高考数学总复习 第3节 简易逻辑复习 新人教

第3节简易逻辑整理ppt1．命题可以

叫命题，命题由

和

两部分构成．判断真假的语句条件结论整理ppt2．逻辑联结词(1)常用的逻辑联结词有

、

、

．(2)真值表或且非pq非pp或qp且q真真

真假假真假假假真真假假真假假真真真假整理ppt3.四种命题及其相互关系(1)四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p、q的否定，于是四种命题形式为：原命题：________________；逆命题：________________；否命题：________________；逆否命题：__________________.整理ppt(2)四种命题的关系整理ppt(3)四种命题的真假性(1)两个命题互为________命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为________或________，它们的真假性没有关系．整理ppt4．充分条件、必要条件与充要条件的判定(1)从逻辑推理关系上看①若________，则p是q的充分不必要条件；②若________，则p是q的必要不充分条件；③若________，则p是q的充要条件；④若________，则p是q的既不充分也不必要条件．且且且且整理ppt(2)从集合与集合之间关系上看记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分又不必要条件整理ppt(3)从命题真假性上看把p与q分别记作命题的条件与结论，则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下：①若原命题

逆命题

，则p是q的充分不必要条件；②若原命题

逆命题

，则p是q的必要不充分条件；③若原命题与逆命题都

，则p是q的充要条件；④若原命题与逆命题都

，则p是q的既不充分又不必要条件．真假假真真假整理ppt1．集合A＝{x||x－2|<1}，B＝{x|x2－4x<0}，那么“a∈A”是“a∈B”的 ()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由已知得A＝{x|1<x<3}，B＝{x|0<x<4}，因为A⊆B，所以a∈A是a∈B的充分不必要条件．【答案】A整理ppt2．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题；④“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是 ()A．0 B．1C．2 D．3【解析】

①逆命题“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”为真；②原命为假，如a＝－1，b＝－2，则其逆否命题为假；③否命题“若x>－3，则x2＋x－6≤0”为假，如x＝3时；④逆命题“相等的角是对顶角”为假．【答案】B整理ppt3．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1【解析】原命题的条件与结论分别否定后再交换位置．故选D.【答案】D整理ppt4．存在一个实数，使得x2＋x＋1≤0的否定是____________；否命题是____________．【解析】原命题的否定是“不存在实数x，使得x2＋x＋1≤0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1>0”；否命题是“不存在实数x，使得x2＋x＋1>0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1≤0”．【答案】对所有的实数x，有x2＋x＋1>0”对所有的实数x，有x2＋x＋1≤0”整理ppt已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【思路点拨】由题意知“p或q”为真，“p且q”为假推出p、q一真一假，再分类求解．整理ppt【解析】由p得则m>2.由q知，Δ′＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，则1<m<3.∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真．则或，解得m≥3或1<m≤2.∴m的取值范围为m≥3或1<m≤2.整理ppt【答案】

m≥3或1<m≤2【方法技巧】复合命题是由简单命题与逻辑联结词构成的，简单命题的真假决定了复合命题的真假，复合命题的真假用真值表来判断．对于“p或q”，只有p，q都为假时，才为假，其它情况为真；对于“p且q”，只有p，q都为真时才为真，其它情况为假，非p的真假与p的真假相反．

整理ppt1．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充要条件．命题q：函数y＝的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则 ()A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假 D．p假q真整理ppt【解析】命题p的判断可举反例：a＝2，b＝－3，则|a|＋|b|>1，但|a＋b|＝1，故命题p是假命题．命题q：由函数解析式知|x－1|－2≥0，解得x≤－1或x≥3，所以命题q是真命题．故选D.【答案】D整理ppt判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．【思路点拨】可先写出该命题的逆否命题，再判断其真假性；也可利用命题间的关系，判断其等价命题的真假性；还可利用充要条件与集合的包含、相等关系来解决．整理ppt【解析】解法一写出逆否命题，再判断其真假．原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真命题．整理ppt解法二利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明．∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0的判断式Δ＝4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题．整理ppt解法三利用充要条件与集合的包含、相等关系．命题p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，∴p：A＝{a|a≥0}，q：B＝{a|方程x2＋x－a＝0有实根}＝{a|a≥－}．即A⊆B，∴“若p则q”为真．∴“若p则q”的逆否命题“若綈q则綈p”为真．∴“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．整理ppt解法四设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则綈p：a<0，綈q：x2＋x－a＝0无实根，∴綈p：A＝{a|a<0}，綈q：B＝{a|方程x2＋x－a＝0无实根}＝{a|a<－}．∵B⊆A，∴“若綈q则綈p”为真，即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真．整理ppt【方法技巧】(1)判断命题的真假，可先写出命题，分清条件与结论，直接判断；(2)如果不易判断，可根据互为逆否命题的等价性来判断；(3)当命题有大前提时，写该命题的逆命题、否命题、逆否命题时应保持大前提不变．【温馨提示】

①“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，若p表示命题，“綈p”叫做命题p的否定．如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则綈q”，即只否定命题的结论，而原命题的否命题是“若綈p，则綈q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．整理ppt②一些常见词语及其否定词语是都是大于(>)所有的任一个至少一个至多一个词语的否定不是不都是不大于(≤)某些某个一个也没有至少两个整理ppt2．设原命题是“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明它们的真假．【解析】逆命题为“已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”．否命题为“已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”．逆否命题为“已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d”．整理ppt由等式性质知，原命题为真；由3＋5＝2＋6，但3≠2,5≠6说明逆命题为假；由5≠7,4≠2，但5＋4＝7＋2，说明否命题为假(由否命题与逆命题互为逆否命题，可知否命题为假)；逆否命题为真也可如下说明：若a＋c≠b＋d，可分为两种情况(1)a≠b，于是命题为真．(2)a＝b，从而推出c≠d(否则a＋c＝b＋d)，命题也为真.

