绝对误差相对误差课件

绝对误差相对误差绝对误差相对误差不同的置信区间有不同的置信概率置信区间的表示或其它误差形式表达平均值的标准偏差平均值的算术平均偏差可以用不同的置信区间有不同的置信概率置信区间的表示或其它误差形式误差标准误差算术平均误差都称为绝对误差都称为绝对偏差残差标准偏差算术平均偏差平均值的标准差平均值的算术平均偏差由于真值不可知，因此应用中常把偏差说成是误差误差都称为都称为残差由于真值不可知，因此应用中常把偏差说成是则是相对误差绝对误差与真值的比值相对偏差绝对偏差与近真值的比值是以直观报道测量精度常用百分数表示常把相对偏差说成相对误差则是相对误差绝对误差与真值的比值相对偏差绝对偏差与近真值的比相对误差能直观报道测量精度举例某一物理量的一组测量结果的绝对误差是0.05mΔx1=0.05mΔx2=1m测篮球直径测地球直径另一物理量的一组测量结果的绝对误差是1m但不一定是后者的测量精度低这要看相对误差情况因此,相对误差也是测量结果所要报道的一个内容相对误差能直观报道测量精度举例某一物理量的一组测量Δx1=0指测量不计系统误差并且测量数据的误差分布符合统计规律我们只要求掌握高斯分布近真值绝对误差相对误差置信概率测量次数因此报道测量的统计结果必须包含的相关信息是指测量不计系统误差我们只要求掌握高斯分布近真值因此报道测量的测量的统计结果具体表达形式为公认值

or采用不同的绝对偏差报道形式测量的统计结果表示的方法不一样测量的统计结果具体表达形式为公认值or采用不同的绝对偏差1.用测量列平均值的标准偏差作为绝对误差报道测量结果的表达形式意义真值落在

到的概率为68.3％

注这种结果表达形式最通用置信概率P＝0.683可以省略即结果表式中没注明置信概率,则绝对误差是用平均值的标准差表示的其中1.用测量列平均值的标准偏差作为绝对误差报道测量结果的表达2.用测量列平均值的算术平均偏差作为绝对误差报道测量结果的表达形式其中意义真值落在到的概率为57.5％从置信概率P＝0.575可知,绝对误差是用平均值的算术平均偏差表示的注2.用测量列平均值的算术平均偏差其中意义真值落在3.用测量列的标准偏差

作为绝对误差报道测量结果的表达形式其中意义n次测量得到n个数据,有68.3％落在

到范围内有测量次数和置信概率P＝0.683，便知绝对误差是指测量列的标准偏差注3.用测量列的标准偏差其中意义n次测量得到n个数据,有64.用测量列的算术平均偏差作为绝对误差报道测量结果的表达形式意义其中n次测量得到n个数据,有57.5％落在

到范围内有测量次数和置信概率P＝0.575，便知绝对误差是指测量列的算术平均偏差注4.用测量列的算术平均偏差意义其中n次测量得到n个数据,比如

用极限误差表示置信区间除了以上四种表达测量结果的形式外还有其它多种则

置信概率就应该写为P＝0.997比如用极限误差表示置信区间除了以上四种表达测量结果的形式外以上多种结果表达形式本质上是一致的

不管用哪种形式报道测量的统计结果都是设想随机误差分布服从高斯分布因此目前第1种报道方式比较普及即

用平均值的标准偏差表示绝对误差置信区间这样，置信概率P=0.683可以省去较普及的报道方式举例以上多种结果表达形式本质上是一致的不管用哪种形式报道测量的测量长度L的原始数据如表0-2不计系统误差，对一物理量实现多次等精度测量，应用格罗布斯准则剔除粗差，并报道测量的(统计)结果结果表式举例测量长度L的原始数据如表0-2不计系统误差，对一物理量实现近真值标准偏差=…=98.328cm=…=0.227cm为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算和近真值标准偏差=…=98.328cm=…=0.22nnn

