(完整)高中数学人教版必修1知识讲解讲义

1知识讲解讲义目录TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第一讲 集合的概念 1\o"CurrentDocument"第二讲 集合的关系与运算 6\o"CurrentDocument"第三讲 映射与函数 11\o"CurrentDocument"第四讲 函数的表示方法——解析式法 16\o"CurrentDocument"第五讲 函数单调性 20\o"CurrentDocument"第六讲 函数奇偶性 27\o"CurrentDocument"第七讲 指数与指数幂的运算 36\o"CurrentDocument"第八讲 指数函数 42第九讲 对数函数 50第十讲 对数与对数运算 56第十一讲 幂函数 61第十二讲 方程的根与函数的零点 66第十三讲 用二分法求方程的近似解 71第十四讲 几类不同增长的函数模型 76第十五讲 函数的图像 85第十六讲 函数的综合应用 93第十七讲 二次函数性质与函数的图像 111第一讲集合的概念知识思维导图二.知识要点解读(一)集合的概念1.含义：一般地，我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)。(1)对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.(2)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.(3)元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 ^集合通常用大括号｛｝或大写的拉丁字母表示，如 A、B、C……元素通常用小写的拉丁字母表示，如 a、b、c、…….元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作aCA(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a?A要注意的方向，不能把aCA颠倒过来写..集合中元素的三个特性：元素的确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。元素的 互异性 ：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。元素的 无序性 ：集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。4.集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：1)把不含任何元素的集合叫做 空集①2)含有有限个元素的集合叫做 有限集3)含有无穷个元素的集合叫做 无限集【例1】考察下列每组对象能否构成集合？⑴中国的直辖市；⑵young中的字母；⑶不超过20的质数；⑷高一⑶班 16岁以下的学生；⑸高一⑶班所有个子高的学生 .【分析】⑴“中国的直辖市”构成一个集合，该集合的元素是“北京、上海、天津、重庆” ；⑵“young中的字母”构成一个集合，该集合的元素是“y,o,u,n,g”；⑶“不超过20的质数”构成一个集合，该集合的元素是“ 2,3,5,7,11,13,17,19”；(质数又称素数。指在一个大于 1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。与之相对立的是合数：“除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。”如：4+1=4,4+2=2,4+4=1,很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2,所以4是合数。)⑷“高一⑶班16岁以下的学生”构成一个集合；⑸“高一⑶班所有个子高的学生”不能构成一个集合，个子高这个标准不可量化。【例 2】：用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于 6的数的集合 A（2）所有绝对值小于6的整数的集合B【分析】由集合定义：一组确定对象的全体形成集合， 所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在 ^【解】（1）A=｛绝对值等于6的数｝;其元素为：—6,6（2）B=｛绝对值小于6的整数｝;其元素为：一5,—4,—3,—2,—1,0,1,2,3,4,5（二）集合的表示方法1.常用数集的表示方法常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R【例3】判断正误：⑴所有在N中的元素都在即中（X）⑵所有在N中的元素都在2中（,）⑶所有不在N*中的数都不在2中（X）⑷所有不在Q中的实数都在R中（，）⑸由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数 0（X）⑹不在N中的数不能使方程4x=8成立（V）注：（1）自然数集包括数0.（2）非负整数集内排除。的集.记作N*或N+,Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除 0的集，表示成Z*.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1）是有限集而元素个数较少如：｛1,2,3,4,5｝,｛x2,3x+2,5y3-x｝2）是无限集且元素离散所有正奇数组成的集合：｛1,3,5,7,…｝3)是有限集但元素个数较多如从1到100的所有整数组成的集合可以表示为 ｛1,2,3,4，…，98,99,100｝.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合， 并把这个条件写在大括号｛｝内表示集合的方法。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 ｛x|p(x)｝中x为代表元素，p(x)指x具有的性质.描述法的两种表述形式：1)、数式形式：如由不等式x-5>4的所有解组成的集合，可以表示为 ｛x|x-5>4｝;由抛物线y=x2+1上所有点组成的集合，可以表示为 ｛(x,y)|y=x2+1｝。2)、语言形式：如由所有直角三角形组成的集合，可以表示为｛直角三角形｝;所有绝对值小于6的整数的集合，可以表示为｛绝对值小于6的整数｝。【例4】求不等式2x-3>5的解集【答案】不等式的解集为｛x[x>4,x£R｝【例5】下列各组对象不能形成集合的是( )A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数 D.函数y=x图象上所有的点【解】综观四个选择支， A、C、D的对象是确定的，惟有 B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.【例6】集合A的元素由kx?—3x+2=0(kCR)的解构成，若A中的元素至多有一个， 求k值的范围.【解】由题A中元素即方程kx2—3x+2=0(kCR)的根。若k=0,则x=2/3,知A中有一个元素，符合题设若kw0,则方程为一元二次方程.当4=9—8k=0即k=9/8时，kx2-3x+2=0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9—8kv0即k>9/8时,kx2—3x+2=0无解.此日A中无任何元素，即A=①也符合条件综上所述k=0或k>9/8【评述】解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.三.知识要点总结.含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。.元素与集合的关系：属于和不属于.集合的中元素的三个特性：元素的确定性，元素的互异性，元素的无序性。.集合分类一一根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：(1)把不含任何元素的集合叫做空集中(2)含有有限个元素的集合叫做 有限集(3)含有无穷个元素的集合叫做 无限集.集合的表示方法常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集N非负整数内排除 0的集合正整数集N+或N+全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。1)是有限集而元素个数较少2)是无限集且元素离散3)是有限集但元素个数较多.描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号 {}内表示集合的方法。.描述法的两种表述形式：1)、数式形式2)、语言形式

第二讲集合的关系与运算知识思维导图集合及元素集合的概念集合的分类及表示集合集合的运算集合的应用集合的关系子集真子集包含集合的概念集合的分类及表示集合集合的运算集合的应用集合的关系子集真子集包含二.知识要点解读（一）集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系二.知识要点解读（一）集合之间的关系1.集合与集合之间的“包含”关系A={1,2,3},B={1,2,3,4}集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A;如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B是集合B的子集（subset）。记作：A?B或B?A或B包含(contains)A读作：A包含于或B包含(contains)A读作：A包含于(iscontainedin)B,关系2.A?B且A?B,则A=B中的元素是一样的，因此A=B,根据以上我们可以得到这样一个结论：任何一个集合是它本身的子集。即 A?A。.真子集的概念若集合A?B,存在至少一个元素属于集合 B且不属于集合A,则称集合A是集合B的真子集Ppropersubset）。记作：A?B读作：A真包含于B规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。.真子集的性质结论：A?B且B?C,则A?C【例1】集合A={1,2,3,4},集合B={4,2,3,1},问集合A和集合B相等吗？【例2】化简集合A={x|x-7>2},B={x|x>5},并表示A、B的关系；【例3】（1）写出集合{0,1,2}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。（2）集合{a1,a2,a3-an},子集个数共有多少个； 真子集有多少个；非空子集有多少个；非空的真子集有多少个.（二）集合的运算1.集合的运算一一并集一般地，由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合 A与B的并集（Union）记作：AUB读作：“A读作：“A并B”（重说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。.集合的运算一一交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合 A与B的交集(intersection)。

记作：APB读作：“A交B”即：AnB={x|x£A,且xCB}说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合即：AnB={x|x£A,且xCB}说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集。.集合的运算一一补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素， 那么就称这个集合为全集(Universe),通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A对于全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集记作：CuA即：CuA={x|xCU且x?A}补集的Venn图表示[u__ __II(A)GA-说明：补集的概念必须要有全集的限制.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是且与或，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。.集合的运算的一些结论交集AnB?A,AnB?B,AnA=A,An?=?,AAB=BnA并集A?AUB,B?AUB,AUA=A,AU?=A,AUB=BUA补集(CuA)UA=U,(CuA)AA=?

