固体物理模拟试题参考答案

模拟试题参考答案一、名词解释.基矢、布拉伐格子为了表示晶格的周期性，可以取任一格点为原点，由原点到最近邻的格点可得三个独立的矢量arara3，则布拉伐格子中的任一格点的位置可以由原点到该格点的矢量 /?,2a2+卜3,I］、£4为整数）来表示，这样常称，、%、％为基矢。由于整个晶体可以看成是基元（组成晶体的最小单元）的周期性重复排列构成，为了研究晶体的周期性，常常把基元抽象成一个点，这些点称为格点（或结点），由这些格点在空间周期性的重复排列而构成的阵列叫布拉格点阵（或布拉伐格子）。.晶列、晶面在布拉伐格子中，所有格点均可看成分列在一系列相互平行的直线上，这族直线称之为晶列，一个布拉伐格子可以有无限多族方向不同的晶列。布拉伐格子中的所有格点也可看成分列在一系列相互平行的平面上，这族相互平行的平面称为晶面。一个布拉伐格子也可以看成有无限多族方向不同的晶面。为了标志各个不问族的晶面。3、格波与声子晶格振动模式具有波的形式，称为格波。在简谐近似下格波矢相互独立的，这样晶格振动的能量是量子化的，声子就是格波的能量量子，它不是真实存在的粒子，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。.能带晶体中的电子，在零级近似中，被看成是自由电子，能量本征值E。作为左的函数，具有抛k物线的形式。晶格周期起伏势的微扰，使蹴状态与A+ （"为任意整数）状态相互作用，这个作用的结果使得抛物线在2m0处断开而形成一个个的带，这些就称为能带。.Bloch函数晶体中电子的波函数具有这样的形式，wG）=e，J“G）,其中“（亍+^^二鼠日是具晶格周n期性的函数。此处的W（；）就是Bloch函数。因此，Bloch函数是一个平面波和一个晶格周期函数的乘积.施主，N型半导体在带隙中提供带有电子的能级的杂质称为施主。主要含施主杂质的半导体，导电几乎完全依靠由施主热激发到导带的电子。这种主要依靠电子导电的半导体，称为N型半导体。二.简答题.能带理论的三种近似分别是什么？怎样定义的？答：绝热近似、单电子近似和周期场近似绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。单电子近似：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。又称hartree-Fock自洽场近似周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的.原子结合成固体有哪几种基本形式？其本质是什么？答：原子结合成固体时主要有四种基本形式，即离子性结合、共价结合、金属性结合和范德瓦尔结合。它们的结合本质为，离子性结合，库仑吸引作用和重叠排斥作用（泡利不相容原理）；共价结合，两原子通过共有自旋相反的一对电子相互结合；金属性结合，价电子离化形成的共有化负电子云与处在其中的正离子实通过库仑作用相互束缚：范德瓦尔结合，与电子分布起伏有关的瞬时电偶极矩的感应作用使具有球对称电子分布的中性分子或原子聚合。.晶格热容的爱因斯坦模型和德拜模型各自的假设是什么？两个模型各自的优缺点分别是什么？答：爱因斯坦模型假设晶格振动的3N个频率相等；德拜模型则把晶格看作连续媒质。爱因斯坦模型的优点是第一次从非经典物理学的角度解释了固体的热容问题，所得的理论结果在能与实验结果定性的相符。缺点是在低温下理论值下降的太快；德拜模型的优点是在低温下是严格正确的，缺点是在高温下理论完全失效。.画出面心立方晶格的单元结构，并用阴影表示出（110）晶面，画出该晶面上原子分布。

5、能带理论中的近自由电子近似和紧束缚近似的基本假设各是什么？两种近似方法分别适合何种对象？答：近自由电子近似的基本假设：1）、电子在晶格中受到的作用用一个周期势场来表征；2）、该周期势场的起伏很小，电子可以在整个晶体内运动，理论上可以用量子力学中围绕论来处理。紧束缚近似的基本假设：1）、电子被束缚在单个原子内，几乎不能在整个晶体内运动；2）、电子在晶体中的轨道是该电子的原子轨道的线性组合。近自由电子近似适合于金属晶体；紧束缚近似适合于半导体、绝缘体等。三.解答与计算题（共40分）1、写出倒格子定义并证明面心立方晶格的倒格子是体心立方o（10分）证：倒格子基矢定义为：b=2n