格罗布斯系数表

GnGnGn345678910111213141516171819202225301.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74n=10，Gn=2.18nnn格罗布斯系数表GnGnGn3近真值标准偏差98.328cm0.227cm为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算和n=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可见，第7次测量数据超出(97.833,98.823)cm范围应当剔除近真值标准偏差98.328cm0.227cm为了98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可见，第7次测量数据超出(97.833,98.823)cm范围应当剔除剔除粗差后,n＝9,再计算剔除粗差后,n＝9,重新计算98.257cm

＝0.029cm

近真值标准偏差＝0.010cm＝0.011％平均值的标准差相对误差98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.1剔除粗差后,n＝9,重新计算＝0.029cm

标准偏差＝0.011％相对误差＝0.010cm平均值的标准差98.257cm

近真值0.011％0.010cm98.257cm

因此该组测量的(统计)结果为

或省去置信概率

剔除粗差后,n＝9,重新计算＝0.029cm标准偏§7单次直接测量的误差估算某些物理量的测定往往不可能重复进行如测定某物在某时某地的速度对某物理量测一次就够了

另一些实验中精度要求不高单次测量的误差主要取决于●仪器的误差●实验者感官分辨能力●观察时的具体条件等因此单次测量的误差主要用仪器误差等来表达§7单次直接测量的误差估算某些物理量的测定如测定某物在某仪器误差可由说明书或相关资料查到因此可用仪器最小刻度表示仪器精度

●查说明书或相关资料由仪器的精度决定●一般可用最小刻度表示仪器精度如果没有说明书或相关资料由于仪器精度通常与最小刻度是一致的视仪器刻度情况及个人分辨能力而定单次测量的绝对偏差●常取仪器最小刻度值的1/2～1/10●无法估读的仪器取最小刻度作为绝对偏差●在结果表达式中要注明绝对误差取的是什么仪器误差可由说明书或相关资料查到因此可用仪器最小刻度表示用米尺测直径,单次,观察值30.02cm测量结果可写成举例Δd取最小刻度的1/2用米尺测直径,单次,观察值30.02cm举例Δd取最小用精度为0.02mm的游标卡尺测长度，单次，观察读数为34.58mm，则结果可写成：ΔＬ取卡尺的最小刻度用精度为0.02mm的游标卡尺测长度，ΔＬ取卡尺的单次测量值误差大小主要来自于测量仪器的精度这种误差不服从高斯分布

注意●单次测量的误差不服从高斯分布为与随机误差的绝对误差Δx区分●用Δ仪或Δ(仪器)或Δ表示仪器误差●仪器误差也称为仪器的允许误差

或示值误差

比如游标卡尺取最小刻度0.02mm表示仪器误差,则其绝对误差可写为(仪器)or单次测量值误差大小注意●单次测量的误差不服从高斯分布为与随待测量

N是直接测量量

A,B,C…的函数可测出A,B,C…然后求出待测量N

§8间接测量的误差估算会传递给间接测量值

各直接测量值存在测量误差间接测量的结果也应表达为间接测量值的误差估算，就是要求出上式中的绝对误差ΔN待测量N是直接测量量A,B,C…的函数§8间间接测量值误差的两种估算方法也称为误差的传递公式●误差的一般传递公式●标准误差的传递公式间接测量值误差的两种估算方法也称为误差的传递公式●误差的一一.误差的一般传递公式误差的传递公式求全微分设各直接测量值的绝对误差分别为用代替则间接测量值N的绝对误差为为直接测量量的分误差右端各项最不利情况考虑，认为分误差将累加这会导致间接测量值的误差偏大但不降低其置信概率

近真值通常取相对误差绝对误差一.误差的一般传递公式误差的传递公式求全微分设各直接测记录误差的传递公式则如一误差的传递公式记录误差的传递公式则如一误差的传递公式误差传递公式的两个推论记录1.和与差的绝对偏差等于各直接测量量的绝对偏差之和即：如果

