关于增根的一些问题

5/5关于增根的一些问题定义 增根(extraneousroot),在分式方程化为整式方程的过程中,假设整式方程的根使最简公分母为0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根 产生增根的来源 对于分式方程,当分式中,分母的值为零时,无意义,所以分式方程,不允许未知数取那些使分母的值为零的值,即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后,这种限制取消了,换言之,方程中未知数的值范围扩大了,如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值,那么就会出现增根。 (1)分式方程(2)无理方程 (3)非函数方程 分式方程增根介绍 在分式方程化为整式方程的过程中,假设整式方程的根使最简公分母为0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母为0)那么这个根叫做原分式方程的增根 例：x/(x-2)-2/(x-2)=0 解：去分母,x-2=0 x=2 但是X=2使X-2和X^2-4等于0,所以X=2是增根 分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0,那么此解是分式方程的解,假设最简公分母的值为0,那么此解是增根。 例如:设方程A(x)=0是(x)=0的根,称x=a是方程的增根;如果x=b是方程B(x)=0的根但不是A(x)=0的根,称x=b是方程B(x)=0的失根. 非函数方程增根介绍 在两非函数方程(如圆锥曲线)联立求解的过程中,增根的出现主要表现在定义域的变化上。 例如：假设椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0),O为原点坐标,A为椭圆右顶点,假设椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,求椭圆的圆心率的范围。 存在一种解法： 椭圆上存在一点P,使OP⊥PA,即是以OA为直径画圆,要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程： (x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1 (x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0 →b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0(*) 因为有两个根,所以△>0 ∴△=(2b^2-a^2)>0 ∴e≠(1/2)^(1/2)(二分之根号二) 而正解却是 由(*)得x1=ax2=a·b^2/c^2 ∴0 ∴(1/2)^(1/2) 然而问题出在,无论怎么取,只要e≠(1/2)^(1/2),好似△永远都>0 于是我们取e=1/2 假设a^2=4b^2=3c^2=1 即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···① 与圆x^2+y^2-2x=0···② 联立即可得x^2-8x+12=0···(*) 有十字相乘x1=2x2=6 显然此时x2=6是增根 将x2=6带入①式y^2=-24 将x2=6带入②式y^2=-24 将x2=6带入(*)式y^2=2x-x^2=-24 可知这里的确实确是产生了一个增根,而且在解题过程中不能通过任何方式排除,这说明多个非函数方程联立求解时,方程本身无法限制x的取值。一般来说,直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解,还需要带回去验根的情况,大概是因为圆锥曲线不是函数,而直线是函数的原因。 不过值得注意的是： ①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数,但求两个圆的交点,不会产生曾根。 ②增根的产生和定义域有关系,但没有绝对的关系。不能说联立方程时,将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中,①式定义域(-2,2)②式定义域(0,2)大多数人是在②式中,用x表示y,写成y=ax-x^2,再带入①式,产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y,写成y^2=b^2(1-x^2/a^2),再带入②式,我们依然会得到增根。 下面列出两种必然会出现增根的一般式： ①椭圆与抛物线 椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得 b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0 由韦达定理得x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0且x1+x2=-2a^2·p/b^2<0 可知,假设x1>0,那么x2<0,出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R。(另外我们还知道|x1|<|x2|) ②双曲线与抛物线 双曲线(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得 b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0 由韦达定理得x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0且x1+x2=2a^2·p/b^2>0 可知,假设x1>0,那么x2<0,出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R。(另外我们还知道|x1|>|x2|) 无理数方程增根介绍 √(2X^2-X-12)=X 解：两边平方得2X^2-X-12=X^2 得X^2-X-12=0 得X=4或X=-3(增根) 出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心,错误还会在无理不等式中表达 如何求增根 解分式方程时什么根,往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。 1.如果不遵从同解原理,即使解整式方程也可能出现增根.例如将方程x-2=0的两边都乘x,变形成x(x-2)=0,方程两边所乘的最简公分母,看其是否为0,是0即为增根。 还可以把x代入最简公分母也可。 增根是不可无视性 许多人解方程时,得到了增根,比方说能量是负值,一般的人都会将这个无视掉,但这些值是挺令人寻味的。著名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学寻找粒子的能量时,他发现某个粒子的能量和其动量紧密相关,即E2=p2+m2(p为动量,m为粒子的质量),解得E=&plus