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文档简介

第15讲数列性质:最值问题参考答案与试题解析选择题(共10小题).已知数列{〃“}的通项公式4 -(6+2丸)〃+2016,若4或。7为数列{〃〃}的最小项,则实数丸的取值范围是( )5 9A.(3,4) B.[2,5] C.[3,4] D.(-,-)【解答】解:由题意,数列{勺}的通项公式=〃2-(6+24)〃+2014的对称轴为%=3+2,•・•/或华为数列{〃〃}的最小项,/.5.5<3+2<7.5,二2.5<2<4.5.故选:。,TOC\o"1-5"\h\z.(2021秋•雁峰区校级月考)在等差数列中(q},4=21,公差为d,前〃项和为S〃,当且仅当〃=8时S”取得最大值,则d的取值范围是( )21 7 21 7A・1—3,—―) B.(一彳,-3) C.(-3,――) D.[--,-3)o 2, o 2.【解答】解:•.•在等差数列中{。"},4=21,公差为d,前”项和为S.,当且仅当〃=8时S”取得最大值,ag>0,a9<0,即2I+7d>0,21+&/<0,71解得-3〈八——.8故选:C..(2021秋•淮北期中)设等差数列{a,,}满足$加2a$"S2+曲,5。。『47加%泞&=1,sin(4+%)TOC\o"1-5"\h\z公差dw(-1,0).若当且仅当〃=8时,数列{(}的前〃项和S“取得最大值,则首项4取值范围是( ).In4乃、 _ An3兀、 一 「7九4万1 _ An3乃、A.(一,一) B. [一,一] C. [一,一] D.(一,一)6 3 3 2 6 3 3 2.2 2 2 2 -2 «2[解答]解.山sm%-cos%+es4—sm,一]sin(a6+%)徂-cos2a5+(cosa5cos+sina5sin)(cosa5cos-sinsin)1寸: ; =1>sin(4+%)

日(1-cos2a5+cos(a5-4)cos(a5+4)sin(«6+%)-cos2%+-cos2%-cos2a§由积化和差公式得:Z 2 sin(a6+%)TOC\o"1-5"\h\z—(cos24-cos )整理得:Z-: sin(〃6+%)1*(-2)sin(4+tz5)sin(a8-a5)即有-2 : =1,.\sin(3J)=-l.rfg(-1,0),/.3dg(-3,0),77* JT则3d=,d=・2 6। 1 2 7V用S=na.+-= +(a.d )n,"12 12 112对称轴方程为〃=g(q+—),由题意当且仅当"=8时,数列{4}的前"项和S”取得最大值,15 615 6z冗、£<小+丘)17~2TOC\o"1-5"\h\z・・.首项q的取值范围是(匕,—).6 3故选:A.4.(2021春•武侯区校级期中)设等差数列{aj满足:cos2Oycos2a5-sin2«3sin2«5-cos2^=sin(4+%),a4工号,keZ且公差de(-l,0),若当且仅当〃=8时,数列{4}的前〃项和取得最大值,则首项4的取值范围是( )A.[―,2乃]B.(―,27)C.[―,2乃]D.(―,2万)2 2 4 4【解答】解:*/cos2/cos2a5-sin2a3sin2a5-cos2%=sin(q+%),cos-a3cos-a5-sin-a3sin"a5—cos-a3+sm-a3=sin(4+%),即cos2a,(cos2a5-1)-sin2%(sin?-1)=sin2a4,即-cos203sin2as+sin」/cos2a5=sin2a4,