则

2.积与商的相对偏差等于各直接测量量的相对偏差之和即：如果

则

误差传递公式的两个推论误差传递公式的两个推论记录1.和与差的绝对偏差等于即：先算相对偏差，后算绝对偏差误差传递公式的应用技巧当被测量为几个直接测量量的先算绝对偏差，后算相对偏差●和或差●乘或除误差传递公式的应用技巧先算相对偏差，后算绝对偏差误差传递公式的应用技巧当被测量为误差传递公式的应用举例因尺子不够长,分两段测一长度测得的结果分别为求被测长度故误差传递公式的应用举例误差传递公式的应用举例因尺子不够长,分两段测一长度求被测长用天平称得质量为求固体密度

=?用量筒测得体积为用天平称得质量为求固体密度=?用量筒测得体积为直接测量量求间接测量量的令则直接测量量求间接测量量的令则二标准误差的传递公式二.标准误差的传递公式称为标准误差的传递公式或称为误差的方和根合成

如果则证明二标准误差的传递公式二.标准误差的传递公式称为标准误差的设在实验中对各直接测量量作了n次测量则可算出n个N值。每次测量,N的误差为

两边平方22证明设在实验中对各直接测量量作了n次测量两边平方22证明22将n次测量的相加22将n次测量的相加++…++…由于A,B,C…都是独立变量因此dA,dB,dC…可正可负依据随机误差的公理大小相等负号相反的误差出现的机会相等

因此上式交叉乘积项的和将等于零=0因此两边微分号换为误差(残差)符号即dxi换成两边除以n(n-1)，再开方++…++…由于A,B,C…都是独立变量依据随机误此式即为标准误差的传递公式或称为误差的方和根合成

此式即为标准误差的传递公式标准误差传递公式的两个推论记录标准误差传递公式的两个推论1.和与差的绝对偏差等于各直接测量量绝对偏差的方和根2.积与商的相对偏差等于各直接测量量相对偏差的方和根

标准误差传递公式的两个推论记录标准误差传递公式的两个推论1.特别注意方和根之前需先对同项合并如果把写成则从第二条推论的字面上理解2.积与商的相对偏差等于各直接测量量相对偏差的方和根

相对偏差的结果似乎应该为但这是错误的结果在方和根的方之前,需先对同项合并各直接测量量的相对偏差有三项同项合并，则变为两项同项合并后才可进行方和根特别注意方和根之前需先对同项合并如果把写成则从第二条推论的字特别注意方和根之前需先对同项合并又比如可写成各直接测量量的绝对偏差为四项合并同项后变为两项同项合并后才可进行方和根特别注意方和根之前需先对同项合并又比如可写成各直接测量量的标准误差传递公式的应用技巧标准误差传递公式的应用技巧先算相对偏差，后算绝对偏差当被测量为几个直接测量量的先算绝对偏差，后算相对偏差●和或差●乘或除与误差传递公式的应用技巧一致标准误差传递公式的应用技巧标准误差传递公式的应用技巧先算相对前面给出了平均值的标准偏差关系式——(0-15)式

平均值的标准偏差关系式的证明现在用标准误差的传递公式证明之证明关系式等精度测量列的平均值由标准误差传递公式可得,恒有为各个xi的函数前面给出了平均值的标准偏差平均值的标准偏差关系式的证明现在用一个测量列中,单次观测值xi的平均值就是其本身就是测量列的标准偏差即因此因此单次观测值xi的平均值的标准偏差证毕一个测量列中,单次观测值就是测量列的标准偏差即因此因此三.误差估算的目的及其对实验的指导意义三.误差估算的目的及其对实验的指导意义估算误差通常可以解决两方面问题●判断实验结果的可靠程度●合理选择仪器、确定实验方案举例三.误差估算的目的三.误差估算的目的及其对实验的指导意义举例单摆法测重力加速度要求测量精度达到0.4%试应用间接测量误差传递公式合理选择测量仪器和测量方法举例单摆法测重力加速度要求测量精度达到0.4%试应用间接测量误差传递公式●误差均分原则(等精度原则)右两项应当具有同样的准确度即各直接测量的物理量的测量精度应该相等的原则,称为误差均分原则,也称为等精度原则<0.2%根据要求,可知误差传递公式●误差均分原则(等精度原则)右两项应当具有同样的<0.2%根据要求,可知当摆长l在60～100cm以内时用米尺测l即可达到Δl<0.1cm从而使El<0.2%<0.2%根据要求,可知●摆长的测量方法选用米尺，摆长取60cm以上●周期的测量方法◆若用最小刻度为0.1s的机械秒表测秒表一次测量的误差约为0.2s计时开始到停止计时是一次时间测量开始揿表和停止计时揿表的误差各为0.1s

