模型实例饮酒驾车malab

模型实例二、微分方程模型三、微分方程案例分析一、微分方程建模简介四、微分方程的MATLAB求解五、微分方程综合案例分析微分方程是研究变化规律的有力工具，在科技、工程、经济管理、生态、环境、人口和交通各个领域中有广泛的应用。不少实际问题当我们采用微观眼光观察时都遵循着下面的模式：净变化率＝输入率－输出率（守恒原理）一、微分方程模型简介引例一在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC，当时环境的温度是21oC。1h后尸体温度下降到27oC，若人体的正常温度是37oC，估计死者的死亡时间。解：设T(t)为死者在被杀害后t时刻尸体的温度；k为比例系数。由牛顿冷却定律，得则通解为由已知，由因此死者大约是在前一天的夜晚10:35被害的。可得微分方程的特解：，代入解得图1尸体的温度下降曲线建立微分方程的常用方法1、按变化规律直接列方程，如：利用人们熟悉的力学、数学、物理、化学等学科中的规律，如牛顿第二定律，放射性物质的放射规律等。对某些实际问题直接列出微分方程．2、利用微元分析方法建模根据已知的规律或定理，通过寻求微元之间的关系式得出微分方程。3、模拟近似法，如：在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚，而且现象也相当复杂，因而需根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设，在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法得出微分方程。微分方程的建模步骤1、翻译或转化：在实际问题中许多表示导数的常用词，如“速率”、‘增长”(在生物学以及人口问题研究中)，“衰变”(在放射性问题中)，以及“边际的”(在经济学中)等．2、建立瞬时表达式：根据自变量有微小改变△t时，因变量的增量△W，建立起在时段△t上的增量表达式，令△t→0，即得到的表达式．二、微分方程模型3、配备物理单位：在建模中应注意每一项采用同样的物理单位．4、确定条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息，它们独立于微分方程而成立，用以确定有关的常数。为了完整充分地给出问题的数学陈述，应将这些给定的条件和微分方程一起列出。求微分方程（组）解析解的命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…,‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)结果：u=tan(t-c)三、微分方程的MATLAB求解解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')结果为:y=3e-2xsin（5x）解输入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；x=simple(x)%将x化简y=simple(y)z=simple(z)结果为：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t

z=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

案例1：以以为女女士每每天摄摄入2500cal食物物，1200cal用于于基本本新陈陈代谢谢(即即自动动消耗耗)，，并以以每千千克体体重消消耗16cal用于于日常常锻炼炼，其其他的的热量量转变变为身身体的的脂肪肪（设设10000cal可转转换成成1kg脂脂肪））。星星期天天晚上上，该该女士士的体体重是是57.1526kg，，星期期四那那天她她饱餐餐了一一顿，，共摄摄入了了3500cal的的食物物，要要求建建立一一个通通过时时间预预测体体重函函数W(t)的的数学学模型型，并并用它它估计计：（1））星期期六该该女士士的体体重？？（2））为了了不增增重，，每天天她最最多的的摄入入量是是多少少？（3））若不不进食食，N周后她她的体体重是是多少少？四、微微分方方程案案例分分析解1、翻翻译或或转化化：2、配配备物物理单单位：：3、建建立表表达式式：4、确确定条条件：：1、““每天天”：：体重重的变变化＝＝输入入一输输出其中输输入指指扣除除了基基本新新陈代代谢之之后的的净重重量吸收；；输出出是进进行健健身训训练时时的消消耗．．