l!|J(sin%cosa5-cos%sina5)(sin生cosa5+cosaysina5)=sin2a4,EPsin(a3—a5)sin(a3+6)=sin2a4,即—sin2dsin(2a4)=sin2a4,k兀a.*——,:.sin2见00,2/.sin(2J)=-l.*:dg(-1,0),2de(-2,0),则2d=一二9d=——.TOC\o"1-5"\h\z2 4由s『叫 = +Z!^x(—C)=_&〃2+(4+为”.2 2 4 8 8对称轴方程为n=—(a.+—),7t' 8由题意当口仅当〃=8时,数列{4}的前〃项和S“取得最大值,—<—(a,+—)<—,解得:—<at<2tt.2%'8 2 4 1.•・首项4的取值范围是(子,2万),故选:D.(2021春•威宁县期末)对于数列{a,J,定义工=4+2%+…+2'iq,为数列gj的“美n值”,现在已知某数列{4}的“美值"Yn=2"+,,记数列{4-叫的前”项和为S.,若S“,,S)0对任意的“eN*恒成立,则实数/的取值范围是( )D.18D.1811,TTM【解答】解:由工=4+-%+…+20可得:q+2w+-+2ia“=〃x2〃x,n当〃..2时,0t+2a2+...+2n~2an_l=(n-l)x2"»两式相减可得:2"-'a„=nx2n+,-(n-1)x2"=(n+1)2",所以a“=2〃+2,所以a“-f"=2〃+2-=(2-r)”+2,所以数歹U{a“-同是等差数列.由S„„Sl0对任意的〃eN*恒成立可得:4。-1Of..0且%-10,即22-Kk.O且24-1匕,0,24 11即上刻11 5

故选:c.Q17(2021秋•南明区校级月考)已知数列{4}的前几项和为S“,且S〃=2/一二〃,则|可|的最小值为( )A.1B.2C.3D.4【解答】解:根据题意,数列{0“}中-日〃,当〃=1时,4=S[=—7>当〃..2时,an=Sn-Sn_t=3n-10,综合可得:a„=3n-10,则1aliR3〃-10|,当〃=3时,I取得最小值1;故选:A.(2021秋•西城区校级月考)等差数列{《,}的前”项和为S",前”项积为7;,已知火=T,a,=-1,则( )A.S“有最小值,7;有最小值 B.5.有最大值,7;有最大值C.S“有最小值,7;有最大值 D.S“有最大值,7;有最小值【解答】解:在等差数列{《,}中,由%=—4,0,=-1,得"=03-02=3,可得4=4—d=-4—3=—7.,„ _n(n-1)_3217 ,,. 17 ,.•.S=-7nH x3=-n n>则=jn=—•I用〃wN*,2 2 2 6.•.当〃=3时,S.有最小值;等差数列仅“}的前三项小于0,自第四项起大于0,且大于I,/.7;<0,T2>0,7;<0.当〃..4时,7;<0,.•.7;有最大值,为4.故S“有最小值,7;有最大值.故选:C.(2021•辽宁开学)若数列{a“}满足a,=2"7;=01al…%,则7;的最小值为( )【解答】解:△旦可得:〃=3时,A.A.2川 B.2To C.2'"D.2"〃<3时,2<1;〃>3时,j>1.T“ ,.'.Tt>T2>T3=T4<T5<T6<...,.•.7;的最小值为十或7;,7;=2-3x2^x2-3=2-'°,故选:B.(2021秋•深圳月考)己知数列{q}的通项公式凡=3"(2〃-13),则数列前”项和,取最小值时,”的值是( )A.6 B.7 C.8 D.511【解答】解:由题意,令4=3"(2〃-13)>0,即2〃一13>。,解得〃>],令《,=3"(2〃-13)<0,即2〃一13<0,解得〃<‘,故当掇立6时,a„<0,当机.7时,an>0,当”eN*时,2n-13为递增的等差数列,3">0恒成立,:.ax<Oyv•••v4v0v/vgv••・当〃=6时,前”项和S“取得最小值.故选:A.1 7(2021•安徽模拟)己知正项等比数列{《,}的前〃项和为S“,S2=~,S3=—,则“任…凡的最小值为( )(―)3274(―)4274

D.(——)