若AAB=A,则A?B,反之也成立若AUB=B,则A?B,反之也成立若xC(AAB),贝UxCA且xCB若xC(AUB),贝UxCA或xCB【例1】A={1,2,3,6},B={1,2,5,10},则AUB=.【例2】已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则AUB=.【例3】已知集合A={1,2,k},B={2,5},若AUB={1,2,3,5}则k=―.【例4】已知集合A={1,3,Vm},B={1,m},AUB=A,则m=( )A.0B.0或3C.1或，3D.1或3【例5】A={a,b,c,d,e},B={c,d,e,f}.则AAB=【例6】设集合M={-1,0,1},N={x|x2<x},则MAN=()A．{0} B．{0,1} C．{-1,1}D．{-1,0,0}TOC\o"1-5"\h\z【例7】已知集合A={xCR|3x+2>0},B={xCR|(x+1)(x-3)>0},贝UAAB=( )A.(-8,-1)B.(-1,-2/3) C. (-2/3,3) D.(3,+8)【例8】已知集合A={xCR||x+2|<3},集合B={xCR|(x-2)(x-m)<0},且AAB=(-1,n)，则m= ,n= .【例9】如果全集U={x|0WX<6,XCZ},A={1,3,5},B={1,4},那么，CUA=CjB=10】如果全集 U={x|0<x<10},A={x|2<x<5}，则 CUA= 【例11】已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，集合B={2,4}则CUAUB=( )A．{1,2,4}B．{2,3,4} C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}【例12】设集合A={x|1<x<4},B={x|x2-2x-3W0},则AA(CRB尸( )A．{1,4} B．{3,4}C．{1,3}D．{1,2}【例13】已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(CuA)n(CUB)=( )A．{5,8}B．{7,9}C．{0,1,3} D．{2,4,6}.知识要点总结1．集合之间的关系相等：集合A与集合B中的所有元素都相同子集：A中任意一个元素均为B中的元素真子集：A中任意一个元素均为B中的元素，B中至少有一个元素不是 A中的元素空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2.集合的运算并集：AUB={x|x£A,或xCB}交集：AAB={x|x€A,且xCB}若全集为U,则集合A的补集为CuA={x|xCU且xA}四.本章小结分类园东子集、11子集、全集应含关系II相等关蔡II运苴关第］第三讲映射与函数知识思维导图函数的定义定义域、值域、对应法则函数的三要素函数的概念函数的表示方法解析法图像法函数的定义定义域、值域、对应法则函数的三要素函数的概念函数的表示方法解析法图像法知识要点解读(一)函数的定义.映射定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合 A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A-B.映射的概念中象、原象的理解：A中每一个元素都有象；B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象； A中每一个元素的象唯一。.函数(1)函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A-B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),xCA,其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xCA}叫做函数的值域.①定义域、值域、对应法则是决定函数的三要素，是一个整体；②值域由定义域、对应法则唯一确定；③函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”而不是表示“y等于f与x的乘积。.函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数

集A到非空数集B的映射.(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数.(3)由映射和函数的定义可知： 函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集..两个函数的相等函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定 .因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的 定义域和对应法则都分别相同 时，这两个函数才是同一个函数.【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)x2+y=1(2)x+y2=1M-x(3)y=k【解】(1)由x2+y=1得y=1—x2,它能确定y是x的函数.(2)由x+y2=1得y=?v1-x,它不能确定y是x的函数。因为又■于任意的 x€{x|xW1},其函数值不是唯一的.y=芸的定义域是？，所以它不能确定y是x的函数。r-1【例2】在下列图象中，表示y是x的函数图象的是( )A.①④A.①④B.①②C.②④D.②③【答案】B【例3】试判断以下各组函数是否表示同一函数?⑴f(x)⑴f(x)=Vx2,g(x)=Vx3(2)f(x)=四,4(X)笄0⑶f(x)=2n+1/ 2n-1-2n-1 ⑶f(x)=V7n+1,g(x)=( ⑻(nCN?)f(x)=v^vx+1,g(x)=Vx+xf(x)=x2-2x-1,g(x)=t2-2t-1

(二)函数三要素.函数的定义域研究一个函数，一定要在其定义域内研究，所以求定义域是研究任何函数的前提； 函数的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式y=f(x)的定义域常常由其实际背景决定，若只给出解析式y=f(x)时，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 X的集合。.求定义域的几种情况：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是 实数R(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是 使分母不等于0的实数的集合(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0的实数的集合(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)【例1】与函数y=x表示相同函数的是 ( )7-2- x2 xx(x-0) Jx(x=0)矽… B.y=- C.ytx(x<0) D.y=lx(x<0)【答案】Dy=y=y=y=y=y=vx-8+v3-xVX2-1+V1-x2x-1x-2x2-41w-^【例2】求下列函数的定义域(5)设f(x)的定义域为[0,2],求函数f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域.(三)函数表示方法.常用的函数表示法(1)解析式;(2)列表法;(3)图像法。.区间的概念：设a,b是两个实数，而且a<b,我们规定:

(1)满足不等式a<xwb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b](2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)(3)满足不等式a<x<b或a<x<b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为 [a,b)或(a,b]【注意】(1)区间是一种表示连续性的数集(2)定义域、值域经常用区间表示用。(3)实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点 。(4)实数集R可以用区间表示为(-8,+8),“8”读作“无穷大”。(5)满足x>a,x>a,x<a,x<a的实数的集合分别表示为 [a,+8)、(a,+oo)、(_oo,a]、(-oo,a)..分段函数习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数，对它应有以下两点基本认识：(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。.复合函数定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u又是x的函数，记为u=g(x),且g(x)值域与f(u)的定义域交集不空，则确定了一个函数 y=f[g(x)],这时y叫做x的复合函数。xx+1,x三1【例1】设函数f(x)=22 ，则f(f(3))=[x,x>1【例2】已知定义在区间【例2】已知定义在区间(0,2)上的函数的图像如图所示，则y=-f(2-x)的图像为( )【答案】Br1仅为有理数)Lr1仅为有理数)L0(x为无理数),则f(g(兀助值为(【例3】设f(x)=<0,x=0〔-1,xv0【例4】函数y=手的定义域为知识要点总结函数映射两集合A,B设A,B是两个非空数集设A,B是两个韭空集合对应法则f:AfB如果按照对应法则f,对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有口艮二的元素y和它对应如果按照某种对应法则 f,对于A中的一个元素,在B中都有唯一的元素与之对应名称称这样的对应为从 A到B的一个函数这样的单值对应叫做集合 A到集合B的映射记法Y=f(x),x6Af:AfB.给定两个非空A和B,如果按照某个,对于集合A中的任意一个数 x,在集合B中都有和它对应，那么就把对应关系f叫做定义在集合A上的函数，记作.其中,x叫做,x的取值范围A叫做函数的；集合｛f(x)|x€A｝叫做函数的..构成函数的三要素：、和..常用的函数表示法：(1)；(2);(3).两个函数的相等：两个函数能成为同一个函数的充要条件是与都相同.第四讲函数的表示方法一一解析式法名称含义列表法通过列出自变量和对应函数值的表来表示函数关系的方法图像法用函数的图像表示两个变量之间的关系的方法解析法把常量和表示自变量的字母卅-系列的运算符号连接起来的式子叫做解析式优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是通过解析式可以求出任意一个自变量对应的函数值不够形象、直观、具体，而且并不是所有的函数都能用解析式表示出来列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量取较少的有限个值的对应关系图像法能形象、直观地表不出函数的变化情况只能近似的求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大三种表示方法的运用：要熟练掌握解析法、列表法、图像法的含义，以及它们的优缺点，只有把握了这些，才能恰当运用这些表示法表示函数。解析法、列表法、图像法同为研究函数的重要方法，它们不是孤立的，而是和谐统一的，为了研究函数需要，常常根据函数的解析式列表或作图， 或者根据函数的图像写出函数的解析式。因此，学习的同时要注意三种方法之间的互化。.知识思维导图.知识要点解读(一)待定系数法1.定义：已知函数类型，故先设函数解析式，由题中条件列方程，求待定系数的值。如:一次函数可设为y=ax+b(aw0)；二次函数有三种设法:

①一般式y=ax2+bx+c(aw。)②顶点式y=a(x-h)2+k(aw0)③两根式y=a(x-xi)(x-x2)(aw0)【例1】若一次函数y=f(x)在区间上1,2]上的最大值为3,最小值为1,则y=f(x)的解析式为【例2】若二次函数y=f(x)过点(0,3),(1,4), (-1,6),则f(x)=【例3】若f(x)是二次函数且f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)【答案】解：设f(x)=ax2+bx+c(aw0).f(0)=1 c=1贝Uf(x)=ax2+bx+1又..f(x+1)-f(x)=2x,对？xCR成立，1-a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x即2ax+a+b=2x.由恒等式性质知：所求二次函数为 f(x)=x2-x+1.【例4】若函数f(x)是一次函数，且耿x)]=4x+3,则函数f(x)的解析式是[解析】 用待定系数法，设f(x)=ax+b(aw0),贝Uf[f(x)]=af(x)+b=a2x+ab+b=4x+3所以a2=4ab+b=3「所以a2=4ab+b=3「a=2Ib=1a=-2b=-3所以f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3【点评】用待定系数法时，要等价变形，根据对应系数相等列出方程组，防止丢根。(二)换元法已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]=F(x),求f(x)的解析式。通常令g(x)=t,由此解出x=。(t),再将x=(f)⑴，代入f[g(x)]=F(x)的解析式中，求得f⑴的解析式，再用 x替换t,便得f(x)的解析式。注意：换元后注意新元t的取值范围【练习】(1)已知f(x-2)=3x-5，求(1)已知f(x-2)=3x-5，求f(x).(2)已知f(2x-1)=4x+2，求f(m)=16,则m等于【例1】若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x)的表达式为( )D.2x+7A.2x+1B.2x-1C.2x-3【答案】B【例2】已知出一+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为。【答案】f(x)=x2-2x+2(x叁1)【例3】已知f(：)=w，则f(x)的解析式可取为( )1+x 1+x2A.i+x^, B.-i+2r2 D.-i+r2【例4】已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x)的解析式【解析】设u=1—cosx,则cosx=1—u,--cos2x=(1-u)2sin2x=1—(1—u)2=—u2+2u.,.u=1-cosx€[0,2].f(x)=—x2+2x,xC[0,2]【例5】若f(x+1)=x2-3x+2,求f(x)【解析】令x+1=t,则x=t-1,.f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,f(x)=x2-5x+6.【例6】设f(x)=4x(x—0),g(x)=4-x(x—0),当x>0时，求f(g(x))和g(f(x))的解析式xx(x<0) lx2(xv0)【解析】当x>0时,g(x)=-x<0,f(x)=x2>。,所以f(g(x))=f(-x)=-x,g(f(x))=g(x2)=-x2.