2、上上述陈陈述更更好的的表示示结构构式：：取天为为计时时单位位，记记W(t)为t天时时体重重(kg)，则则：每天的的净吸吸收量量＝2500––1200＝＝1300（cal)每天的的净输输出量量＝16(cal)×W＝16W(cal)转换成成脂肪肪量＝＝1300–16W（cal）3、体重的的变化／天天＝(千克／／天)1、翻译或或转化：2、配备物物理单位：：3、建立表表达式：4、确定条条件：有些量是用用能量(cal)的的形式给出出的，而另另外一些量是用用重量的形形式(cal)给出出，考虑单单位的匹配，利利用单位匹配1、翻译或或转化：2、配备物物理单位：：3、建立表表达式：4、确定条条件：建立表达式式积分后可求求得其通解解为：（1）当时时，每天天体重的变变化：初始条件为为：，代入解出出则积分后可求求得其通解解为：（2）当时时，每天天体重的变变化：初始条件为为：，代入解出出则积分后可求求得其通解解为：（2）当时时，食物的的摄入量恢恢复正常初始条件为为：，代入解出出则最后得到不不同阶段的的微分方程程是：（1）代代入对应方方程，求得得现回答上述述问题（2）要满满足体重不不增，即所以因此每天总总卡路里摄摄取量是1200+914＝＝2114cal(cal)（3）由于于每天不摄摄取能量，，所以解得因此，n周后的体重重为案例2在在一个巴巴基斯坦洞洞穴里，发发现了具有有古代尼安安德特人特特征的人骨骨碎片，科科学家们把把它们带到到实验室，，作碳14年代测定定。分析表表明C14与C12的比例仅仅仅是活组织织内的6.24％，，此人生活活在多少年年前？（碳14年年代测定：：活体中的的碳有一小小部分是放放射性同位位素C14。这种放射射性碳是由由于宇宙射射线在高层层大气中的的撞击引起起的，经过过一系列交交换过程进进入活组织织中，直到到在生物体体中达到平平衡浓度。。这意味着着在活体中中，C14的数量与稳稳定的C12的数量成定定比。生物物体死亡后后，交换过过程就停止止了，放射射性碳便以以每年八千千分之一的的速度减少少）（1）问题题分析与模模型的建立立1、放射性性衰变的这这种性质还还可描述为为“放射性性物质在任任意时刻的的衰变速度度都与该物物质现存的的数量成比比例”。而而C14的比例数数为每年年八千分分之一。。2、碳14年代代测定可可计算出出生物体体的死亡亡时间；；所以，，我们问问题实际际上就是是：“这这人死去去多久了了？”若若设t为为死后年年数，y(t)为比例例数，则则y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，则上上文中最最后一句句话就给给出了我我们的微微分方程程，单位位为mgC14/mgC12/yr(与关键键词“速速率”相相当)（2）解解微分方程程的通解解为：由初始条条件，故有由问题，，当，代入原原方程案例3、、追线问问题我缉私舰舰雷达发发现，在在其正西西方距c海里处处有一艘艘走私船船正以匀匀速度a沿直线线向北行行驶，缉缉私舰立立即以最最大的速速度b追追赶，若若用雷达达进行跟跟踪，保保持船的的瞬时速速度方向向始终指指向走私私船，试试求缉私私舰追逐逐路线和和追上的的时间。。图2走走私船与与缉私舰舰的位置置关系(c,0)xD(x,y)走私船R(0,at)缉私艇O几何关系系如何消去去时间t?1、求导导：2、速度度与路程程的关系系：3、分解解得得：4、将第第2、3步代入入第1步步，可得得模型追线模型型：模型的解解：解的进一一步讨论论（1）若若a<b，从而而k<1，由积积分式得得当x=0时，即走私船船被缉私私舰捕捉捉前所花的时时间为所跑过的的距离为为（2）若若a=b，即k=1，，由积分分式得显然x不不能取零零值，即即缉私舰舰不可能能追上走走私船。。（3）若若a>b，即k>1，，显然缉缉私舰也也不可能能追上走走私船。。如图所示一个个容量为2000m3的小湖的示意意图，通过小小河A水以0.1m3/s的速度流流入，以相同同的流量湖水水通过B流出出。在上午11:05时时，因交通事事故一个盛有有毒性化学物物质的容器倾倾翻，图中X点处注入湖湖中。在采取取紧急措施后后，于11:35事故得得到控制，但但数量不详案例4湖湖泊污染问题题的化学物质Z已泻入湖中中，初步估计计Z的量在5~20m3之间。建立一一个模型，通通过它来估计计湖水污染程程度随时间的的变化并估计计：（1）湖水何何时到达污染染高峰；（2）何时污污染程度可降降至安全水平平(<0.05%)图3小湖示示意图湖泊污染问题题分析设湖水在t时时的污染程度度为C(t)，即每立方方米受污染的的水中含有Cm3的化学物质和和(1-C)m3的清洁水。