利用导数研究报告函数的单调性的题型分析

.z利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间例：求以下函数的单调区间．(1)y＝2*3－3*(2)f(*)＝3*2－2ln*.解：(1)由题意得y′＝6*2－3.令y′＝6*2－3＞0，解得*＜－eq\f(\r(2),2)或*＞eq\f(\r(2),2)，当*∈(－∞，－eq\f(\r(2),2))时，函数为增函数，当*∈(eq\f(\r(2),2)，＋∞)时，函数也为增函数．令y′＝6*2－3＜0， 解得－eq\f(\r(2),2)＜*＜eq\f(\r(2),2)，当*∈(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))时，函数为减函数．故函数的递增区间为(－∞，－eq\f(\r(2),2))和(eq\f(\r(2),2)，＋∞)，递减区间为(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2))．(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(*)＝6*－eq\f(2,*)＝2·eq\f(3*2－1,*).令f′(*)＞0，即2·eq\f(3*2－1,*)＞0.且*＞0，可解得*＞eq\f(\r(3),3)；令f′(*)＜0，即2·eq\f(3*2－1,*)＜0，由*＞0得，0＜*＜eq\f(\r(3),3)，∴f(*)的增区间为(eq\f(\r(3),3)，＋∞)，减区间为(0，eq\f(\r(3),3))．规律总结：1．在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域讨论，定义域为实数集R可以省略不写．2．当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，〞或“和〞字等隔开，不要用符号“∪〞连接，如(1)题中的增区间．变式训练：求以下函数的单调区间：(1)求函数f(*)＝2*3－9*2＋12*－3的单调区间；(2)求函数y＝*3－2*2＋*的单调区间．【解】(1)此函数的定义域为R，f′(*)＝6*2－18*＋12＝6(*－1)(*－2)．令6(*－1)(*－2)＜0，解得1＜*＜2，所以函数f(*)的单调递减区间是(1,2)．令6(*－1)(*－2)＞0，解得*＞2或*＜1，所以函数f(*)的单调递增区间是(2，＋∞)，(－∞，1)．(2)此函数的定义域为R.y′＝3*2－4*＋1，令3*2－4*＋1＞0，解得*＞1或*＜eq\f(1,3).因此y＝*3－2*2＋*的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，eq\f(1,3))．再令3*2－4*＋1＜0，解得eq\f(1,3)＜*＜1.因此y＝*3－2*2＋*的单调递减区间为(eq\f(1,3)，1)．例：讨论函数f(*)＝eq\f(b*,*2－1)(－1＜*＜1，b≠0)的单调性．【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的.函数是奇函数还是偶函数.(2)假设先讨论*∈(0,1)上的单调性，能否判断f′(*)在(0,1)上的正负.b的取值对其有影响吗.解：因f(*)的定义域为(－1,1)；函数f(*)是奇函数，∴只需讨论函数在(0,1)上的单调性．∵f′(*)＝当0＜*＜1时，*2＋1＞0，(*2－1)2＞0，∴∴当b＞0时，f′(*)＜0.∴函数f(*)在(0,1)上是减函数；当b＜0时，f′(*)＞0，∴函数f(*)在(0,1)上是增函数；又函数f(*)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知：当b＞0时，f(*)在(－1,1)上是减函数；当b＜0时，f(*)在(－1,1)上是增函数．规律方法：利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(*)＞0(f′(*)＜0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(*)；②判断f′(*)的符号；③给出单调性结论．2．导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进展分类讨论．变式训练：求函数y＝*＋eq\f(b,*)(b≠0)的单调区间．【解】函数y＝*＋eq\f(b,*)(b≠0)的定义域为{*|*≠0}，y′＝1－eq\f(b,*2)＝eq\f(*2－b,*2).①当b＜0时，在函数定义域y′＞0恒成立，所以函数的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)；②当b＞0时，令y′＞0，解得*＞eq\r(b)或*＜－eq\r(b)，所以函数的单调递增区间为(－∞，－eq\r(b))和(eq\r(b)，＋∞)；令y′＜0，解得－eq\r(b)＜*＜eq\r(b)且*≠0，所以函数的单调递减区间为(－eq\r(b)，0)和(0，eq\r(b)).