函数的单调性与导数课件

1.3.1函数的单调性与导数yx01.3.1函数的单调性与导数yx0（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:

（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/

0,(c为常数)；

（2）.幂函数：(xn)/

nxn1复习：基本初等函数的导数公式（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:单调性的定义对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。知识回顾

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

单调性的定义对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。xyo函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x32yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.结论：在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间几何意义：关系：思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。课本思考思考1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？几何意义：关系：思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上

例1、已知导函数的下列信息：当1<x<4时，>0;当x>4,或x<1时，<0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负例1、已知导函数的下列信息：当1<x<4时，1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)

(1)函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。(2)函数y=x2－3x在[2，+∞)上为_____函数，在(－∞,1]上为______函数。基础训练：应用举例增增减1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既函数的单调性与导数课件求函数的单调区间。例2变1：求函数的单调区间。理解训练：解：的单调递增区间为单调递减区间为解：的单调递增区间为单调递减区间为变3：求函数的单调区间。变2：求函数的单调区间。巩固提高：解:解:注意:单调区间不可以并起来.求函数的单调区间例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。例3、判断下列函数的单调性，并求出(1)f(x)=x(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1)图象见右图。当>0，即x>1时，函数单调递增；当<0，即x<1时，函数单调递减；(2)f(x)=x2-2x-3;解：(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x

在x∈(0,)单调递减，见右图。(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0，即时，函数单调递增；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：图象见右图。当<0，即时，函数单调递减；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;图象见右图。当<0，(4)f(x)练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？归总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难纳1°什么情况下，设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C设是函数的导函数，的图象如思考题A思考题A求参数的取值范围求参数的取值范围例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证在某个区间上，，函数的单调性与导数课件例3：方程根的问题求证：方程只有一个根。例3：方程根的问题BB2.函数y=a(x3-x)的减区间为

则a的取值范围为()(A)a>0(B)–1<a<1(C)a>1(D)0<a<1A2.函数y=a(x3-x)的减区间为A函数的单调性与导数课件函数的单调性与导数课件证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x2.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。3.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小(1)函数单调性与导数正负的关系课堂小结(2)利用导数研究函数单调性的步骤(1)函数单调性与导数正负的关系课堂小结(2)利用导数研究函1.3.1函数的单调性与导数yx01.3.1函数的单调性与导数yx0（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:

（3）.三角函数：（1）.常函数：(C)/

0,(c为常数)；

（2）.幂函数：(xn)/

nxn1复习：基本初等函数的导数公式（4）.对数函数的导数:（5）.指数函数的导数:单调性的定义对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。知识回顾

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．

单调性的定义对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数的单调性。xyo函数在上为____函数，在上为____函数。图象法定义法减增如图：知识回顾判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x3-6x2+7(2)f(x)=ex-x+1(3)f(x)=sinx-x发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察单调性与导数有什么关系思考：那么如何求出下列函数的单调性呢?(1)f(x)=2x32yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：总xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3

观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系.结论：在某个区间(a,b)内,如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间”的含义,它必是定义域内的某个区间。函数单调性与导数正负的关系注意：应正确理解“某个区间几何意义：关系：思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。课本思考思考1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？几何意义：关系：思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上

例1、已知导函数的下列信息：当1<x<4时，>0;当x>4,或x<1时，<0;当x=4,或x=1时，=0.则函数f(x)图象的大致形状是(）。xyo14xyo14xyo14xyo14ABCDD导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关正负例1、已知导函数的下列信息：当1<x<4时，1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既不是增函数,也不是减函数”)

(1)函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。(2)函数y=x2－3x在[2，+∞)上为_____函数，在(－∞,1]上为______函数。基础训练：应用举例增增减1．应用导数求函数的单调区间(选填:“增”,“减”,“既函数的单调性与导数课件求函数的单调区间。例2变1：求函数的单调区间。理解训练：解：的单调递增区间为单调递减区间为解：的单调递增区间为单调递减区间为变3：求函数的单调区间。变2：求函数的单调区间。巩固提高：解:解:注意:单调区间不可以并起来.求函数的单调区间例3、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=x3+3x;解：=3x2+3=3(x2+1)>0从而函数f(x)=x3+3x在x∈R上单调递增，见右图。例3、判断下列函数的单调性，并求出(1)f(x)=x(2)f(x)=x2-2x-3;解：=2x-2=2(x-1)图象见右图。当>0，即x>1时，函数单调递增；当<0，即x<1时，函数单调递减；(2)f(x)=x2-2x-3;解：(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解：=cosx-1<0从而函数f(x)=sinx-x

在x∈(0,)单调递减，见右图。(3)f(x)=sinx-x;x∈(0,p)解(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：=6x2+6x-24=6(x2+x-4)当>0，即时，函数单调递增；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;解：图象见右图。当<0，即时，函数单调递减；(4)f(x)=2x3+3x2-24x+1;图象见右图。当<0，(4)f(x)练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:练习判断下列函数的单调性,并求出单调区间:总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。纳1°什么情况下，用“导数法”求函数单调性、单调区间较简便？2°试总结用“导数法”求单调区间的步骤？归总结:当遇到三次或三次以上的,或图象很难纳1°什么情况下，设是函数的导函数，的图象如右图所示,则的图象最有可能的是()xyo12xyo12xyo12xyo12xyo2(A)(B)(C)(D)C设是函数的导函数，的图象如思考题A思考题A求参数的取值范围求参数的取值范围例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增例2：解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增在某个区间上，，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证在某个区间上，