求函数解析式要注意“里”层函数的值域是“外”层函数的定义域，从关系上看， f(gx))与f(x)是同一对应关系的函数， 仅是自变量的取值不同， 这时g(x)的值域就是f(x)中x的范围(这是求复合函数的定义域时不可忽视的问题 )。(三)配凑法(整体代换).什么是配凑法？ 一些能用换元法的题目也能用配凑法.已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中配凑出g(x),即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x来代替即可。【练习】(1)已知f(x-2)=3x-5，求f(x).(2)已知f(或+1)=x+2/，求f(x).解：f(x-2)=3(x-2)+1,f(x)=3x+1解：f(vx+1)=(Vx)2+2vx+1-1=(vx+1)2-1,f(x)=x2-1(x=1)【例1】若f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x)的表达式为( )A.2x+1 B.2x-1 C.2x-3 D.2x+7【例2】已知f(x+§=x2+x2,则f(x)的解析式【例3】已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24，则5a-b=.(四)消元法构造方程组(如自变量互为倒数、已知 f(x)为奇函数且g(x)为偶函数等)此方法的实质是解函数方程。【练习】设f(x)满足f(x)-2f(-)=x,求f(x)的解析式。x【例1】已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=4,则f(x)=x-1 【例2】若函数f(x)满足关系式f(x)+2f(1)=3x.则f(x)的表达式为x' 、' (补充)赋值法一一由题设条件的结构特点，由特殊到一般地寻找普遍规律。【例】设f(x)是R上的函数，且满足f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),求f(x)的表达式。【分析】本题主要考察利用特殊值法求函数的解析式， 所给函数方程含有两个变量时， 可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等带入，再用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，需要根据题目特征来定。【解法一】解：由f(0)=1,f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)设x=y得f(0)=f(x)-x(2x-x+1)••f(0)=1,-f(x)-x(2x-x+1)=1,即f(x)=x2+x+1【解法二】解：令x=0，得f(0-y)=f(0)-y(-y+1)=1-y(-y+1)再令-y=x,代入上式，得f(x)=1-(-x)(x+1)=1+x(x+1)••f(x)=x2+x+1【点评】通过取某些特殊值带入题设中的等式， 可使问题具体化、 简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式三.知识要点总结求解析式常用方法：(一)待定系数法 (二)换元法(三)配凑法(四)消元法第五讲函数单调性知识思维导图二.知识要点解读(一)函数的单调性定义(1)增函数(Increasingfunction):一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值Xi,X2，当X1<X2时，都有f(Xl)<f(X2)，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。区间D就叫做函数f(X)的单调增区间。(2)减函数(Decreasingfunction):一般地，设函数y=f(X)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值X1,X2，当X1<X2时，都有f(X1)>f(X2)，那么就说f(X)在这个区间D上是减函数。区间D就叫做函数f(X)的单调减区间。(3)单调性(单调区间)：如果函数y=f(X)在某个区间D是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(X)在区间D具有单调性，或者说函数在区间 D上是单调的，区间D叫做函数y=f(x)的单调区间(包括增区间和减区间)。名称定义几何意义增函数对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值X1,X2,当X1<X2时，都有f(X1)<f(X2)，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。区间D就叫做函数f(x)的单调增区间。f(x)的图像在区间D是“上升”的减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值 X1,X2，当X1<X2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在这个区间D上是减函数。区间D就叫做函数f(x)的单调减区间。f(x)的图像在区间D上是“下降”的(二)函数的单调性定义深度剖析.函数单调性的定义中，X1,X2有三个特征：一是任意性，即区间内任意取 X1,X2具有普遍性;二是有大小，一般设X1<X2；三是同属于一个单调区间。三者缺一不可。.函数单调性是函数在某个区间上的性质(局部性)①这个区间可以是整个定义域 ，如正比例函数y=3x在定义域(-8,+8)上是增函数。②这个区间也可以是定义域的子集,如y=2x2在定义域(-8,+8)上不是单调函数,②这个区间也可以是定义域的子集但是在(-8,但是在(-8,0)上是减函数，在(0,+00)上是增函数.③有的函数不具有单调性。111,x>0如：f(x)=00,x=0L-i,x<o,、I1(x为有理数),g(x)=,0(x为无理数).若函数f(x)在其定义域内白^两个区间 D、M都为增(或减)函数。一般不能简单地认为f(x)在DUM上是增(或减)函数。如：y=1,在(0,+°°),(-00,0)上都是减函数，但不能说在 (-8,0)u(0,+8)上是减x函数。虽然在每个区间分别具有单调性，但是在整个区间是不具有单调性的。【练习】TOC\o"1-5"\h\z.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )A.y=|x| B.y=3-xC.x D.y=-x2+4［答案］A.函数y=(2k+1)x+b在实数集上是增函数，则( )i 1A.k>-2B.k<-2 C.b>0 D.b<0［答案］A.函数f(x)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若x1€(a,b),x2C(c,d)且x1<x2那么( )A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.无法确定［答案］D.已知f(x)在实数集上是减函数，若 a+bw0,则下列正确的是 ( )A.f(a)+f(b)-［f(海+f(b)］ B.f(a)+f(b)-a丹眼b)C.f(a)+f(b)-［f(a)+f(b)］ D.f(a)+f(b) -a)+fl(-b)(二)函数单调性的判断.判断函数单调性方法⑴定义法a)用定义法判断(证明)函数单调性的步骤 ：取值：在给定区间 D上任取两个值x1,x2且x1<x2；作差变形：计算f(x2)-f(x1)通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形；定号：判断上式的符号，若不能确定，则可再分区间讨论；结论：根据差的符号，得出单调性的结论b)函数的单调性定义等价形式 ：设xi,x2C[a,b],xiW2,那么①(Xi-x2)[f(xi)-f(X2)]>0,f(x)在[a,b]上是增函数。