摆长在1m附近时周期约2s则远远不能满足要求解决的办法测量多个周期的时间求周期例：测100个周期时间◆若用精度为0.001s的数字毫秒计测测一个周期即可<0.2%根据要求,§8有效数字及其运算§8有效数字及其运算一.有效数字的概念下列数字是几位有效数字？0.0011.00011.0000.00101.1111.0010.111能够正确而有效地表示测量和实验结果的数字，叫做有效数字通常由准确数字和一位欠准数字构成§8有效数字及其运算§8有效数字及其运算一.有效因此，这个数字47.3是有效的测读数据为47.3mm例3是估读的是欠准的但毕竟有一定的参考意义比之不估读要更接近实际情况因此，这个数字47.3是有效的测读数据为47.3mm例3二.测量和数据处理中有效数字处理的基本原则处理有效数字的原则有效数字的位数反映了测量中仪器的精度情况1.有效数字的位数不能任意增减有效数字的位数是不能任意增减因此例

6.36m≠6360mm应写成标准式6.36m=6.36×103mm测同一长度，量具不同会得到不同结果米尺

L=(7.32±0.02)cm4位有效数字游标尺

L=(7.310±0.006)cm3位有效数字千分尺

L=(7.3102±0.0002)cm5位有效数字可见有效数字反映了仪器的精密程度二.测量和数据处理中处理有效数字的原则有效数字的位数反映了2.有效数字和小数点的位置无关最左数字前的零不是有效数字数字写成标准式，有效数字位数不变4.18cm=0.0418m=41.8mm300800g=3.00800×102kg都是3位有效数字都是6位有效数字2.有效数字和小数点的位置无关最左数字前的零不是有效数字4一般情况下有效数字中保存一位欠准数字若干个有效数字进行运算后不因运算而增加结果的准确度但又不损害测量的精密度总则3.有效数字的运算规则一般情况下有效数字中若干个有效数字进行运算后总3.有效数字(1)四舍五入法则3.有效数字的运算规则舍去多余的欠准数字时大于5进小于5舍等于5使前位成偶数记成—四舍六入五配偶(1)四舍五入法则3.有效数字的运算规则舍去多余的欠(2)加减运算结果以参与运算的有效数字小数点后位数最少的为标准多余的四舍五入例11.111+1.1欠准数欠准数与准确数相加后的数字为欠准数字11.111+1.10011221.=12.211=12.2又如(2)加减运算结果以参与运算的有效数字例11.111+1(3)误差的有效数字一般取一位由于误差本身是可疑的数字所以表示误差一般取一位在误差中，对有效数字的取舍采用进位法，而不用四舍五入法因为误差是作最坏估计，最多取二位0.0044=0.004=0.005四舍五入进位法多余的采用进位法进位引起的附加误差在整个误差中占的百分比过大时应多保留一位有效数字即误差至多取两位有效数字=0.2差不多误差扩大了一倍进位法取一位0.1112宜多取一位：0.1112=0.12(3)误差的有效数字一般取一位由于误差本身是可疑的数字在2.3412.1×43212846+(4)乘除运算16149.=4.9161=4.9可见积或商的有效位数，一般应与参与运算的数中有效位数最少的一个相同多余的四舍五入2.3412.1×43212846+(4)乘除运(5)常数与有效数字运算由参与运算的有效数字位数定结果位数常数有效数字3.145×36结果不能只取2位有效数字!如常数为无限数则的位数应比参与运算的有效数字多取一位,结果以测量量的有效位数而定(5)常数与有效数字运算由参与运算的有效数字位数定结果位(6)测量结果的表达形式与的小数点位数应对齐