27八 、1【解答】解:由题意可得,4(1+4【解答】解:由题意可得,〃(1+q+q~)=—解可得,五或32(舍),故为=上・2"T,27当啜女5时,4<1,当〃..6,々“>1,, 、 4则…〃〃的坂小值为4a2…。5=(6)'=(一)A.(―)A.(―)227故选:D.二.填空题(共3小题)(2021秋•玄武区校级月考)已知{4}为等差数列,氏=52,57=343,{4}的前〃项和为5“,则〃=20时,S“最大.【解答】解:设等差数列{凡}的公差为d,由4=52,&=343,可得4+2d=52,7%+211=343,解得q=58,d=-3,则=58-3(〃-1)=61-3〃,当蹶N20时,a„>0;当*21时,a„<0.所以当〃=20时,S“最大.故答案为:20.(2019秋•浦东新区校级月考)已知数列伍“}是公差不为0的等差数列,q>0且当”=6时,数列{“"}前”项和5”取最大值.【解答】解:设数列{4}公差为4,根据题意可知:«5+«s=0,可得2q+lW=O,12a,.".Sn=nat+——--(-—«1)=--n2.,.当"= - =6时,数列{4}前“项2 11 11 11 2x(-3)11和S,取最大值6.故答案为:6.(2016•长春四模)等差数列{4}的前〃项和为S,,,已知$=0,几=25,则使(〃+l)S.取最小值的〃等于6或7.【解答】解:设等差数列{4}的首项为“,公差为d.Sl0=1+45d=0,Sl5=15a,+105d=25,・・.q=_3,d=-3河i+3人「-92 3 3 3 3 3 3 3 3令nS„=f(n),/.f'(n)=n2-6n .•.当〃=3+g历时,/(〃)取得极值,当3-4屈<”<3+4收时,/(〃)递减;当〃>3+!历时,/(〃)递增;因此只需比较/(6)和/(7)的大小即可.f(6)=-56,f(7)=-56,故(〃+1)5”的最小值为-59.故答案为:6或7.三.解答题(共3小题)(2021•新疆模拟)在平面直角坐标系中,已知三个点列{4}、{4}、{£,},其中A(〃M„)、纥(〃,女)、£,5-1,0)满足:向量4方与向量瓦G共线,且点列{BJ在方向向量为(1,6)的直线上,4=〃,b]=-a.(1)试用a与〃表示(几.2);(2)若%与的两项中至少有一项是勺的最小值,试求a的取值范围.【解答】解:(1)由a1(〃m“)、纥(〃也)、c〃(〃一1,0),得:4篇=(1吗r/),纥。;=(-1,9)・丁向量K?与向量M共线,•••lx(一幻一(T)X(4+1-。")=0,即an+l-an=bn.乂{纥}在方向向量为(1,6)的直线上,b—b.,.qL=6,即%一»=6・n+\—n2=。+6(〃-1)=-a+6(n-1),an=4+(4-《)+(%-%)+…+3”-4t)=4+b]+Z?2+•••+b“_]=a+(—a)+(―。+6)+(—a+6x2)+...+[—a+6(7?—2)]=611+2+...+(〃—2)J—u{n—1)A(1+〃-2)(〃-2)/n=ox a(n-1)=3(〃-1)(〃-2)—a(n-1)=3n2-(9+d)n+6+lain..2);(2)二次函数〃x)=3x2-(9+a)x+6+2a的图象是开口向上,对称轴为x=±@的抛物线.6乂•隹斯勺的两项中至少有一项是%的最小值,故对称轴X="二在2马内,6 " 6 22即卫殁伫2”,2 6 2.♦.24皴女36. r(7?GN\aGR且以工a+2(n-l) r(7?GN\aGR且以工a+2(n-l)v(2)若对任意的〃EAT,都有册,%成立,求。的取值范围.【解答】解:(1)・・・〃“=1+ 7 ;(〃£乂,。£凡且。工0:4+2(〃-1)\ )当a=-7时,:.an=1+——-——(〃wM)2/7-9结合函数f(x)=1+」一的单调性2x-9可知:1>4>4>%>%;%>4 >l(〃eN")工{4}中的最大项为%=2,最小项为a4=011 7(2)a=1+ =1+——a4-2(〃—1) 〃—2—41•.•对任意的“eM,都仃小,%成立,并结合函数/(x)=l+—|—的单调性2-ax 22—a,八c・•・5< 一8216.(2021•黄州区校级模拟)数列{%}前〃项和S“=Y,数列也}满足43b〃-%=〃(几.2,〃wTV*),(1)求数列{4}的通项公式;(2)求证:当6尸;时,数列电-4}为等比数列;(3)在题(2)的条件下,设数列也,}的前〃项和为7;,若数列{7J中只有7;最小,求4的取值范围.2【解答】(1)解:•.•数列{4}前〃项和s“=上,c n2(n-1)22n-l4=S「S〃t*—1=-,"l〃=1时,——-=~=a»4 4 ,•.4=^^,〃£N*.(4

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