其几何意义是：增函数图象上任意两点，(Xi,f(xi)),(x2,f(x2))连线的斜率都大于0。②(xi-x2)[f(xi)-f(x2)]<0,f(x)在[a,b]上是减函数。其几何意义是：减函数图象上任意两点，(xi,f(xi)),(x2,f(x2))连线的斜率都小于0。c) 函数单调性的判断一一定义法例：讨论函数f(x)=x+a(a>0)的单调性。研究函数的单调性定义法是基础， 掌握定义法的关键是作差(f(x2)-f(xi)),运算的结果可以判断正、负。本题判断正、负的依据是代数式“xix2—a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础。把 xi、x2看成自变量，则转化为判断“ x2—a”的符号，于是转化为判断“x-法”的符号，自然过渡到x=耘是函数单调区间的分界点。【例1】证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.【答案】证明：设xi,x2是R上的任意两个实数，且xi〈x2,则f(xi)-f(x2)=(3xi+2)-(3x2+2)=3(xi-x2).由xi〈x2,得xi-x2<0,于是f(xi)-f(x2)<0,即f(xi)Vf(x2).所以，f(x)=3x+2在R上是增函数.想一想：函数f(x)=-3x+2在R上是增函数还是减函数？试画出f(x)的图象，判断你的结论是否正确.【例2】求证：函数f(x)=x3+x在R上是增函数.(2)图像法先作出函数图像，利用图像直观判断函数的单调性【例i】如图是定义在区间[—5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.【例2】函数y=-x2+|x|,单调递减区间为【答案】(—?,0),(?,+8)⑶直接法就是对于我们所熟悉的函数， 如一次函数、二次函数、反比例函数等，可直接写出它们的单调区间。图像单调区间单调性正比例函数y=kx(kw0)k>0R单调递增k<0R单调递减反比例函数y=1/x(k半0)k>0I,0)单调递减(0,+°0)单调递减K<0(-°0,0)单调递增(0,+°0)单调递增一次函数y=kx+b(kw0)k>0R单调递增k>0R单调递减二次函数2一,一，,-、y=ax+bx+c(a/0)a>0(-0°,]单调递减(,+°°)单调递增a<0(-0°,]单调递增(,+°°)单调递减牢记函数的单调性几个重要结论：若函数f(x),g(x)在区间A上具有单调性，则在区间 A上具有以下性质：f(x)与f(x)+C(c为常数)单调性相同；函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反；f(x)与af(x),当a>0时，具有相同的单调性；当a<0时，具有相反的单调性。1当f(x)不恒为零时，f(x)与;77具有相反的单倜性。f(x)当函数f(x),g(x)都是增(减)函数时，则函数 f(x)+g(x)是增(减)函数。当函数f(x),g(x)都是增(减)函数时，则函数 f(x)•g(x)当两者都大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数。若f(x)R0,则函数f(x)与fT具有相同的单调性.复合函数单调性的判定方法以复合函数y=f[g(x)]为例。可按照下列步骤操作：将复合函数分解成基本初等函数： y=f(u),u=g(x)分别确定各个函数的定义域 。分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间； 若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则 y=f[g(x)]为增函数；若为一增一减，则y=f[g(x)]为减函数，即“同增异减”。函数单调性u=g(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f[g(x)]增减减增.求函数的单调区间常用方法(1)若所给的函数解析式较为复杂， 可先化简函数解析式，作出草图，再根据函数的定义域和图像的直观性写出单调区间。(2)利用定义证明函数在某一区间上是单调函数， 从而写出它的单调区间。 由于函数单调性是针对某一区间而言的， 因此若函数在区间的端点处有定义， 可写成闭区间，也可写成开区间；若没有定义则只能写成开区间。(三)函数单调性的应用1.利用函数单调性求值域或最值一般的，设函数的定义域为I。(1)若存在定值xoCI,使得对于任意xCI,有f(x)Wf(x。)恒成立，则称f(xo*y=f(x)的最大值。记作：ymax=f(x0).(2)若存在定值xoCI,使得对于任意xCI,有f(x)>f(x。)恒成立，则称f(xo*y=f(x)的最小值。记作：ymin=f(x0).一、/注息：(1)定义中的f(x)&f(xo)(或f(x)>f(xo))必须是对于定义域内的任一值，而不是存在。(2)一个函数要有最大(小)值，则只有一个，并不是所有的函数都有最值，如一次函数y=3x+7,xC(4,9)，既无最大值又无最小值。(3)对于分段函数求最值，一定要注意分段函数是一个函数，一般是求出各段函数的最值，

再比较其大小，进而求出分段函数的最值。应用函数的单调性，可以求函数的值域，解决与值域有关的问题，求函数的最大值和最小值。.利用函数单调性比较大小例如：已知f(x)在区间D上为增函数。⑴对任意的X1€D,X2.D,若X1<X2,则f(xi)<f(X2)。(2)对任意的XiCD,X2CD,若f(X1)<f(X2),则Xi<X2.利用函数单调性求参数的范围已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的 逆向思维，这类问题能够加深对概念、性质的理解 。【练习】.已知函数f(X)在区间(0,+8)上是减函数,则f(a2-a+1)与f(0.75)的大小关系为.设函数f(X)=X2-(3a-1)X+a2在区间(1,+°°)上是增函数，求实数a的取值范围。3、若函数 f(X)=X2+2(a—1)x+2在(一巴4］上是单调减函数，则实数a的取值范围是【解析】依题意得对称轴方程为 X=1-a,则1-a>4,得a<-3.4、定义在R上的函数y=f(X),f(0)w0.当x>0时，f(X)>1,且对任意的X,yCR都有f(X+y)=f(X)f(y).?(1)证明：对任意的xCR,f(x)>0;?(2)证明：f(x)是R上的单调增函数；? (3)若f(x)•f(x2+x)<1,求x的取值范围三.知识要点总结我们之前学过一些关于元素和函数的分类：元素的三特性：确定性、互异性、无序性。函数的三要素：定义域、对应法则、值域。函数的三特性：单调性、奇偶性、周期性。其中，单调性排在首位，是函数的基本性质，是每个初等函数要研究的性质 .其他性质则不然，如奇偶性，周期性等，不是每个初等函数都具有的性质 ^由此看到，单调性在函数中的重要地位 .①函数的单调性与“区间”紧密相关，函数在不同的区间上可有不同的单调性。,奇偶性是整体的性质(整个定义域上)②单调性是函数局部的性质(定义域的某个区间上),奇偶性是整体的性质(整个定义域上)O单调性定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值 Xl,X2，当X1＜X2时，有f（X1）＜f（X2），那么就说f（X）在这个区间D上是增函数；有f（Xl）＞f（X2），那么就说f（X）在这个区间D上是减函数。