的位数由决定通常取一位，最多可取2位例如，测得近真值测量误差计算值则说明后三位已是欠准数字所以结果形式应改成或(6)测量结果的表达形式与的小数点位数应对齐的位数(8)函数运算②由绝对误差决定测量数据的位数●函数运算有效数字取位的一般方法①求出绝对误差用间接测量误差传递公式求从举例中体会●函数运算有效数字取位的简单近似法通常取一位,最多取二位(7)相对误差(8)函数运算②由绝对误差决定测量数据的位数●函数运算例：测量值1270的对数lg1270应该取几位有效数字？lg1270lg1271在小数点后第三位出现差别=3.103803721=3.104145551分别计算因此取小数点后三位=3.104

也可多保留一位lg1270=3.1038

例：测量值1270的对数lg1270lg1270lg1271例：取几位有效数字？分别计算＝4.402272141

＝4.403407771

＝4.402取小数点后三位也可多保留一位＝4.4023例：取几位有效数字？分别计算＝4.40227214例：取几位有效数字？=0.872922077=0.873063953=0.873=0.8729例：取几位有效数字？=0.872922077=绝对误差相对误差绝对误差相对误差不同的置信区间有不同的置信概率置信区间的表示或其它误差形式表达平均值的标准偏差平均值的算术平均偏差可以用不同的置信区间有不同的置信概率置信区间的表示或其它误差形式误差标准误差算术平均误差都称为绝对误差都称为绝对偏差残差标准偏差算术平均偏差平均值的标准差平均值的算术平均偏差由于真值不可知，因此应用中常把偏差说成是误差误差都称为都称为残差由于真值不可知，因此应用中常把偏差说成是则是相对误差绝对误差与真值的比值相对偏差绝对偏差与近真值的比值是以直观报道测量精度常用百分数表示常把相对偏差说成相对误差则是相对误差绝对误差与真值的比值相对偏差绝对偏差与近真值的比相对误差能直观报道测量精度举例某一物理量的一组测量结果的绝对误差是0.05mΔx1=0.05mΔx2=1m测篮球直径测地球直径另一物理量的一组测量结果的绝对误差是1m但不一定是后者的测量精度低这要看相对误差情况因此,相对误差也是测量结果所要报道的一个内容相对误差能直观报道测量精度举例某一物理量的一组测量Δx1=0指测量不计系统误差并且测量数据的误差分布符合统计规律我们只要求掌握高斯分布近真值绝对误差相对误差置信概率测量次数因此报道测量的统计结果必须包含的相关信息是指测量不计系统误差我们只要求掌握高斯分布近真值因此报道测量的测量的统计结果具体表达形式为公认值

or采用不同的绝对偏差报道形式测量的统计结果表示的方法不一样测量的统计结果具体表达形式为公认值or采用不同的绝对偏差1.用测量列平均值的标准偏差作为绝对误差报道测量结果的表达形式意义真值落在

到的概率为68.3％

注这种结果表达形式最通用置信概率P＝0.683可以省略即结果表式中没注明置信概率,则绝对误差是用平均值的标准差表示的其中1.用测量列平均值的标准偏差作为绝对误差报道测量结果的表达2.用测量列平均值的算术平均偏差作为绝对误差报道测量结果的表达形式其中意义真值落在到的概率为57.5％从置信概率P＝0.575可知,绝对误差是用平均值的算术平均偏差表示的注2.用测量列平均值的算术平均偏差其中意义真值落在3.用测量列的标准偏差