3axa

i a—

a3xd1 2b=2n

3axa

i a—

a3xd1 2 ：TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/7=2五 a -b=2n i 1-a-axa2a-axaI2 3 I2 3面心立方格子原胞基矢\o"CurrentDocument"a=a(j+E)/2,a=a(『+7)/2,a=a(f+j)/2I 2 3故其倒格子基矢为:j-c。xa2兀-r-r尸、b=2兀七―^―=——(-z+j+k)\o"CurrentDocument"a-axaa

I2 3\o"CurrentDocument"27r —2兀 一同理，b=—(f-j+k).b=—(f-J+£)oa 3 a可见由6,5为基矢构成的格子为体心立方格子。证明完毕。I2 32.考虑一维双原子链，链上最近邻原子间的力常数交错地等于。和10。，令两种原子的质量相等并且最近邻的间距为W2。试求在4=0和［=碗处的3（4）,并粗略地画出色散关系曲线。（15分）解：all10px2n+2✓/2Ym-=10p(x-x)-p(x-x)dt2 2n+l2n 2n2n-\d2Xn cin =p(x-x)+10p(x-x)出2 2n+2 2n+\ 2n+\2nHPLoHPLo代入方程组，可以得到—CO2]A——7Oeiqa/2+g-iqa/2)miqai2+\Qe-i«ai\+[^_-CO23=0°in从A、B有非零解的系数行列式等于零的条件可得1C02—CO2)+C04(0eiqa/2+eTqa])(qaJ2+1()6-3/2)=00 0可得(02=32(1±J20cosqa+io)4=0时，cosqa=1,co=^22co,co=0+o-兀 q=一时，cosqa=-1,co=^/20(o,co=^/2(oG)光学支r~ 5/220。>/20^o声学支：一加 0 成L3.设一维晶体的电子能带可以写出E（k）=（l-coska+Icos2to）ma28 8其中a为晶格常数，计算1）能带的宽度；2）电子在波矢k的状态时的速度；3）能带底部和能带顶部电子的有效质量。（15分）TOC\o"1-5"\h\z解：1）能带的宽度的计算E（女）=A-（W-coska+wCos2版）“28 8能带底部女=0 E（0）=0,71 〜兀、2力2能带顶部女=— E（一）= a a ma2能带宽度bE=E（l）-E（0）=—a ma22）电子在波矢k的状态时的速度八、1dE（k）方.., 1.2、电子的速度：v（^）= =——（smhf-二sin2k。）hdkma43）能带底部和能带顶部电子的有效质量E(k)= (——cos —cos2ka)mai8 8电子的有效质量%*=加/diE既2mcoska-[\!2)cos2ka能带底部Z=0有效质量加*=2加能带顶部女=兀〃有效质量加*=-2〃?/3第一章晶体结构.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？解：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵+基元=实际晶体结构.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？解：晶体结构可以分为Bravais格子和复式格子，当基元只含一个原子时，每个原子的周围情况完全相同，格点就代表该原子，这种晶体结构就称为简单格子或Bravais格子；当基元包含2个或2个以上的原子时，各基元中相应的原子组成与格点相同的网格，这些格子相互错开一定距离套构在一起，这类晶体结构叫做复式格子。.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？(a)(b)(c)(d)(a)(b)(c)(d)“面心+体心也方；(b)“边心”立方；(c)“边心+体心”立方；(d)面心四方解：(a)“面心+体心”立方不是布喇菲格子。从“面心+体心”立方体的任一顶角上的格点看，与它最邻近的有12个格点；从面心任一点看来，与它最邻近的也是12个格点；但是从体心那点来看，与它最邻近的有6个格点，所以顶角、面心的格点与体心的格点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。“边心”立方不是布喇菲格子。从“边心”立方体竖直边心任一点来看，与它最邻近的点子有八个；从“边心”立方体水平边心任一点来看，与它最邻近的点子也有八个。虽然两者最邻近的点数相同，距离相等，但他们各自具有不同的排列。竖直边心点的最邻近的点子处于相互平行、横放的两个平面上，而水平边心点的最邻近的点子处于相互平行、竖放的两个平面上，显然这两种点所处的几何环境不同，即不满足所有格点完全等价的条件，因此不是布喇菲格子，而是复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。“边心+体心”立方不是布喇菲格子。从“边心+体心”立方任一顶点来看，与它最邻近的点子有6个；从边心任一点来看，与它最邻近的点子有2个；从体心点来看，与它最邻近的点子有12个。显然这三种点所处的几何环境不同，因而也不是布喇菲格子，而是属于复式格子，此复式格子属于简立方布喇菲格子。“面心四方”从“面心四方”任一顶点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个；从“面心四方”任一面心点来看，与它最邻近的点子有4个，次最邻近点子有8个，并且在空间的排列位置与顶点的相同，即所有格点完全等价，因此“面心四方”格子是布喇菲格子，它属于体心四方布喇菲格子。5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。解：以下给出了了二维有心长方晶格示意图：