判断函数单调性的常用方法定义法：即“取值——作差（作商 ）——变形——定号——判断 ”注意讨论单调区间图像法直接法函数单调性的证明步骤等同于判断必须注意：在用定义法证明不等式时，为了确定符号，一般是将f（Xi）-f（X2）尽量分出（X1-X2）因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式符号的确定。复合函数单调性的判断——要牢记“同增异减”函数单调性的应用1）利用函数单调性 求值域或最值2）利用函数单调性 比较大小3）利用函数单调性 求参数的范围第六讲函数奇偶性知识思维导图知识思维导图二.知识要点解读(一)函数奇偶性的概念.定义：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 X,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,者B有f(-x尸-f(x),那么f(x)就叫做奇函数。如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则称函数y=f(x)具有奇偶性。函数的奇偶性是函数的整体性质。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即 定义域关于原点对称)。奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立..定义剖析：(1)奇偶函数的定义域关于原点对称。 函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) .若不对称，则这个函数必不具有单调性，这个函数是非奇非偶函数；例如函数 y=x2在实数集R上是偶函数，但在区间［-1,3］上不具有奇偶性。(2)若奇函数在原点处有定义，则有 f(0)=0一定成立。证明：由奇函数的定义f(-0)=-f(0)1可以推出2f(0)=0,即f(0)=0。这里要特别注意一点， 若函数在0处没有定义，如函数f(x)=x虽然是奇函数，但是f(0)是不存在的。大家可以看一下它的图象。(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)成立；若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)成立。(4)若f(x)的定义域关于原点对称，则有：Fi(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，F2(x)=f(x)-f(-x)为奇函数。(5)根据奇偶性可将函数分为四类： 奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。【例1】下列函数为奇函数的是( )A.y=|x| B.y=3-x C.y=1/x D.y=-x2+2【答案】C【例2】下列函数是偶函数的是()A.y=xB.y=2x2+6 C.y=x D.y=x2x€(—1,1]【答案】B【例3】若函数y=f(x)(xCR)是偶函数，且f(2)<f(3),则必有( )A.f(-2)>f(-3)B.f(-2)<f(-3)C.f(2)>f(-3)D.f(3)>f(-3)【答案】B【例4】判断f(x)=Vl-x2+Vx2-1的奇偶性( )

A.奇函数但不是偶函数A.奇函数但不是偶函数B.偶函数但不是奇函数C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数【答案】D。解析：因为定义域｛-1,1｝关于原点对称，且f(-x)=±f(x),所以原函数既是奇函数又是偶函数。(二)奇、偶函数的图象1.奇函数的图象关于原点成 中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反之也成.偶函数的图象关于y轴对称。反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数..由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称， 因而在研究这类函数的性质时，只需要通过研究(-8,0］或［0,+8)其中一个的情况，就可以推断出函数在整个定义域的图象及其性质。【例1】已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在 y轴左边的图象.

【例2】函数f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)<0的解集是( )A.(1,3)A.(1,3)U(-1,0)B.(-1,0)U(0, 1)(1,3)U(-3,-1)(1,3)U(-3,-1)(-3,-1)U(0,1)【例3【例3】函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=2x2-4x(如图).(I)请补全函数f(x)的图象;(I)请补全函数f(x)的图象;(n)写出函数f(x)的表达式;(出)用定义证明函数f(x)在区间［1,+8上单调递增.(n)任取x(-8,0),则-x€(0,+8),由f(x)为奇函数，则f(x)=-f(-x)=-[2(-x)2-4(-x)]综上所述：f(x)=I2x2-4x,x>0L-2(x)2-4(x),x<0(出)任取x1,x2€[1,+°°),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(2x12-4x1)-(2x22-4x2)=(2x12-2x22)-(4x1-4x2)=2(x1+x2)(x1-x2)-4(x1-x2)=2(x1-x2)[(x1+x2)-2]因为x1<x2,所以x1-x2<0又由x[，x2£[1,+°°),且x1<x2,所以x1+x2>2,所以(x1+x2)-2>0所以2(x1-x2)[(x1+x2)-2]<0所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)-<f(x2)所以函数f(x)=2x2-4x在区间［1,+8上单调递增.【例3】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当 xW0时，f(x)=x2+2x(1)现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数 f(x)的图象，并根据图象写出函数f(x)的增区间；(2)写出函数f(x)的解析式和值域.【答案】(1)(2)解析式为f(x)=xx2+2x,x三0,值域为{y|y-1}Lx2-2x,x>0(三)奇、偶函数的性质.奇偶函数的定义域关于原点对称，也是函数具有奇偶性的必要条件。.奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 都必须成立；. f(x)=f(-x),f(x)是偶函数；f(x)+f(-x)=0,f(x)是奇函数。. f(-x)=f(x)?f(x)-f(-x)=0(偶函数)f(x)=-f(-x)?f(x)+f(-x)=0(奇函数).y=f(x)是偶函数，y=f(x)的图象关于y轴对称，y=f(x)是奇函数，y=f(x)的图象关于原点对称。.偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反， 奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同；.偶函数无反函数，奇函数的反函数还是奇函数；.若函数f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数 G(x)=f(X)；X)与一个偶函若g(x)是偶函数，则F(x)是偶函数；若g(x)是奇函数且f(x)是奇函数，则F(x谑奇函数；若g(x)是奇函数且f(x)是偶函数，则F(x谑偶函数【说明】奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法；b、判断函数的奇偶性。