作为绝对误差报道测量结果的表达形式其中意义n次测量得到n个数据,有68.3％落在

到范围内有测量次数和置信概率P＝0.683，便知绝对误差是指测量列的标准偏差注3.用测量列的标准偏差其中意义n次测量得到n个数据,有64.用测量列的算术平均偏差作为绝对误差报道测量结果的表达形式意义其中n次测量得到n个数据,有57.5％落在

到范围内有测量次数和置信概率P＝0.575，便知绝对误差是指测量列的算术平均偏差注4.用测量列的算术平均偏差意义其中n次测量得到n个数据,比如

用极限误差表示置信区间除了以上四种表达测量结果的形式外还有其它多种则

置信概率就应该写为P＝0.997比如用极限误差表示置信区间除了以上四种表达测量结果的形式外以上多种结果表达形式本质上是一致的

不管用哪种形式报道测量的统计结果都是设想随机误差分布服从高斯分布因此目前第1种报道方式比较普及即

用平均值的标准偏差表示绝对误差置信区间这样，置信概率P=0.683可以省去较普及的报道方式举例以上多种结果表达形式本质上是一致的不管用哪种形式报道测量的测量长度L的原始数据如表0-2不计系统误差，对一物理量实现多次等精度测量，应用格罗布斯准则剔除粗差，并报道测量的(统计)结果结果表式举例测量长度L的原始数据如表0-2不计系统误差，对一物理量实现近真值标准偏差=…=98.328cm=…=0.227cm为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算和近真值标准偏差=…=98.328cm=…=0.22nnn

格罗布斯系数表

GnGnGn345678910111213141516171819202225301.151.461.671.821.942.032.112.182.232.282.332.372.412.442.482.502.532.562.602.662.74n=10，Gn=2.18nnn格罗布斯系数表GnGnGn3近真值标准偏差98.328cm0.227cm为了应用格罗布斯准则剔除粗差需计算和n=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可见，第7次测量数据超出(97.833,98.823)cm范围应当剔除近真值标准偏差98.328cm0.227cm为了98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.18

=97.833cm

=98.823cm

可见，第7次测量数据超出(97.833,98.823)cm范围应当剔除剔除粗差后,n＝9,再计算剔除粗差后,n＝9,重新计算98.257cm

＝0.029cm

近真值标准偏差＝0.010cm＝0.011％平均值的标准差相对误差98.328cm0.227cmn=10，Gn=2.1剔除粗差后,n＝9,重新计算＝0.029cm

标准偏差＝0.011％相对误差＝0.010cm平均值的标准差98.257cm

近真值0.011％0.010cm98.257cm

因此该组测量的(统计)结果为

或省去置信概率

剔除粗差后,n＝9,重新计算＝0.029cm标准偏§7单次直接测量的误差估算某些物理量的测定往往不可能重复进行如测定某物在某时某地的速度对某物理量测一次就够了

另一些实验中精度要求不高单次测量的误差主要取决于●仪器的误差●实验者感官分辨能力●观察时的具体条件等因此单次测量的误差主要用仪器误差等来表达§7单次直接测量的误差估算某些物理量的测定如测定某物在某仪器误差可由说明书或相关资料查到因此可用仪器最小刻度表示仪器精度

●查说明书或相关资料由仪器的精度决定●一般可用最小刻度表示仪器精度如果没有说明书或相关资料由于仪器精度通常与最小刻度是一致的视仪器刻度情况及个人分辨能力而定单次测量的绝对偏差●常取仪器最小刻度值的1/2～1/10●无法估读的仪器取最小刻度作为绝对偏差●在结果表达式中要注明绝对误差取的是什么仪器误差可由说明书或相关资料查到因此可用仪器最小刻度表示用米尺测直径,单次,观察值30.02cm测量结果可写成举例Δd取最小刻度的1/2用米尺测直径,单次,观察值30.02cm举例Δd取最小用精度为0.02mm的游标卡尺测长度，单次，观察读数为34.58mm，则结果可写成：ΔＬ取卡尺的最小刻度用精度为0.02mm的游标卡尺测长度，ΔＬ取卡尺的单次测量值误差大小主要来自于测量仪器的精度这种误差不服从高斯分布

