二阶常系数线性差分方程课件

第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解思考题小结内容回顾第十章微分方程与差分方程1第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的求一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解内容回顾二、非齐次方程的求解

关键是求非齐次特解,本节求特解要求掌握待定系数法：1.型2一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解内容回顾二、非齐次方程(1)当μ＝0、1时，即类型1.(2)当μ≠0、1时，设型2.3(1)当μ＝0、1时，即类型1.(2)当μ≠0、1时，特征根通解形式三、二阶常系数齐次微分方程求通解:4特征根通解形式三、二阶常系数齐次微分方程求通解:4(待定系数法)四、二阶常系数非齐次微分方程求通解:5(待定系数法)四、二阶常系数非齐次微分方程求通解:5二阶常系数线性差分方程1.定义

2.解的结构定理

二阶常系数线性差分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.即6二阶常系数线性差分方程1.定义2.解的结构定理二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式（1）（2）二阶常系数线性差分方程7二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式二阶常系数齐次线性差分一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解令

根据特征方程（3）的根的三种情形写出通解：(1)第一种情形：代入方程（1）得特征方程（3）特征方程（3）有两个不同的实根（1）通解为()为任意常数21,CC8一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解令

根据特征方程（3）的(2)第二种情形：(3)第三种情形：特征方程（3）有两个相同的实根特征方程（3）有一对共轭复根通解为()()为任意常数2121,CCxCCyxxl+=通解为()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=9(2)第二种情形：(3)第三种情形：特征方程（3）有两个相同

二阶常系数齐次线性差分方程

特征根通解形式特征方程10

二阶常系数齐次线性差分方程

特征根通解形式特征方解:

特征方程

原方程的通解为的根为例1

求差分方程的通解.0612=--++xxxyyy()()为任意常数2121,,23CCCCyxxx-+=11解:特征方程原方程的通解为的根为例1求差分方程求差分方程特征方程

原方程的通解为的根为将原式变形为

解:的通解.特征方程例212求差分方程特征方程原方程的通解为的根为将原式变形为解:

特征方程原方程的通解为的根为例3

求差分方程的通解.0412=++xxyy()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=()为任意常数2121,,2sin2cos21CCxCxCyxxøöçèæ+øöçèæ=pp13解:特征方程原方程的通解为的根为例3求差分方程的通解.例4

求差分方程的通解.解:

特征方程

原方程的通解为的根为()pabqba<<>=+=0,0arctan,22brq()为任意常数2121,,3sin3cos4CCxCxCyxxøöçèæ+=pp()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=14例4求差分方程的通解.解:特征方程

原方程的二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解对应齐次差分方程的通解（前面已学过）我们只学习后部分.非齐次差分方程的特解二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法——待定系数法.

（2）15二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解对应齐次差分方程的通解

（1）1不是特征方程的根，即1+a+b≠0,设

（2）1是特征方程的单根，即1+a+b＝0且2+a≠0,设

（3）1是特征方程的重根，即1+a+b＝0且2+a＝0,设1.型()()xPxfn=特征方程16

（1）1不是特征方程的根，即1+a+b≠0,设

（2）1(待定系数法)二阶常系数非齐次差分方程求通解:17(待定系数法)二阶常系数非齐次差分方程求通解:17解:（1）先求对应齐次方程的通解特征方程：通解为()()为任意常数2121,,4CCCCYxx-+=(－1)x（2）非齐次方程的特解18解:（1）先求对应齐次方程的通解特征方程：通解为()()为任（3）非齐次方程的通解为19（3）非齐次方程的通解为19例6

求差分方程

的通解.解:（1）对应齐次方程（2）设非齐次方程的特解为

（3）非齐次方程的通解为的特征方程通解为代入方程求得所以()()为任意常数2121,,4CCCCYxx-+=()()为任意常数21221,,50211034CCxxCCyxx-+-+=20例6求差分方程的通解.解:（1）对应齐次方程（2）设非求差分方程

的一个特解.解:

对应齐次方程

特征方程的根为代入方程得设非齐次方程的特解为所以差分方程的一个特解为的特征方程例7求得21求差分方程的一个特解.解:对应齐次方程特征2.

型(μ≠0、1)令

（2）原方程化为222.型(μ≠0、1)令（2）原方程化为22例8

求差分方程解:（1）对应的齐次方程特征方程的根为（2）令

对应的齐次方程的特征方程为的通解.通解为的特征方程为原方程化为()()为任意常数2121,,32CCCCYxxx+-=23例8求差分方程解:（1）对应的齐次方程特征方程的根为（2）所以得原方程的特解为设非齐次方程的特解为特解为代入方程求得特征方程的根为()()为任意常数21221,,252151332CCxxCCyxxxxøöçèæ-++-=24所以得原方程的特解为设非齐次方程的特解为特解为代入方程求得特1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解特征方程特征根通解形式小结251.二阶常系数齐次线性差分方程求通解特征方程特征根通2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解方程的通解为1.型2.