【例1】设非常值函数f(x),xCR是一个偶函数，它的函数图像关于直线 x=5对称，则该函数是( )A.非周期函数 B.周期为^22■的周期函数C.周期为亚的周期函数 D.周期为2的周期函数【答案】C。解析：因为偶函数关于y轴对称，而函数f(x),图像关于直线x=［对称，则f(^2-v2 一v2 v2 v2 ，,、、一…一一，,一.一 ，…x)=f(-2"+x),即f(y+x)=f(y+(y+x))=f(-x)=f(x)。故该函数是周期为v2的周期函数.【例2】函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则()A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x+3)是奇函数 D.f(x+3)是偶函数【答案】Cf(x+1)为奇函数一-f(x+1)=f(-x+1)--f(t)=f(2-t)f(x-1)为奇函数一-f(x-1)=f(-x-1)--f(t)=f(-t-2)-f(2-t)=f(-t-2)一f(x)=f(x-4)一T=4所以f(x+3)为奇函数？f(-x+3)=f(-x-1)=-f(x-1)=-f(x+3)【例3】已知函数f(x)=ax5-bx3+cx-3,f(-3)=7,则f(3)的值为()A.13B.-13C.A.13B.-13C.7D.-7【答案】 B【例4】若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(一8,0)上是减函数,且f(2)=0，则使f(x)<0的x的取值范围是 ( )A.(-oo,2) B.(2,+8) C.(—oo,2)U(2,+oo) d.(—2,2)【答案】D。解析：由f(x)在(一8,0)上是减函数，且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+8)上是增函数,.-.f(x)在(—8,-2］上递减，在［2,+川上递增.又.^化尸。，f(-2)=0f(x)在(一8,-2］上总有f(x)>f(-2)=0,①f(x)在［2,+8)上总有f(x)>f(2)=0②由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2)，应选D.(四)判断函数奇偶性判断函数奇偶性的一般步骤:第一步：观察函数的定义域是否关于原点对称；第二步：用-x替换x,验证f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x);第三步：若f(x)=f(-x),则f(x)是偶函数；若f(x)=-f(-x)，则f(x)是奇函数；若f(x)wf(-x)且f(x)W-f(-x),则f(x)是非奇非偶函数；若f(x)=f(-x)且f(x)=-f(-x),即f(0)=0，这就是既奇又偶函数的解析式。但是既奇又偶函数不只是一个，因为定义域不同函数就不同。判断函数奇偶性的常用方法定义法：定义法判定时，可用作差法和作商法。图象法y=f(x)的图象关于y轴对称，y=f(x)是偶函数；y=f(x)的图象关于原点对称，y=f(x)是奇函数【例1】若函数f(x)=(k-2)x2+(k-1)x+3是偶函数，则f(x)的递减区间是 【例 2】已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为 ［a-1,2a］，则 f(0)= 【延伸】【例3】函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,cCR),当a,b,c满足什么条件时，(1)函数f(x)是偶函数.(2)函数f(x)是奇函数.性质法偶函数的和、差、积、商(分母不为 0)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数；一个偶函数和一个奇函数的积是奇函数；奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数注意：两函数的定义域 Di,D2,DiAD2要关于原点对称3.分段函数奇偶性的判断【例】判断函数f(x)=xx2+x(x<0)的奇偶性-x2+x(x>0)对于分段函数的奇偶性的判断，要分段进行讨论。4.奇偶函数图象对称性推广：f(x)在定义域内恒满足f(x)的图像关于 对称f(a+x)=f(a-x)［自对称函数］直线x=af(x)=f(a-x)直线x=a/2f(a+x)=f(b-x)直线x=(a+b)/2f(a+x)+f(a-x)=0点(a,0)f(a+x)+f(b-x)=0点((a+b)/2,0)f(a+x)+f(b-x)=c点((a+b)/2,c/2)【能力提升】【例一】定义f(x)是R上的函数，对任意的x,yCR都有f(x+y尸f(x)-f(y),且f(x)在xC(0,+8)为减函数，f(2)=0。(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求不等式f(x-6)>0的解集。【解析】(1)的定义域为R,令x=y=0推出f(0)=0;又令y=-x推出f(0)=f(x)-f(-x),f(x)=f(-x),即f(x)-为偶函数；(2)由题意-2<x-6<2,解得：4Vx<8所以不等式的解集为{x|4Vx<8}【例二】函数f(x)和g(x)的定义域均为R,"f(x),g(x)都是奇函数”是“f(x)与g(x)的积是偶函数”的( )A.充分但非必要条件 B.必要但非充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A(五)奇偶性和周期性的综合题函数周期性定义为：设函数 f(x)的定义域为D,若存在非零常数T,使得对任意的xCD,f(x+T尸f(x)都成立，则说f(x)是周期函数，T是它的一个周期，若周期中存在最小正数，则称其为最小正周期。【例1】f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x),当0WxW1时，f(x)=x2+x(1)求函数f(x)的周期(2)求函数f(x)在-1<x<0的表达式(3)求f(6.5)【例2】F(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0)上单调递增，且有f(2a2+a+1)<f(-3a2+2a-1),试求实数a的取值范围。【答案】0<a<3(六)函数奇偶性求函数解析式【例一】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x(x+1).求出函数的解析式.【例二】已知函数出刈=吟是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(1/2)=2/51+x2(1)确定函数f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)在(-1,1)的单调性;(3)解不等式f(x-1)+f(x)<0三.知识要点总结在函数奇偶性的定义中，有两个必备条件：一是定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件， 所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；二是判断f(x)与f(—x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(—x)=0(奇函数)或f(x)—f(—x)=0(偶函数))是否成立，这样能简化运算.