整理ppt已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”：(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出其逆否命题，并证明你的结论．整理ppt【解析】(1)逆命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0”，假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾，所以逆命题为真．整理ppt(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.下面用反证法给出证明：假设a＋b≥0，则a≥－b且b≥－a；又f(x)为增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)；两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．这与题设条件f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)矛盾，故假设不成立．∴a＋b<0.整理ppt【方法技巧】反证法的步骤：(1)假设结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．整理ppt【温馨提示】反证法的适用题型：(1)当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确时，考虑用反证法证明；(2)否定型命题(命题的结论是“不可能…”，“不能表示为…”“不是…”，“不存在…”“不等于…”“不具有某种性质”等)、唯一性命题、存在性命题、“至少、至多”型命题、某些命题的逆命题等都可用反证法证明；(3)有的肯定此命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，如“无限多个数”、“无穷多交点”等，由于直接证明无限的情形比较困难，因而也往往采用反证法．整理ppt3．已知实数a、b、c、d满足条件：2bd－c－a＝0.命题p：二次方程ax2＋2bx＋1＝0有实根；命题q：二次方程cx2＋2dx＋1＝0有实根；求证：“p或q”为真命题．整理ppt【证明】假设“p或q”为假命题，则p与q均为假命题．即⇒∴b2＋d2<a＋c.又∵2bd－c－a＝0，∴2bd＝a＋c，∴b2＋d2<2bd，这是错误的，故假设不成立，从而“p或q”为真命题.整理ppt已知ab≠0，求证a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.【思路点拨】此类问题需证明两个命题，即充分性与必要性，故应分清谁是条件，谁是结论，然后再分别证明．整理ppt【证明】(必要性)∵a＋b＝1，∴a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.整理ppt(充分性)∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，∴a≠0且b≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－)2＋b2>0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1，综上可知，当ab≠0时a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.整理ppt【方法技巧】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性，证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．整理ppt4．关于x的不等式或方程：(1)证明x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q；(2)求(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)有两个正根的充要条件．整理ppt【证明】(1)先证明必要性：解x2＋px＋q≤0，若Δ＝p2－4q>0，则不等式的解集为{x|≤x≤}，与题意不符；若Δ<0，x2＋px＋q>0恒成立，则不等式的解集为∅，也与题意不符； 所以只能Δ＝p2－4q＝0，即p2＝4q使得原不等式的解集中只含有一个元素{x|x＝}．整理ppt再证明充分性：由p2＝4q，则原不等式可以整理成x2＋px＋q＝x2＋px＋＝(x＋)2≤0，因此解集为{x|x＝－}，只有一个元素．综上所述，x2＋px＋q≤0的解集只含有一个元素的充要条件是p2＝4q.整理ppt(2)设(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)有两个正根x1，x2，则Δ≥0且x1＋x2>0和x1·x2>0，即(a＋2)2＋16(1－a)≥0，>0，>0，解得1<a≤2或a≥10；反之若1<a≤2或a≥10，则判别式Δ与方程的两个根x1，x2可以由韦达定理得到Δ＝(a＋2)2＋16(1－a)≥0，x1＋x2＝>0，x1·x2＝>0，即x1，x2为两个正根，即(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)有两个正根的充要条件是1<a≤2或a≥10.整理ppt1．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由|x－1|<2得－2<x－1<2，－1<x<3；由x(x－3)<0得0<x<3.因此“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的必要不充分条件，选B.【答案】B整理ppt2．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么 ()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与q的真假相同【解析】由“非p”是真命题，∴p是假命题，而“p或q”是真命题，故q一定是真命题．故选B.【答案】B整理ppt3．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是 ()A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数整理ppt【解析】由原命题与其逆否命题的关系易知选B.【答案】B整理ppt4．用反证法证明“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”时的假设应为 ()A．x＝1或x＝2 B．x2－3x＋2＝0C．x2－3x＋2≤0 D．x2－3x＋2>0【解析】用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定，“x2－3x＋2≠0”的否定为“x2－3x＋2＝0”，故选B.【答案】B整理ppt5．(2009年福建福州八中)“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的 ()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数，得出a≤1，所以“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故选A.【答案】A整理ppt6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的 ()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】当a<0时，由韦达定理知x1·x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推可理知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．【答案】B整理ppt二、填空题7．由命题p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题中，真命题有________个．【解析】

p：4∈{2,3}是假命题，q：2∈{2,3}是真命题，据真值表知“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，故答案为2.【答案】2整理ppt8．命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是________．【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0.整理ppt9．(创新预测题)下列有关命题的说法正确的是________．①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为：“若x2＝1，则x≠1”；②“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件；③命题“若x2<1，则－1<x<1”的否定是：“若x2≥1，则x≤－1或x≥1”；④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．整理ppt【解析】

①正确的否命题为“若x2≠1，则x≠1”；②应为充分不必要条件；③的否定是“若x2<1，则x≤－1或x≥1”．【答案】

④整理ppt10．已知p：|1－|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．

整理ppt【解析】|1－