用用分钟作为时时间t的单位位。在0<t<30的时时间内，污染染物流入湖中中小湖示意图的速率是Z/30(m3/min)，，而排出湖外外的污染物的的速率是60×0.1C(m3/min)，因为每立方方流走的水中中含有Cm3的污染物，而而湖水始终保保持2000m3的容积不变，，所以可列方方程：由初始条件：：，可得微分方方程的特解为为显然，t=30时，污染染达到高峰，，所以因污染源被截截断，故微分分方程变为它的特解为：湖水中含污染染物的瞬时变变化率=污染染物流入量－－污染物排出出量当达到安全水水平，即C(t)=0.0005时时，可求出此此时的t=T，即解得Z取不同值时时的浓度C(30)和时时间T51015200.002390.004780.007170.009565527389181014例：车间间空气的的清洁问题：已知一个个车间体体积为V立方米米，其中中有一台台机器每每分钟能能产生r立方米米的二氧氧化碳（（CO2），为清清洁车间间里的空空气，降降低空气气中的CO2含量，用用一台风风量为K立方米米/分钟钟的鼓风风机通入入含CO2为m%的的新鲜空空气来降降低车间间里的空空气的CO2含量。假假定通入入的新鲜鲜空气能能与原空空气迅速速地均匀匀混合，，并以相相同的风风量排出出车间。。又设鼓鼓风机开开始工作作时车间间空气中中含x0%的CO2.问经过过t时刻刻后，车车间空气气中含百百分之几几的CO2?最多能能把车间间空气中中CO2的百分比比降到多多少？设t时刻（单位为分钟）车间每立方米空气含CO2的百分比为x(t)%,考虑时间区间并利用质量守恒定律：内车间空气含CO2量的“增加”等于时间内进入的新鲜空气中含CO2的量加上机器产生的CO2的量减去排出空气中CO2的量。用数学公式表示出来就是分析和建建模于是，令得其中，解为这就是t时刻空空气中含含CO2的百分比比。通常否则含CO2的量只会增加。

令得这表明车间空气中含CO2的量最多只能降到讨论：如果设设V=10000立方方米，r=0.3立方方米/分分钟，K=1500立立方米/分钟，，m=0.04%，x0=0.12%。。试问：：（1）需需多少分分钟后，，车间空空气中含含CO2的百分比比低于0.08%?（2）车车间空气气中含CO2的百分比比最多只只能降到到多少？？思考题11950年在巴巴比伦发发掘出一一根刻有有Hammurabi(汉摸拉拉比)王王朝字样样的木炭炭，经测测定C14衰减数为为4.09个／每每克每分分钟，新新砍伐烧烧成的木木炭中C14衰减数数为为6.68个个／／每每克克每每分分钟钟，，已已知知C14的半半衰衰期期为为5568年年，，请请推推出出该该王王朝朝约约存存在在的的年年限限。。思考考题题2设某某城城市市共共有有n+1人人，，其其中中一一人人出出于于某某种种目目的编编造造了了一一个个谣谣言言。。该该城城市市具具有有初初中中以以上上文文化化程度度的的人人占占总总人人数数的的一一半半，，这这些些人人只只有有1/4相相信信这一一谣谣言言，，而而其其他他人人约约有有1/3会会相相信信。。又又设设凡凡相相信此谣言的的人每人在在单位时间间内传播的的平均人数正比于当当时尚未听听说此谣言言的人数，，而不相信此谣言言的人不不传播谣谣言。试试建立一一个反映映谣传情况的的微分方方程模型型。思考题3汽车停车车距离可可分为两两段：一一段为发发现情况况到开始制动动这段时时间里驶驶过的距距离DT，这段时时间为反反应时间；；另一段段则为制制动时间间驶过的的距离DR，现考核某司机机，考核核结果如如下：行驶速度度DTDR36公里里/小时时3米米4．．5米50公里里/小时时5米米12．5米米70公里里/小时时7米米24．5米米（1）作作出停车车距离D的经验验公式（2）设设制动力力正比于于车重，，建立理理论分析析模型并并求出D的公公式。微分方程程的数值值解（一）常常微分方方程数值值解的定定义在生产和和科研中中所处理理的微分分方程往往往很复复杂,且且大多得得不出一一般解．．而实际际中的对对初值问问题，一一般是要要求得到到解在若若干个点点上满足足规定精精确度的的近似值值，或者者得到一一个满足足精确度度要求的的便于计计算的表表达式．．因此，研研究常微微分方程程的数值值解法是是十分必必要的．．