题型二：利用函数单调性求参数例：(2021·模拟)函数f(*)＝a*＋*ln*，且图象在点处的切线斜率为1(e为自然对数的底数)．(1)数a的值；(2)设，研究函数g(*)的单调性解：(1)f(*)＝a*＋*ln*，f′(*)＝a＋1＋ln*，依题意＝a＝1，所以a＝1.(2)因为＝eq\f(*ln*,*－1)，所以g′(*)＝eq\f(*－1－ln*,*－12).设φ(*)＝*－1－ln*，则φ′(*)＝1－eq\f(1,*).当*>1时，φ′(*)＝1－eq\f(1,*)>0，φ(*)是增函数，对∀*>1，φ(*)>φ(1)＝0，即当*>1时，g′(*)>0，故g(*)在(1，＋∞)上为增函数；当0<*<1时，φ′(*)＝1－eq\f(1,*)<0，φ(*)是减函数，对∀*∈(0,1)，φ(*)>φ(1)＝0，即当0<*<1时，g′(*)>0，故g(*)在(0,1)上为增函数．方法规律：1．导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(*)的定义域；(2)求导数f′(*)；(3)在函数f(*)的定义域解不等式f′(*)>0和f′(*)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(*)的单调区间．2．导数法证明函数f(*)在(a，b)的单调性的步骤：(1)求f′(*)；(2)确认f′(*)在(a，b)的符号；(3)作出结论：f′(*)>0时为增函数；f′(*)<0时为减函数．3．导数法求参数的取值围：函数的单调性，求参数的取值围，应用条件f′(*)≥0(或f′(*)≤0)，*∈(a，b)，转化为不等式恒成立求解．训练：1.假设函数在其定义域的一个子区间不是单调函数，则实数k的取值围_______________.解：函数的定义域为，，由得，由得，要使函数在定义域的一个子区间不是单调函数，则有，解得，即的取值围是.2.(2021·省八校高三第二次联考)函数f(*)＝(*＋a)2－7bln*＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)假设b＝1时，f(*)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a的取值围；(2)当b＝eq\f(4,7)a2时，讨论f(*)的单调性．【解】(1)∵b＝1，∴f(*)＝(*＋a)2－7ln*＋1，∴f′(*)＝2*＋2a－eq\f(7,*).∵当*>1时，f(*)是增函数，∴f′(*)＝2*＋2a－eq\f(7,*)≥0在*>1时恒成立．即a≥eq\f(7,2*)－*在*>1时恒成立．∵当*>1时，y＝eq\f(7,2*)－*是减函数，∴当*>1时，y＝eq\f(7,2*)－*<eq\f(5,2)，∴a≥eq\f(5,2).故a的取值围是[eq\f(5,2)，＋∞)．(2)∵b＝eq\f(4,7)a2，∴f(*)＝(*＋a)2－4a2ln*＋1，*∈(0，＋∞)．∴f′(*)＝eq\f(2*2＋2a*－4a2,*)＝eq\f(2〔*－a〕〔*＋2a〕,*).当a>0时，f′(*)>0，得*>a或*<－2a，故f(*)的减区间为(0，a)，增区间为(a，＋∞)；当a<0时，f′(*)>0，得*>－2a或*<a，故f(*)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a，＋∞)．3.设函数f(*)＝a*－eq\f(a,*)－2ln*.(1)假设f′(2)＝0，求f(*)的单调区间；(2)假设f(*)在定义域上是增函数，数a的取值围．解：(1)∵f(*)的定义域为(0，＋∞)，f′(2)＝0，且f′(*)＝a＋eq\f(a,*2)－eq\f(2,*)，∴a＋eq\f(a,4)－1＝0，∴a＝eq\f(4,5).3分∴f′(*)＝eq\f(4,5)＋eq\f(4,5*2)－eq\f(2,*)＝eq\f(2,5*2)(2*2－5*＋2)，由f′(*)＞0结合*＞0，得0＜*＜eq\f(1,2)或*＞2，∴f(*)的递增区间为(0，eq\f(1,2)]和[2，＋∞)，递减区间为(eq\f(1,2)，2).6分(2)假设f(*)在定义域上是增函数，则f′(*)≥0对*＞0恒成立，8分∵f′(*)＝a＋eq\f(a,*2)－eq\f(2,*)＝eq\f(a*2－2*＋a,*2)，∴需*＞0时a*2－2*＋a≥0恒成立10分化为a≥eq\f(2*,*2＋1)对*＞0恒成立，∵eq\f(2*,*2＋1)＝eq\f(2,*＋\f(1,*))≤1，当且仅当*＝1时取等号．∴a≥1，即a∈[1，＋∞).12分4.函数f(*)＝eq\f(3*,a)－2*2＋ln*，其中a为常数．