由开环频率特性估计闭环频率特性

由开环频率特性估计闭环频率特性对于如图4-42所示的系统，所谓开环频率特性，是指将闭环回路的环打开，其开环频率特性为G(jw)H(jw)。cG(ja)X(»y~*图4-42典型闭环系统而该系统闭环频率特性为(4.20)X(jo) Gj)(4.20) o =X(jo) 1+G(jo)H(jo)i据此，可以画出系统闭环频率特性图。尤其是计算机的应用日益普及，其冗繁的计算工作量可以很容易地由计算机完成。同时，已知开环幅频特性，也可定性地估计闭环频率特性设系统为单位反馈，则(4.21)X(jo) G(jo)(4.21) o =X(jo) 1+G(jo)i一般实用系统的开环频率特性具有低通滤波的性质，低频时，G(jo)|>>1,则X(jX(jo) o X(jo)iG(jo)1+G(jo)高频时，lG(jo)1<<1，则X(joX(jo) oX(jo)iG(jo)1+G(jo)系统开环及闭环幅频特性对照如图4-43所示。因此，对于一般单位反馈的最小相位系统，低频输入时输出信号的幅值和相位均与输入基本相等，这正是闭环反馈控制系统所需要的工作频段及结果；而高频输入时输出信号的幅值和相位均与开环特性基本相同。

图4-43系统开环及闭环幅频特性对照另外，我们可以利用等M圆和等N圆由开环频率特性求出闭环频率特性。对于单位反馈系统，设前向通道传递函数为G(s),则其闭环传递函数为X(s) G(s)X(s)_1+G(s) (4.22)i在图4-44所示的乃奎斯特图上，向量OA表示G(j®)，其中①为A点频率。向量AAOA的幅值为|G(j®A)，向量OA的相角为ZG(j®A)。由点P(-1，j0)到A点的向量PA可表示为［1十G(j®)］。向量OA与PA之比正好表示了闭环频率特性，即AOA G(j®)X(j®)~PA-1+G(j®)-X() (4.2A oA在®=®处，闭环频率特性的幅值就是向量OA与PA的幅值之比，相位角就是两A向量的相角之差，即夹角申-e，如图4-44所示。当系统的开环频率特性确定后，根据图4-44就可求出闭环频率特性。图4-44由开环频率特性求闭环频率特性

设闭环频率特性的幅值为M设闭环频率特性的幅值为M（W）,相位角为Q（w），闭环频率响应可表示为（4.24））类似于地图上等高线的思路，我们可求出闭环频率特性的等幅值轨迹和等相角轨迹在由乃奎斯特图确定闭环频率特性及系统校正时，这将带来方便。（1）等幅值轨迹（M圆）设G（j&）=X+jY，式中X和Y均为实数，贝I」4.25)|X+jY4.25)1+X+jY|式（4.25）两边平方，可得M2XM2X2+Y2 /、—(1+X)2+Y24.26)如果M=1,由式（4.26）可求得X=-1/2，即为通过点（-1/2,0）且平行虚轴的直线。如果MH1,式（4.26）可化成(4.27)+Y2(4.27)如图4-45所示。在复平面上，等M轨迹是一族圆，对于给定的M值，可计算出它的圆心坐标和半径。图4-46表示的一族等M圆。由图上可以看出，当M>1时，随着M的增大M圆的半径减小最后收敛于点（-l,jO）。当MV1时，随着M的减小M圆的半径亦减小，最后收敛于点（O,jO）。M=1时，其轨迹是过点（-1/2,j0）且平行于虚轴的直线。图4-46等M圆族(2)等相角轨迹(N圆)/X(j①) /X+jYzXi(jo)相角为 TTxTjYoYY即0=arcta^-arctm-X 1+X设tan(p=N，贝I」N=tanarct -arctm—X 1+XYY壬1+X~~~Y1+•-X1+XYX2+X+Y2Y则X2+X+Y2- =0N(1)2(1]21(1]X+—+Y-=—+12丿2N丿4〔2N丿配方整理，可得24.28)由式（4.28）可看出，等相角轨迹是(11]i'1r1「2—二,j，半径为］1 H122N)14:2N)个圆心为的圆。图4-47表示的是一族等N圆。应当指出，对于给定的0的值的N圆，实际上并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧。同时，由于0与Q±180。的正切值是相同的，N圆对应的Q具有多值性，例如Q=-35。与Q=145°对应的圆弧是相同的。图4-47等N圆族（3）应用乃奎斯特图求闭环频率特性应用相同的比例尺，将等M圆和等N圆绘制在透明片上，然后再把它覆盖在以相同比例尺绘制的系统开环传递函数乃奎斯特图上，乃奎斯特图与等M圆和等N圆的交点所对应的幅值与相角由M圆和N圆的参数决定，对应的频率由开环乃奎斯特图决定，这样即可求出闭环频率特性。图4-48（a）和（b）分别表示一单位反馈系统G（jw）轨迹与M圆和N圆的相交情况。可以看出，在频率①=3］处，G（jw）轨迹与M=1.1的圆相交，这意味着在该频率处，闭环频率响应幅值为1.1。从（b）图上可以看出其相角应为-10。。在频率3=3时，G（jw）与M=2的圆相切，这意味着该切点对应的幅值就是最大幅值（谐振4峰值），其相角为-120。。找出G（jw）与M圆和N圆的交点，就可绘出闭环频率特性曲线，