由上图，我们可给出其固体物理学原胞如下图（a）所示，结晶学原胞如下图（b）所示：(b)(b)从上图（a）和（b）可以看出，在固体物理学原胞中，只能在顶点上存在结点，而在结晶学原胞中，既可在顶点上存在结点，也可在面心位置上存在结点。6.倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。TOC\o"1-5"\h\z设一种晶体的正格基矢为a、a、、a,根据倒格子基矢的定义:

I2 3. 2n[axa]b= 2 3i Q,2n[axa1b= a 1->2 。.2n[axa]式中Q是晶格原胞的体积，即C=a.[axa],由此可以唯一地确定相应的1 2 3倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。.为什么说晶面指数（力力6）和Miller指数（hkl）都能反映一个平行晶面族的123方向？解：晶面指数Chhh）是以固体物理学原胞的基矢a、a,、a为坐标轴来123 1 2 3表示面指数的，而Miller指数（秘/）是以结晶学原胞的基矢a、b、c为坐标轴来表示面指数的，但它们都是以平行晶面族在坐标轴上的截距的倒数来表示的，而这三个截距的倒数之比就等于晶面族的法线与三个基矢的夹角余弦之比，从而反映了一个平行晶面族的方向。.试画出体心立方、面心立方的（100）,（110）和（111）面上的格点分布。解：体心立方（100）,（110）和（111）面上的格点分布为：

面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面心立方（100）面面心立方（110）面面心立方（111）面解：对于一个物体或体系，我们首先必须对其经过测角和投影以后，才可对它的对称规律，进行分析研究。如果一个物体或体系含有的对称操作元素越多，则其对称性越高；反之，含有的对称操作元素越少，则其对称性越低。晶体的许多宏观物理性质都与物体的对称性有关，例如六角对称的晶体有双折射现象。而立方晶体，从光学性质来讲，是各向同性的。正八面体中有3个4度轴，其中任意2个位于同一个面内，而另一个则垂直于这个面；6个2度轴；6个与2度轴垂直的对称面；3个与4度轴垂直的对称面及一个对称中心。.各类晶体的配位数（最近邻原子数）是多少？晶体结构

面心立方

六角密积

体心立方

简立方配位数晶体结构配位数12氯化钠型结构氯化的型结构

金刚石型结构晶体结构

面心立方

六角密积

体心立方

简立方配位数晶体结构配位数12氯化钠型结构氯化的型结构

金刚石型结构.利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（1）简单立方上6；（2）体心立方任；（（1）简单立方上6；（2）体心立方任；（3）面心立方跑（4）六角密积旦；（5）金刚石包。1671(2R” 6（2）在体心立方的结晶学原胞中,设原子半径为R,则原胞的晶体学常数解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为R,则原胞的晶体学常数a=2R,则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为：4 41・一兀/?3 1•—兀/?33 3a= = «3(4R/回 8«3(4R/回 8（3）在面心立方的结晶学原胞中,设原子半径为R,则原胞的晶体学常数a=4R/6，则体心立方的致密度为:42•一成33a=—— a=2y[2R,则面心立方的致密度为:44-71/?33