第七讲指数与指数号的运算知识思维导图知识要点解读（一）整数指数骞募指数定义底数的取值范围正整数指数an=a-aa(n6N*)a€R零指数指数a0=1aw0且a€R负整数指数a-n=i/anaw0且a€R正分数指数n-mZTn.a而 (m,n6)m为奇数a€Rm为偶数a叁0负分数指数n_1amFm为奇数aw0且a6Rm为偶数a>0数指数哥的概念秣"=…15c、）零的零次幕没有意义零的负整数次事没有意义旷”=算性质⑴aman=am+n(m,nCZ)(am)n=amn(m,nCZ)amr=am-n(m>????w0)(ab)n=anbn(nCZ)0的规定。(5)0的规定。【练习】回答下列问题(口答)①a2-a3= ②(b4)2= ③(m-n)3=(二)n次方根n次方根的定义一般地，如果一个数的n次方等于a(n>1,且nCN*),那么这个数就叫做a的n次方根。若xn=a,则x叫做a的n次方根(n>1,且nCN*)。n次方根的表不.n,(n=2k+1)x=J (a>0,k6l*)nL±范(n=2k)其中nvi叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。当n为奇数时，中=an一 aa(a=0)当n为偶数时，nvOn=|a|= ,/二-a(a<0)3.n次方根的性质(1)偶次方根有以下性质：3.整数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根零的偶次方根是零(2)奇次方根有以下性质：正数的奇次方根是正数负数的奇次方根是负数零的奇次方根是零(三)分数指数哥1.分数指数哥的定义m ⑴规定正数的正分数指数哥的意义： a"=nvOm(a>0,??,??C???且n>1)-m1 1 r(2)规定正数的负分数指数哥的意义： an=F==(a>0,??,??€???且n>1)a万Va(3)注意：0的正数次哥有意义。0的负数次哥无意义。

0的0次哥无意义。数指数哥的运算性质整数指数哥的性质可以运用到分数指数哥，进而推广到有理数范围。⑴aras=ar+s(a>0,????€??)(ar)s=ars(a>0,????€??)(ab)r=arbr(a>0,??>0,??C??)【例1】已知x-3+i=a,求a2-2ax-3+x-6的值【例2】2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k等于( )A.2-2kB2—A.2-2kB2—(2k-1)C.-2-(2k+1)D.2【例3】若10x=2,10y=3,则103=TOC\o"1-5"\h\z【例4】若a<2,则化简4Vz(2a-1)2的结果是( )A.v2a-1 B.-v2a-1 C.V1-2aD.-，1-2a【解析】因为a<2,所以2a-1<0,于是原式4/(1-2a)2=【例5】已知x+x-1=3,则x3+x-2值为( )A.±4v5 B.2v5 C.4v5 D.-4v5【例6】下列运算结果中正确的是( )A.a2a3=a6B.(-a2)3=-a6C.(-a2)3=(-a3)2 D.(va-1)0=1【例7】化简＞=( )A.24B2技C.43 D.2V2【例8】已知a2+a-1=2,求下列各式的值a2 + a-2 ;(2) a3+ a-3 ; (3) a4 + a-41 1 2 -22【例9】已知x2+x-2=3,求x3x3的值x2+x-2-31 1 1 12【答案】解：x2+x-2=3? (x2+x 2) =9?x+2+x-1 =9? x+ x-1= 7?(x+x-1)2=49?x2+x-2=473 3 11又x2+x-2=(x2+x-2)(x-1+x-1)=3(7-1)=18x2+x-2-247-2o3x2+x-2-318-3【例10】概念理解:(1)25的平方根是27的立方根是-32的五次方根是16的四次方根是a6的三次方根是0的七次方根是【例11】计算：3 3 5 5 272(V27)3= (V-32)5= (向2=3/(-2)3=VF= VT= V-(-3)【例12】化简下列各式:. 5 V32(2)，(-3)4v(v2-v3)24Vz8V?b4【例13】计算a2-b2a2+b2(a2-vS)~ 1a2-vSa2+b2a2-b2(a2-2+a-2)/(a2-a-2)【例14】a,bCR,下列各式总能成立的是( )A.(凌-vb)6=a-b B.8vz(a2+b2)8=a2+b2C.Va4-4Vzb4=a-b D.1(V(a+b)10=a+b【例15】用分数指数哥的形式表示下列各式：a3,Va2_ 1(1)a2-Va=a2a2=a2+1=a2⑵a3.v7=a22a3=a2 113+3=a3va^/a=(a-a2)2=(a2)2=a4【例16】将格式转化分数指数哥的形式( a>0,b>0)^a^a3Va5【答案】(1)a63 3a-3⑵日E^a^a3Va5【答案】(1)a63 3a-3⑵日E44 (3)，(a+b)3/94—(4)喘2V【例17】函数y=3-3a-4b-43(a+b)49 3a7b-81(0.5x-8)-2的定义域是【答案】(-8,-3)。0.5x-8>0?0.5x>0.5-3?x<-3【例18】化简(1+2-32【例18】化简(1+2-32)(1+2-116)(11 1+2-8)(1+2-4)(1+2-：)的结果是(1 1-1 1 -1___ -__A.2(1-232) B.(1-232)1 1 1 1【例19】已知函数f(x)=x3-x3,g(x)=x3+x35 5C.1-2-32D.i2(1-132)(1)证明：f(x)是奇函数，并求f(x)的单调区间;(2)分别七十算f(4)-5f(2)g(2)(2)分别七十算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,由此概括出涉及函数 f(x)和g(x)的对所有不等于零的x都成立的一个等式。解：(1)函数的定义域为(ymu他母)，关于原点对称又FF.串囱二-nFT8是窗函数加)-M^ -彳J-Jxi*-At)vjjj<oj+-/■>口二/6)J/<4><of(x)在。+8)上单调递增，又f⑻是奇函数二加)在(-8,0)上也单调递增.(2)计算得⑵g⑵=0rf⑵-Sf⑶g⑶=口:由此阀舌出对所有不等于零的实效x的：f(x^)-5f(x)g(x)=0.1 1 1111工孑・・丁 ->"»T>+!：_* 1iJI1上Fp)-5/1⑴就价=Ji一一-=^牛一')-如'T*)-0J J J 7 Jf三.知识要点总结.分数指数哥的概念(与整数指数哥对比有何差异，注意不能随意约分).分数指数哥的运算性质，进而推广到有理数指数哥的运算性质。.根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式为根式的，要再将结果化为根式。

募指数定义底数的取值范围正整数指数a=a-aa(n6N*)a€R零指数指数a0=1aw。且a€R负整数指数a-n=1/anaw。且a€R正分数指数n_m-nam- (m