型(μ≠0、1)令

原方程化为262.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解方程的通解为1.型2作业P4261(奇)，2(偶)预习：第九节第十章微分方程与差分方程作业P4261(奇)，2(偶)预习：第九节第十章第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的求解二阶常系数非齐次线性差分方程的求解思考题小结内容回顾第十章微分方程与差分方程28第八节二阶常系数线性差分方程二阶常系数齐次线性差分方程的求一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解内容回顾二、非齐次方程的求解

关键是求非齐次特解,本节求特解要求掌握待定系数法：1.型29一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解内容回顾二、非齐次方程(1)当μ＝0、1时，即类型1.(2)当μ≠0、1时，设型2.30(1)当μ＝0、1时，即类型1.(2)当μ≠0、1时，特征根通解形式三、二阶常系数齐次微分方程求通解:31特征根通解形式三、二阶常系数齐次微分方程求通解:4(待定系数法)四、二阶常系数非齐次微分方程求通解:32(待定系数法)四、二阶常系数非齐次微分方程求通解:5二阶常系数线性差分方程1.定义

2.解的结构定理

二阶常系数线性差分方程的通解等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.即33二阶常系数线性差分方程1.定义2.解的结构定理二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式（1）（2）二阶常系数线性差分方程34二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式二阶常系数齐次线性差分一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解令

根据特征方程（3）的根的三种情形写出通解：(1)第一种情形：代入方程（1）得特征方程（3）特征方程（3）有两个不同的实根（1）通解为()为任意常数21,CC35一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解令

根据特征方程（3）的(2)第二种情形：(3)第三种情形：特征方程（3）有两个相同的实根特征方程（3）有一对共轭复根通解为()()为任意常数2121,CCxCCyxxl+=通解为()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=36(2)第二种情形：(3)第三种情形：特征方程（3）有两个相同

二阶常系数齐次线性差分方程

特征根通解形式特征方程37

二阶常系数齐次线性差分方程

特征根通解形式特征方解:

特征方程

原方程的通解为的根为例1

求差分方程的通解.0612=--++xxxyyy()()为任意常数2121,,23CCCCyxxx-+=38解:特征方程原方程的通解为的根为例1求差分方程求差分方程特征方程

原方程的通解为的根为将原式变形为

解:的通解.特征方程例239求差分方程特征方程原方程的通解为的根为将原式变形为解:

特征方程原方程的通解为的根为例3

求差分方程的通解.0412=++xxyy()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=()为任意常数2121,,2sin2cos21CCxCxCyxxøöçèæ+øöçèæ=pp40解:特征方程原方程的通解为的根为例3求差分方程的通解.例4

求差分方程的通解.解:

特征方程

原方程的通解为的根为()pabqba<<>=+=0,0arctan,22brq()为任意常数2121,,3sin3cos4CCxCxCyxxøöçèæ+=pp()()为任意常数2121,sincosCCxCxCryxxqq+=41例4求差分方程的通解.解:特征方程

原方程的二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解对应齐次差分方程的通解（前面已学过）我们只学习后部分.非齐次差分方程的特解二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法——待定系数法.

（2）42二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解对应齐次差分方程的通解

（1）1不是特征方程的根，即1+a+b≠0,设

（2）1是特征方程的单根，即1+a+b＝0且2+a≠0,设

（3）1是特征方程的重根，即1+a+b＝0且2+a＝0,设1.型()()xPxfn=特征方程43

（1）1不是特征方程的根，即1+a+b≠0,设

（2）1(待定系数法)二阶常系数非齐次差分方程求通解:44(待定系数法)二阶常系数非齐次差分方程求通解:17解:（1）先求对应齐次方程的通解特征方程：通解为()()为任意常数2121,,4CCCCYxx-+=(－1)x（2）非齐次方程的特解45解:（1）先求对应齐次方程的通解特征方程：通解为()()为任（3）非齐次方程的通解为46（3）非齐次方程的通解为19例6

求差分方程

的通解.解:（1）对应齐次方程（2）设非齐次方程的特解为

（3）非齐次方程的通解为的特征方程通解为代入方程求得所以()()为任意常数2121,,4CCCCYxx-+=()()为任意常数21221,,50211034CCxxCCyxx-+-+=47例6求差分方程的通解.解:（1）对应齐次方程（2）设非求差分方程

的一个特解.解:

对应齐次方程

特征方程的根为代入方程得设非齐次方程的特解为所以差分方程的一个特解为的特征方程例7求得48