2022-2023学年广东省广州市白云区数学高三第一学期期末质量检测试题含解析-

2023-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必需用2B字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。12560120°7背面用导线相连弧的两端各一个，导线接头忽视不已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长为（ ）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米2DBCAE

1ED，若BEABAC，则（ ）2A．1 B．2

1

33 3 43．“a2是直线ax2y10与x(a1)y20相互平”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件若izsinA．第一象限 B．其次象限

icos 的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）3 3C．第三象限 D．第四象限72x72xx21f(xx21

72xf(x72x

，x1,2f(x)sin8xz

f(x)2i，则z的虚部为（ ）

exexx2－1

i1

C．1 D．i新闻出版业不断推动供应侧结构性改革，深化推动优化升级和融合进展，持续提高优质出口产品供应，实现了行的良性进展下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长状况，则下列说法错误的是（ ）A．20122016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B．201620122倍C．201620121.5D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一x2x,xa已知函数f(x) （a0，若函数g(x)f(x)4x有三个零点，则a的取值范围是（ ）5x,xaA．(0,1)

[5,) B．(0,6)5

[5,)C．(1,5]已知双曲线C:

y2

6D．( ,5]50,b0)

为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，FGOG，a2 b2 1 2 2且 6|OGGF1

|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）y 2x2

y 3x2

yx D．y 2x已知F,F是双曲线C:x2y20,b0)的左、右焦点，A,B是C的左、右顶点，点P在过F且斜率为 31 2 a2 b2 1 4的直线上，△PAB为等腰三角形，120，则C的渐近线方程为（ ）y1x2

y2x C．y 3x3

D．y 3x已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P(3,4)，则sin（ ．A．12

B．24 C．16 D．825 5 5阿波罗尼斯（262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数k0,k1的点的轨迹是圆后人将这个圆称为阿氏若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B的距离之比为 2，当P，2A，B不共线时，PAB的面积的最大值是（ ）A．2 2 B． 2 C．2 234520

D． 3yfx12gx2x1fxgx图象的交点为xy

，x,

，…，x,y6

xx1

x6

yy1

y6

x1．

1 1 2 2已知n

}是等比数列，且an

0，aa24

2aa3

aa4

25aa3 5

4

的最大值为 ．如图，直线l是曲线yf(x)在x3处的切线，则f.16．在(3x2

x)n的二项开放式中，全部项的系数之和为1024，则开放式常数项的值等．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 n S

a2

9n117（12分）已知数列

的前 项和为n

，且满足an 1

1,a n

n2

S n1 nN*，各项均为正n 6数的等比数列bn

满足b1

a,ba2 3 4求数列n

,b的通项公式；n若cn

1a2

b，求数列n

的前n项和Tn18（12分）1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t；y表示全国GDP总量，表中zlnyi

，z

1z.5 ii1t y z

5

t2 5 ttyy 5

t ii1

ii1

i i ii13 26.474 1.903 10 209.76 14.05依据数据及统计图表，推断btacedt（其中e2.718

为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量y关于t的回归方程类型？（给出推断即可，不必说明理由，并求出y关于t的回归方程.2023GDP总量.中斜率和截距的最小二乘法估量公式分别为：

ni1

xxyyi i

，y.nxii1

x2参考数据：45456785514840310972981en的近似值19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，AB//DC，ADDCAP2，AB1EPC的中点.BEDC：BEPBD所成角的正弦值；FPCBFACFABP的余弦值.20（12分）已知fxlnxm，gxex.（1）当m2fxgx；（2）设直线l是函数fx在点Ax0

,fx0

0x0

处的切线，若直线lgx相切，求正整数m的值.x221（12分）已知椭圆a2

y21ab0BPb2P

满足OA

OBOP（其中O为坐标原222点，点B,P在椭圆C上.求椭圆C的标准方程；FF的直线lykxm0,m0与椭圆CMN两点且与圆x2y21相切. MNF 的周长是否为定若是，求出定值；若不是，请说明理.22（10分）已知曲线C1

xtcos,的参数方程为y1tsin,(t

为参数)

，曲线C2

xsin,的参数方程为y 1cos,为参数).求C与C1 若C与C1

的一般方程；相交于A，B两点，且AB

2，求sin的值.2参考答案125601、B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】由于弧长比较短的状况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，3063(厘米).3故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于简洁题.2、B【解析】ABACBE.【详解】BEBEAEAB1ADAB，AD1(ABAC)，BE5AB1

2ACABAC，6 656

，

1，2.6 3故选：B.【点睛】3、A【解析】利用两条直线相互平行的条件进行判定【详解】a2时，直线方程为2x2y10xy20，可得两直线平行；ax2y10x1y20相互平行，则a12，解得a1

2，a 1，则a2”是ax2y10x1y20相互平行”A2【点睛】4、B【解析】由共轭复数的定义得到z，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得zsin