注意●单次测量的误差不服从高斯分布为与随机误差的绝对误差Δx区分●用Δ仪或Δ(仪器)或Δ表示仪器误差●仪器误差也称为仪器的允许误差

或示值误差

比如游标卡尺取最小刻度0.02mm表示仪器误差,则其绝对误差可写为(仪器)or单次测量值误差大小注意●单次测量的误差不服从高斯分布为与随待测量

N是直接测量量

A,B,C…的函数可测出A,B,C…然后求出待测量N

§8间接测量的误差估算会传递给间接测量值

各直接测量值存在测量误差间接测量的结果也应表达为间接测量值的误差估算，就是要求出上式中的绝对误差ΔN待测量N是直接测量量A,B,C…的函数§8间间接测量值误差的两种估算方法也称为误差的传递公式●误差的一般传递公式●标准误差的传递公式间接测量值误差的两种估算方法也称为误差的传递公式●误差的一一.误差的一般传递公式误差的传递公式求全微分设各直接测量值的绝对误差分别为用代替则间接测量值N的绝对误差为为直接测量量的分误差右端各项最不利情况考虑，认为分误差将累加这会导致间接测量值的误差偏大但不降低其置信概率

近真值通常取相对误差绝对误差一.误差的一般传递公式误差的传递公式求全微分设各直接测记录误差的传递公式则如一误差的传递公式记录误差的传递公式则如一误差的传递公式误差传递公式的两个推论记录1.和与差的绝对偏差等于各直接测量量的绝对偏差之和即：如果

则

2.积与商的相对偏差等于各直接测量量的相对偏差之和即：如果

则

误差传递公式的两个推论误差传递公式的两个推论记录1.和与差的绝对偏差等于即：先算相对偏差，后算绝对偏差误差传递公式的应用技巧当被测量为几个直接测量量的先算绝对偏差，后算相对偏差●和或差●乘或除误差传递公式的应用技巧先算相对偏差，后算绝对偏差误差传递公式的应用技巧当被测量为误差传递公式的应用举例因尺子不够长,分两段测一长度测得的结果分别为求被测长度故误差传递公式的应用举例误差传递公式的应用举例因尺子不够长,分两段测一长度求被测长用天平称得质量为求固体密度

=?用量筒测得体积为用天平称得质量为求固体密度=?用量筒测得体积为直接测量量求间接测量量的令则直接测量量求间接测量量的令则二标准误差的传递公式二.标准误差的传递公式称为标准误差的传递公式或称为误差的方和根合成

如果则证明二标准误差的传递公式二.标准误差的传递公式称为标准误差的设在实验中对各直接测量量作了n次测量则可算出n个N值。每次测量,N的误差为

两边平方22证明设在实验中对各直接测量量作了n次测量两边平方22证明22将n次测量的相加22将n次测量的相加++…++…由于A,B,C…都是独立变量因此dA,dB,dC…可正可负依据随机误差的公理大小相等负号相反的误差出现的机会相等

因此上式交叉乘积项的和将等于零=0因此两边微分号换为误差(残差)符号即dxi换成两边除以n(n-1)，再开方++…++…由于A,B,C…都是独立变量依据随机误此式即为标准误差的传递公式或称为误差的方和根合成

此式即为标准误差的传递公式标准误差传递公式的两个推论记录标准误差传递公式的两个推论1.和与差的绝对偏差等于各直接测量量绝对偏差的方和根2.积与商的相对偏差等于各直接测量量相对偏差的方和根

标准误差传递公式的两个推论记录标准误差传递公式的两个推论1.特别注意方和根之前需先对同项合并如果把写成则从第二条推论的字面上理解2.积与商的相对偏差等于各直接测量量相对偏差的方和根