(1)假设a＝1，求函数f(*)的单调区间；(2)假设函数f(*)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值围．解：(1)假设a＝1时，f(*)＝3*－2*2＋ln*，定义域为(0，＋∞)，f′(*)＝eq\f(1,*)－4*＋3＝eq\f(－4*2＋3*＋1,*)＝(*>0)．当f′(*)>0，*∈(0,1)时，函数f(*)＝3*－2*2＋ln*单调递增．当f′(*)<0，*∈(1，＋∞)时，函数f(*)＝3*－2*2＋ln*单调递减．故函数f(*)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f′(*)＝eq\f(3,a)－4*＋eq\f(1,*)，假设函数f(*)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(*)＝eq\f(3,a)－4*＋eq\f(1,*)≥0或f′(*)＝eq\f(3,a)－4*＋eq\f(1,*)≤0，即eq\f(3,a)－4*＋eq\f(1,*)≥0或eq\f(3,a)－4*＋eq\f(1,*)≤0在[1,2]上恒成立．即eq\f(3,a)≥4*－eq\f(1,*)或eq\f(3,a)≤4*－eq\f(1,*).令h(*)＝4*－eq\f(1,*)，因为函数h(*)在[1,2]上单调递增，所以eq\f(3,a)≥h(2)或eq\f(3,a)≤h(1)，即eq\f(3,a)≥eq\f(15,2)或eq\f(3,a)≤3，解得a<0或0<a≤eq\f(2,5)或a≥1.题型三：利用导数解决不等式例：定义在R上的函数的导函数为,是偶函数且.假设,且,则与的大小关系是A.B.C.D.不确定解析：由可知,当时,函数递减.当时,函数递增.因为函数是偶函数,所以,,即函数的对称轴为.所以假设,则.假设,则必有,则,此时由,即,综上,选C.变式训练：1.函数在定义域可导，假设，且当时，，设，，，则〔D〕A．B．C．D．2.函数对定义域的任意都有=,且当时其导函数满足假设则A. B.C. D.解：由=,可知函数关于对称.由得,所以当时,,函数递增,所以当时,函数递减.当,,,即.所以,所以,即,所以,即,选C.3.函数，则的大小关系是A、B、C、D、解：因为函数为偶函数，所以，，当时，，所以函数在递增，所以有，即，选B.4．[2021·三模]函数f(*＋1)是偶函数，且*>1时，f′(*)<0恒成立，又f(4)＝0，则(*＋3)f(*＋4)<0的解集为()A．(－∞，－2)∪(4，＋∞)B．(－6，－3)∪(0，4)C．(－∞，－6)∪(4，＋∞)D．(－6，－3)∪(0，＋∞)解：函数f(*＋1)是偶函数，其图象关于y轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y＝f(*)的图象，可得函数y＝f(*)的图象关于直线*＝1对称，*>1时，f′(*)<0恒成立，说明函数在(1，＋∞)上单调递减，根据对称性可得函数在(－∞，1)上单调递增．根据f(4)＝0可得当*>4时，f(*)<0，根据对称性可得当*<－2时，f(*)<0，当－2<*<1或1<*<4时，f(*)>0.不等式(*＋3)f(*＋4)<0等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(*＋3>0，,f〔*＋4〕<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(*＋3<0，,f〔*＋4〕>0.))当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(*＋3>0，,f〔*＋4〕<0))时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(*>－3，,*＋4>4或*＋4<－2，))解得*>0；当eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(*＋3<0，,f〔*＋4〕>0))时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(*<－3，,－2<*＋4<1或1<*＋4<4，))解得－6<*<－3.故不等式(*＋3)f(*＋4)<0的解集为(－6，－3)∪(0，＋∞)．5.设是定义在R上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为____．解：因为函数为奇函数。当时，，函数单调递增，所以，由图象可知不等式的解为或，即不等式的解集为。6.函数。〔I〕假设函数在处取得极值，求的值；〔II〕假设函数的图象在直线图象的下方，求的取值围；7.函数，函数．⑴当时，函数的图象与函数的图象有公共点，数的最大值；⑵当时，试判断函数的图象与函数的图象的公共点的个数；⑶函数的图象能否恒在函数的