（二）用用MATLAB软件求求常微分分方程的的数值解解[t，x]=solver(’f’’,ts,x0,options)ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程写成的M文件名ts=[t0,tf]，t0、tf为自变量的初值和终值函数的初值ode23：组合的2/3阶龙格–库塔–费尔贝格算法ode45：运用组合的4/5阶龙格–库塔–费尔贝格算法自变量值函数值用于设定误差限(缺省时设定相对误差10-3,绝对误差10-6),命令为：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分别为设定的相对误差和绝对误差．1．在解解含n个个未知数数的方程程组时，，x0和x均为为n维向向量，M文件中中的待解解方程组组应以x的分量量形式写写出．2．使用用MATLAB软件件求求数数值值解解时时，，高高阶阶微微分分方方程程必必须须等等价价地地变变换换成成一一阶阶微微分分方方程程组组．．注意意:解:令y1=x，y2=y1’1．．建建立立M文文件件vdp1000．．m如如下下：：functiondy=vdp1000(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);2．．取取t0=0，tf=3000，输输入入命命令令：：[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3．．结结果果如如图图ToMATLAB（（ff4））解1．．建建立立M文文件件rigid．．m如如下下：：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0．．51*y(1)*y(2);2．．取t0=0，tf=12，输输入入命命令令：：[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3．．结结果果如如图图ToMATLAB（（ff5））图中中，，y1的图图形形为为实实线线，，y2的图图形形为为““*””线线，，y3的图图形形为为““+””线线．．返回回BYE!BYE何为为房房室室系系统统？？在用用微微分分方方程程研研究究实实际际问问题题时时，，人人们们常常常常采采用用一一种种叫叫““房房室室系系统统””的的观观点点来来考考察察问问题题。。根根据据研研究究对对象象的的特特征征或或研研究究的的不不同同精精度度要要求求，，我我们们把把研研究究对对象象看看成成一一个个整整体体（（单单房房室室系系统统））或或将将其其剖剖分分成成若若干干个个相相互互存存在在着着某某种种联联系系的的部部分分（（多多房房室室系系统统））。。房室具有有以下特特征：它它由考察察对象均均匀分布布而成，，（注：：考察对对象一般般并非均均匀分布布，这里里采用了了一种简简化方法法一集中中参数法法）；房房室中考考察对象象的数量量或浓度度（密度度）的变变化率与与外部环环境有关关，这种种关系被被称为““交换””且交换换满足着着总量守守衡。在在本节中中，我们们将用房房室系统统的方法法来研究究药物在在体内的的分布。。在下一一节中，，我们将将用多房房室系统统的方法法来研究究另一问问题。两两者都很很简单，，意图在在于介绍绍建模方方法。交换环境内部单房室系统均匀分布案例5药药物物在体内内的变化化（房室室模型））药物的分解与排泄（输出）速率通常被认为是与药物当前的浓度成正比的，即：药物分布布的单房房室模型型单房室模型是最简单的模型，它假设：体内药物在任一时刻都是均匀分布的，设t时刻体内药物的总量为x(t)；系统处于一种动态平衡中，即成立着关系式：药物的输输入规律律与给药药的方式式有关。。下面，，我们来来研究一一下在几几种常见见的给药药方式下下体内药药体的变变化规律律。机体环境药物总量图3-8

假设药物均匀分布情况1快快速静静脉注射射机体环境只输出不输入房室其解为：药物的浓度：

与放射性物质类似，医学上将血浆药物浓度衰减一半所需的时间称为药物的血浆半衰期：负增长率的Malthus模型在快速静脉注射时，总量为D的药物在瞬间被注入体内。设机体的体积为V，则我们可以近似地将系统看成初始总量为D，浓度为D/V，只输出不输入的房室，即系统可看成近似地满足微分方程：（3.12）

情况2恒恒速静静脉点滴滴机体环境恒定速率输入房室药物似恒速点滴方式进入体内，即:则体内药物总量满足：（x(0)=0）（3.13）这是一个一阶常系数线性方程，其解为：或易见：称为稳态血药浓度对于多次次点滴，，设点滴滴时间为为T1，两次点点滴之间间的间隔隔时间设设为T2，则在第第一次点点滴结束束时病人人体内的的药物浓浓度可由由上式得得出。其其后T2时间内为为情况1。故：：（第一次）0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