2icos2，3 3sin

0，cos

10，33 2 3 23z故选：B【点睛】5、D【解析】图象关于y轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行推断可解.【详解】图象关于y轴对称的函数为偶函数；A

xR

f(x) x

f(x

f(x) x

为奇函数；(x)217(x)2172xx21

的定义域为772xCf(xsin8x为奇函数；DxRx0f(x

exex

f(xf(x)

exex

为偶函数.(x)2 x2故选：D.【点睛】本题考查推断函数奇偶性.推断函数奇偶性的两种方法:x)，f(xxf(x)=f(xf(xf(x)=fx)，则函数f(x)是偶函数图象法：函数是奇偶函数图象关于原点(y)对称．6、A【解析】分子分母同乘分母的共轭复数即可.【详解】2i 2i(i1) 22i z 1iz的虚部为1 i 1 (i 1)(i+1) 2故选：A.【点睛】7、C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证.【详解】依据图示数据可知选项A1935.238715720.916635.1.523595.8，C23595.8178655720.9，正确C.3【点睛】8、A【解析】分段求解函数零点，数形结合，分类争辩即可求得结果.【详解】作出yx2x和y5x，y4x的图像如下所示：函数g(x)f(x)4x有三个零点，yfxy4xa0，且由图可知，x0yfxy4xO，x0yfxy4x.x0时，a0,1时，明显𝑦=𝑦(𝑦)与𝑦=4|𝑦|有一个交点𝑦，故满足题意；a1时，明显𝑦=𝑦(𝑦)与𝑦=4|𝑦|没有交点，故不满足题意；a1,5时，明显𝑦=𝑦(𝑦)与𝑦=4|𝑦|也没有交点，故不满足题意；a5,yfxy4x有一个交点C，故满足题意.综上所述，要满足题意，只需a故选：A.【点睛】

[5,).9、D【解析】FGOG，先确定出

,GO的长度，然后利用双曲线定义将 6|OG

|转化为a,b,c的关系式，化简2b后可得到a【详解】

2 1的值，即可求渐近线方程.如图所示：bc由于FGOG，所以GF a

b,OG c2b2a，2 2 b21a2又由于 6OGGF1

，所以 6OGGF

，所以 6OGGF

FF，2112所以6OG212

GF

F

2，所以6a2

b24c22bGFF，2 21 21 b b所以6a2

b24c22b2c

，所以b2

2a2, 2， c a所以渐近线方程为y 2x.故选：D.【点睛】10、D【解析】依据△PABABP120P

的斜率为 3可得出a,c关系，即可求出渐1 4近线斜率得解.【详解】如图，由于△PAB120，所以|PBAB|2aPBM,x PB|cos60a2a,yP 3a0 3

PB|sin60 ，又k P1

2ac 4，2ac3a2b2，解得b 3，a所以双曲线的渐近线方程为y 3x故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的简洁几何性质，属于中档题.11、B【解析】依据角终边上的点坐标，求得sin,cos，代入二倍角公式即可求得sin的值.【详解】由于终边上有一点P(3,4)，所以sin4,cos3，5 5sin2sincos243245 55 25故选：B【点睛】此题考查二倍角公式，娴熟记忆公式即可解决，属于简洁题目.12、A【解析】AB2PAB合求解.【详解】

2，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结2A1,0

，

，

x,

，则

x2yx2y

2，2化简得x32y28，PAB（x轴）的面积最大，∴PAB面积的最大值是122 22 2.2故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的力量，属于中档题.452013、18【解析】f（x）g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．【详解】函数yfx2函数yfx关于点,2对称，gx

2x12

1 函数ygxx1 x1关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点对称， fx与gx图像的交点为x,y，1 1x,y2

，…，x,y6 6

,两两关于点对称，xx1 2

x6

yy1

y6

323418.故答案为：18【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.514、52【解析】aa 2aa24 3

aa46

25a23

2aa35

a25

25(a3

a)225, a5

0aa 53 5aa

25 5 5a2aa ( 3 5

a a的最大值为4 35115、 .2

2 4 4 2 4 2【解析】求出切线l的斜率，即可求出结论.【详解】

3由图可知直线l过点(3,3),0,2， 33可求出直线l的斜率k

21，30 2由导数的几何意义可知，f(3)1.21故答案为: .2【点睛】本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.16、15【解析】利用开放式全部项系数的和得n=5,再利用二项式开放式的通项公式，求得开放式中的常数项.【详解】3 n由于x2

x4n=1024,n=5,3 x5

T =C·35-r

5r

5r100,

r=4,

T=C·3=15,

15.故x2

的开放式的通项公式为

r+1

令x2 2

解得 可得常数项为 5 故填【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质，二项式开放式的通项公式，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）an