如图4-48(c)所示。2G(2G(jtu)图4-48 (a)叠加在M圆族上的G(jw)轨迹;叠加在N圆族上的G(jw)轨迹;闭环频率响应曲线(4)应用Nichols图线求闭环频率特性仿照上述等M圆和等N圆的思路，在对数幅相特性图上作出等M圆和等N圆，由它们轨迹构成的曲线称为尼柯尔斯图线。图4-49表示了相角在0°和-240°之间的图线。尼柯尔斯图线对称于-180°轴线，每隔360°,M轨线和N轨线重复一次，且在每个180°的间隔上都是对称的。在由开环频率特性确定闭环频率特性时，应用相同的比例尺，将尼柯尔斯图线绘

制在透明片上，然后再把它覆盖在以相同比例尺绘制的系统开环传递函数对数幅相图上，则开环频率特性曲线G(je)与M轨线和N轨线的交点，就给出了每一频率上闭环频率特性的幅值M和相角卜若G(je)轨迹与M轨线相切，切点处频率就是谐振频率，谐振峰值由M轨线对应的幅值确定。图4-49尼柯尔斯图线例如，一单位反馈系统的开环传递函数为g"s(s+l)6.5s+1)为了应用尼柯尔斯图线求闭环频率特性，可在对数幅相图上画G(je)轨迹与M轨线和N轨线，如图4-50所示。闭环频率特性曲线可由M轨线和N轨线与G(je)交点求出不同频率时的幅值与相角，闭环频率特性曲线如图(b)所示。由于G(je)轨迹是与M=5dB的轨迹相切，所以闭环频特性的谐振峰值为M=5dB，而谐振频率®=0.8rad/s。此外Grr(je)与M=-3dB轨迹交点的频率在1.2~1.4rad/s之间，采用插值计算可大致确定闭环截止

频率为®=1.3rad/s。b图4-50(a)重叠在尼柯尔斯图线上的G(j力图(b频率为®=1.3rad/s。b图4-50(a)重叠在尼柯尔斯图线上的G(j力图(b)闭环频率响应曲线Hp'o一-180- —'、—270°(5)非单位反馈系统的闭环频率特性对于非单位反馈系统，其闭环传递函数为XC)_ G(s)X(s)-1+G(s)H(s)i闭环频率特性可写为X(jQ)_ G(jrn