类似可讨讨论以后后各次点点滴时的的情况，，区别只只在初值值上的不不同。第第二次点点滴起，，患者体内的初始药药物浓度不为为零。情况3口服服药或肌注y(t)x(t)K1yK1x环境机体外部药物口服药或肌肉肉注射时，药药物的吸收方方式与点滴时时不同，药物物虽然瞬间进进入了体内，，但它一般都都集中与身体体的某一部位位，靠其表面面与肌体接触触而逐步被吸吸收。设药物物被吸收的速速率与存量药药物的数量成成正比，记比比例系数为K1，即若记t时刻残留药物物量为y(t)，则y满足：D为口服或肌注药物总量因而：所以：解得：从而药物浓度：在通常情况下，总有k1>k（药物未吸收完前，输入速率通常总大于分解与排泄速率），但也有例外的可能（与药物性质及机体对该药物的吸收、分解能力有关）。当k1>k时，体内药物量均很小，这种情况在医学上被称为触发翻转（flip-flop）。当k1=k时，对固定的t，令k→k1取极限（应用罗比达法则），可得出在这种情况下的血药浓度为：如下图给出了了上述三种情情况下体内血血药浓度的变变化曲线。容容易看出，快快速静脉注射射能使血药浓浓度立即达到到峰值，常用用于急救等紧紧急情况；口口服、肌注与与点滴也有一一定的差异，，主要表现在在血药浓度的的峰值出现在在不同的时刻刻，血药的有有效浓度保持持时间也不尽尽相同，（注注：为达到治治疗目的，血血药浓度应达达到某一有效效浓度，并使使之维持一特特定的时间长长度）。房室系统我们已求得三三种常见给药药方式下的血血药浓度C(t)，当然也容容易求得血药药浓度的峰值值及出现峰值值的时间，因因而，也不难难根据不同疾疾病的治疗要要求找出最佳佳治疗方案。。国家质量监督督检验检疫局局2004年年5月31日日发布了新的的《车辆驾驶驶人员血液、、呼气酒精含含量阈值与检检验》国家标标准，新标准准规定，车辆辆驾驶人员血血液中的酒精精含量大于或或等于20毫毫克／百毫升升，小于80毫克／百毫毫升为饮酒驾驾车（原标准准是小于100毫克／百百毫升），血血液中的酒精精含量大于或或等于80毫毫克／百毫升升为醉酒驾车车（原标准是是大于或等于于100毫克克／百毫升））。五、微分方程程综合案例分分析大李在中午12点喝了一一瓶啤酒，下下午6点检查查时符合新的的驾车标准，，紧接着他在在吃晚饭时又又喝了一瓶啤啤酒，为了保保险起见他呆呆到凌晨2点点才驾车回家家，又一次遭遭遇检查时却却被定为饮酒酒驾车，这让让他既懊恼又又困惑，为什什么喝同样多多的酒，两次次检查结果会会不一样呢？？请你参考下面面给出的数据据（或自己收收集资料）建建立饮酒后血血液中酒精含含量的数学模模型，对大李李碰到的情况况做出解释.参考考数数据据1.人人的的体体液液占占人人的的体体重重的的65%至至70%，，其其中中血血液液只只占占体体重重的的7%左左右右；；而而药药物物（（包包括括酒酒精精））在在血血液液中中的的含含量量与与在在体体液液中中的的含含量量大大体体是是一一样样的的。。2.体体重重约约70kg的的某某人人在在短短时时间间内内喝喝下下2瓶瓶啤啤酒酒后后，，隔隔一一定定时时间间测测量量他他的的血血液液中中酒酒精精含含量量（（毫毫克克／／百百毫毫升升）），，得得到到数数据据如如下下：：时间(小时)0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041时间(小时)678910111213141516酒精含量3835282518151210774问题题分分析析一个个人人的的血血中中酒酒精精含含量量取取决决于于他他喝喝了了多多少少酒酒、、他他体体内内原原有有的的酒酒精精含含量量以以及及喝喝酒酒方方式式等等。。由由科科普普知知识识知知道道，，酒酒精精是是经经胃胃肠肠（（主主要要是是肝肝脏脏））的的吸吸收收与与分分解解进进体体液液的的。。因因此此本本文文把把酒酒精精的的从从胃胃肠肠（（含含肝肝脏脏））向向体体液液转转移移情情况况用用如如下下简简图图直直观观地地表表示示：：k11为酒精精从胃胃肠渗渗透到到（除除体液液外））其它它地方方的速速率系系数；；k12为酒精精从胃胃肠进进入体体液的的速率率系数数；k21为酒精精在体体液中中消耗耗（向向外排排除或或分解解或吸吸收））的速速率系系数；；f(t)为酒酒精进进入胃胃肠的的速率率。由题意意，参参照房房室模模型，，可建建立如如下微微分方方程组组：（1））大李李在中中午12点点喝一一瓶啤啤酒时时，即即在t=0时，，胃肠肠中的的酒精精量x1(0)为一一瓶酒酒中的的酒精精a与与饮酒酒瓶数数N的的乘积积Na，而而此时时体液液中的的酒精精量y1(0)为0。因因此