相对偏差的结果似乎应该为但这是错误的结果在方和根的方之前,需先对同项合并各直接测量量的相对偏差有三项同项合并，则变为两项同项合并后才可进行方和根特别注意方和根之前需先对同项合并如果把写成则从第二条推论的字特别注意方和根之前需先对同项合并又比如可写成各直接测量量的绝对偏差为四项合并同项后变为两项同项合并后才可进行方和根特别注意方和根之前需先对同项合并又比如可写成各直接测量量的标准误差传递公式的应用技巧标准误差传递公式的应用技巧先算相对偏差，后算绝对偏差当被测量为几个直接测量量的先算绝对偏差，后算相对偏差●和或差●乘或除与误差传递公式的应用技巧一致标准误差传递公式的应用技巧标准误差传递公式的应用技巧先算相对前面给出了平均值的标准偏差关系式——(0-15)式

平均值的标准偏差关系式的证明现在用标准误差的传递公式证明之证明关系式等精度测量列的平均值由标准误差传递公式可得,恒有为各个xi的函数前面给出了平均值的标准偏差平均值的标准偏差关系式的证明现在用一个测量列中,单次观测值xi的平均值就是其本身就是测量列的标准偏差即因此因此单次观测值xi的平均值的标准偏差证毕一个测量列中,单次观测值就是测量列的标准偏差即因此因此三.误差估算的目的及其对实验的指导意义三.误差估算的目的及其对实验的指导意义估算误差通常可以解决两方面问题●判断实验结果的可靠程度●合理选择仪器、确定实验方案举例三.误差估算的目的三.误差估算的目的及其对实验的指导意义举例单摆法测重力加速度要求测量精度达到0.4%试应用间接测量误差传递公式合理选择测量仪器和测量方法举例单摆法测重力加速度要求测量精度达到0.4%试应用间接测量误差传递公式●误差均分原则(等精度原则)右两项应当具有同样的准确度即各直接测量的物理量的测量精度应该相等的原则,称为误差均分原则,也称为等精度原则<0.2%根据要求,可知误差传递公式●误差均分原则(等精度原则)右两项应当具有同样的<0.2%根据要求,可知当摆长l在60～100cm以内时用米尺测l即可达到Δl<0.1cm从而使El<0.2%<0.2%根据要求,可知●摆长的测量方法选用米尺，摆长取60cm以上●周期的测量方法◆若用最小刻度为0.1s的机械秒表测秒表一次测量的误差约为0.2s计时开始到停止计时是一次时间测量开始揿表和停止计时揿表的误差各为0.1s

摆长在1m附近时周期约2s则远远不能满足要求解决的办法测量多个周期的时间求周期例：测100个周期时间◆若用精度为0.001s的数字毫秒计测测一个周期即可<0.2%根据要求,§8有效数字及其运算§8有效数字及其运算一.有效数字的概念下列数字是几位有效数字？0.0011.00011.0000.00101.1111.0010.111能够正确而有效地表示测量和实验结果的数字，叫做有效数字通常由准确数字和一位欠准数字构成§8有效数字及其运算§8有效数字及其运算一.有效因此，这个数字47.3是有效的测读数据为47.3mm例3是估读的是欠准的但毕竟有一定的参考意义比之不估读要更接近实际情况因此，这个数字47.3是有效的测读数据为47.3mm例3二.测量和数据处理中有效数字处理的基本原则处理有效数字的原则有效数字的位数反映了测量中仪器的精度情况1.有效数字的位数不能任意增减有效数字的位数是不能任意增减因此例

6.36m≠6360mm应写成标准式6.36m=6.36×103mm测同一长度，量具不同会得到不同结果米尺

L=(7.32±0.02)cm4位有效数字游标尺

L=(7.310±0.006)cm3位有效数字千分尺

L=(7.3102±0.0002)cm5位有效数字可见有效数字反映了仪器的精密程度二.测量和