bx+a=0,①在什么条件下此方程为一元二次方程？②在什么条件下此方程为一元一次方程？解：由题意得，2a－4≠0，解之得a≠2∴当a≠2时是一元二次方程；

2a－4=0a=2

－2b≠0b≠0由题意得，解之得∴当a＝2且b≠0时是一元一次方程.例4：（默4）方程(2a－4)x2－2bx+a=0515（默5）5（默5）521.关于x的方程(k－3)x2＋

2x－1＝0,当k

时，是一元二次方程．2.关于x的方程(k2－1)x2＋

2(k－1)x＋

2k＋

2＝0,当k

时，是一元二次方程．当k

时，是一元一次方程．≠3≠±1＝－1练习巩固1.关于x的方程(k－3)x2＋2x－1＝0,2.关于x534.当m为何值时,方程

是关于x的一元二次方程.m=13.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D4.当m为何值时,方程54已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m＋4＝0有一根为2,求m.分析:一根为2，即x＝2,只需把x＝2代入原方程.一元二次方程解的概念方程解的定义是怎样的呢?能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解.一元二次方程的解也叫做一元二次方程根.（默6）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-5m＋4＝0有55已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值。解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0得，32+3a+a=09+4a=04a=-9练一练已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a56171一元二次方程的概念课件576658171一元二次方程的概念课件59已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值. 解：由题意得思考:若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根吗?解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根是1 拓展:若a-b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)一个根吗?新课标教学网（）--海量教学资源欢迎下载！已知关于x的一元二次方程解：由题意得思考:若a+b+c60讨论：当一元二次方程有一个根为0或1、-1时，一元二次方程的项有什么特征？对于一元二次方程，当有一个根为0时，常数项为0；当有一个根为1时，二次项系数、一次项系数、常数项的和为0，即；当有一个根为-1时，一次项系数等于二次项系数与常数项的和，即。讨论：当一元二次方程有一个根为0或1、-1时，一元二次方程的61-1120（默7）-1120（默7）62

?A.1B.-1C.1或-1D.0B?A.1B.-1C.1或-163看谁眼力好！下列方程中，哪些是一元二次方程？先看是不是整式方程，然后整理看是否符合另外两个条件看谁眼力好！下列方程中，哪些是一元二次方程？先看是不是整式方641.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是

3、如何理解一元二次方程的一般形式

(a≠0)？（1）（2）（1）（2）一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式

转化、建模思想。(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件找一元二次方程的二次项、一次项系数及常数项要先化为一般式1.本节学习的数学知识是：2、学习的数学思想方法是65知识回顾一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)对应练习1：1.将一元二次方程(x-2)(2x+1)=3x2-5化为一般形式

.其中二次项系数

，常数项

.

2.当m

时，方程mx2-3x=2x2-mx+2

是一元二次方程.当m

时，方程(m2-4)x2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.x2+3x-3=01-3≠2＝2知识回顾一、一元二次方程的概念一般形式：ax2+bx+c=0661.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.B.C.D.A（1）三个特征：只含有一个未知数；方程的两边都是整式；未知数的最高次数为2次.（2）形如ax2+bx+c=0（a≠0）叫做一元二次方程.2.关于x的方程（a-1）x2-2x+3=0是一元二次方程，则（）A.a>1B.a<1C.a=1D.a≠1D一元二次方程的概念1.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A.B67方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程,则m的值为()

A.任何实数B.m≠0C.m≠1D.m≠0且m≠1C4.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次方程的是()A.(2x-1)(x2+3)=2x2-aB.ax2+2x+4=0C.ax2+x=x2-1D.(a2+1)x2=0D方程（m－1)x2＋mx＋1=0为关于x的一元二次方程,则m685、已知x=2是一元二次方程