4；bn

2n（2）Tn

72n7【解析】Sn

a2n19n1化为6

2n1

6Sn

9n1，利用数列的通项公式和前n项和的关系，得到

是首项为1，n公差为3的等差数列求解.由（1）得到c 42n1，再利用错位相减法求解.n【详解】2S 2n

n1

9n16

2n1

6Sn

9n1，a26S 9n11，n n1a 2a26a 9n2，n1 n na 2a32，n1 n又 n2时，a 0na a 3n2n1 n数列

n

开头成等差数列，2a11

，代入Sn

a 29n1 n16得a a a32 2 1是首项为1，公差为3的等差数列，na 3n4，nba1

2,ba3

8,bn

2n.由（1）得cn

42n1，T 1202?··42n1，n1222?··42n，n两式相减得T 13122··2n1n42n，n162n1n42n，T 72n7.n【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的力量，属于中档题.18（1）ycedtye1.405t2.312

e2.312

1.405t（）148万亿元.【解析】ycedtycedt两边取自然对数得lnylncdtzlnyalncbd，则zabt，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；将t5.2.【详解】（1）依据数据及图表可以推断，ycedtGDPy关于t的回归方程.ycedt两边取自然对数得lnylncdtzlnyalncbdzabt.5由于

ti

z

14.051.405，i15tii1

t2 10所以azbˆt

1.9031.40532.312，所以z关于t的线性回归方程为

2.312，z1.405t所以y关于t的回归方程为ˆ1.405t2.312e2.3121.40z1.405t（2）将t5.2e1.405t2.312，其中1.4055.22.3124.994，于是2023年的全国GDP 总量约为：e4.994

e5148万亿元.【点睛】本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.319（1）证明见解析（2）33【解析】

（3）31010310依据题意以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并表示出BE,DCBEDC.PBDBEBEPBD所成角的正弦值；FPC上，设CFCPBFBCCFBFAC的值BF.FBAABPFABP的余弦值.【详解】PAABCDADAB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，ADDCAP2AB1E为棱PC的中点．∴B0，C0，D0，P(0,0,2),E(1,1,1，BE(0,1,1),DC(2,0,0)，BEDC0，BEDC.（2）BD(1,2,0),PB(1,0,2),PBD的法向量为mxyz.BDm则PBm0

x2y0 ，代入可得 x 2z 0y1x2,z1，即m设直线BE与平面PBD所成角为，由直线与平面夹角可知sincosn,BE

nBEnBE

2 36 2 33所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3 .（3） BC(1,2,0),CP(2,2,2),AC(2,2,0)，由F点在棱PC上，设CFCP(2,2,2),(01)，故BFBCCF(12,22,2) (01)，由BFAC，得BFAC2(12)2(22)0，解得3，4即BF1,1,3， 2 2 2设平面FBA的法向量为n(a,b,c)，nAB0

a0由 ，得 1 1 3 ，nBF0 a b c0 2 2 2i(0,1,0)令c1n(0,i(0,1,0)取平面ABP的法向量 ，则二面角FABP的平面角满足cos

|in|

3 ，310|i||n| 10 10310由图可知，二面角FABP为锐二面角，310故二面角FABP的余弦值为 .31010【点睛】本题考查了空间向量的综合应用，由空间向量证明线线垂直，求直线与平面夹角及平面与平面形成的二面角大小，计算量较大，属于中档题.20（）（）m2.【解析】（1）Fxgxfxexlnx2F'xex

1 F'xF'01，x2 2F'1110F'x在上存在零点aFx.e

x x 00依据题意得到f

x

x,f x0 0

0x 0

处的切线ly

xmx0

mln

xm0

①，再设直线l

x相切于点

x,

ex1

1，即x

lnx

m

，再求得g

x在点

x,ex

处的切线直线l的1x lnx

1m

x 01

1lnx

10 1m 1 x 方程为y 0

②由①②可得 0

0

ln

xm，即xm x0

m x0

m x0

m x0

m xm 00

x100xm1ln0

xm0

x1x0

m10，转化为

xm0

xm10

，0x0

1，令hxlnxm x1

0x1，转化为要使得hx在0,1上存在零点，则只需h0lnm

1 0，xm1 m1hln12m【详解】

0求解.（1）Fxgxfxexlnx2，F'xex

1 F'xF'0

1，F'1110，x2 2 eF'x在上存在零点aFx在a上单调递减，在a上单调递增，Fx

a

ea

2

1 a

a20.Fx0fxgx.

a2 a2（2）f'x

1 f'x

1 ，故切线l

xm 0的方程为y x

xm00x lnx0

m①xm x0 0

0 x设直线lg

x相切于点x,ex1，留意到g'x1

e，从而切线斜率为

1e1x x m，e10因此x1

lnx0

m，1 x

lnx

m 1g x ex l

y 0 而 1 1 x0

，从而直线

的方程也为

xm x0

m xm ②0由①②可知

lnx0

m

1 x

lnx

m，0xm x00

m xm 00故x0

m1lnx0

mx0

1，mxm10，0所以lnx

m

x10

，0x

1，0 xm1 00令hxlnxm x1 x1，xm1h'x xxm1则 xmxm

0，m1hxlnx1

x1为单调递增函数，且hln220，从而hx在上无零点；x当m 1时，要使得hx在上存在零点，则只需h0lnm 1

0，hln1

0，h1

mlnm

1m1

为单调递增函数，h1

3ln32

0，

m1 m所以m3；

mln1

2为单调递增函数，且

1ln220，2 m 2因此m 1；m为整数，且1m3，m2.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的力量，属于难题.x221（1） y21（2）是，x22【解析】（1）Px,y,P在椭圆上，代入椭圆方程求出即可;（2）设Mx,y,Nx,yx0,x

0运用勾股定理和点满足椭圆方程，求