a=—— （4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为R,则原胞的晶体学常数a=2R,c=(2#/3)a=(4^/3)R,则六角密积的致密度为:,46•—兀/?33於,46•—兀/?33於0 -C4,46-71/?33$向2R”（5）在金刚石的结晶学原胞中,4271l 6•(4V6/3)/?设原子半径为R,则原胞的晶体学常数a=（8/j3）7?,则金刚石的致密度为:48-兀/?348-兀/?3a= 8•兀/?3rr。3 (8/我3/?3 。3 (8/我3/?3 16.试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。解：我们知体心立方格子的基矢为：

a=g(-i+J+k)a=^(i-j+k)22a=?(i+j-k)3 2根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为：2n[axa]2nb= 2 i-=——(j+k)।Qa2n[axa]2n..<b= s l-=——(i+k)Ca

2n[axa]2n

b= 4-__2-=—(i+j)Qa由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。13.对于六角密积结构，固体物理学原胞基矢为试求倒格子基矢。解：根据倒格子基矢的定义可知：axa (-"+¥aj)x(ck)b=2n 23一=2n 尸工 - a[axa] H。•晶…1 2 3 (1+^ i+aj)x(ck)]=27rJ3ac.ac=27r—a2c '2.caxa.b=2k.caxa.b=2k i 1—=2k2a-|axa]1 2 3乙 乙 乙 乙

=2=2兀_axa=2ti 1 2—a-[axa]_axa=2ti 1 2—a-[axa]TOC\o"1-5"\h\zc2 2几=2兀 =——J3 c—a^c2

14.一晶体原胞基矢大小a=4xlO-io,",b=6x10-io/n,c=8x10-io/n,基矢间夹角a=90。，p=90。，y=120。。试求：（1）倒格子基矢的大小；（2）正、倒格子原胞的体积；（3）正格子（210）晶面族的面间距。解：（1）由题意可知，该晶体的原胞基矢为：a=az1a2=2*+f，）由此可知:b=2niaxarb=2niaxarajlaj3—=2n ? ?—aIV3,

3 —abc2所以|b|=—•^12+(_1_)2 =1.8138xlOio/n-ilbI=—•Th"— =0.7854xlOio/n-i131c C(2)正格子原胞的体积为：Q=a-[axa]=(ai)-[^(--i+—j)x(ck)]=—abc=1.6628x10-28/7?3123 2 2 2倒格子原胞的体积为：Q，=b-[bxb]=2^.(i+^j)•[—x—(k)]— 3=1.4918xlO^o/n-s123a乖b小c 用abc(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：15.如图1.36所示，试求：(1)晶列££>,尸£>和。尸的晶列指数；(2)晶面AGK,FG〃/和MNLK的密勒指数;(3)画出晶面020),-(131)。解：(1)根据晶列指数的定义易求得晶列EO的晶列才旨数为［111］,晶列FO的晶列指数为［110］,晶列。尸的晶列指数为［011］。(2)根据晶面密勒指数的定义晶面AGK在x,y和z三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1,则其倒数之比为l：_L：l=l：j：l,故该晶面的密勒指数为(111)。1-11晶面尸G〃/在x,y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2,8和1,则其倒数之比为= 故该晶面的密勒指数为(201)o1/2oo1晶面MNLK在无，y和z三个坐标轴上的截距依次为1/2,-1和8,则其倒数之比为」—：L：'=2:i:0,故该晶面的密勒指数为(210)o1/2-1oo(3)晶面(120),一(131)分别如下图中晶面AMLk和晶面ABC所示：a,b,c构成简单正交系。证明晶面族(〃H)的面间距为解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为:由此可求得其倒格子基矢为:

2兀[axa] 2冗八，、2兀，= 2 3—= (bci)=——Ia[axa]abc ai7t[a-xa3] 2ti, 27t.= 2 1—= (〃cj)=——ja.[axa|abcb

2;t[a2xa1 2兀，，.、2兀.= 1 2—= (abk)=——ka・[axa]abccTOC\o"1-5"\h\z1 2 3根据倒格子矢量的性质有:2兀_ 2兀同~|K|一|油+kb+/b|1hW1 1 1 2 3117.设有一简单格子，它的基矢分别为a=3i,a=3j»a=1.5（i+j+k）o试求:1 2 3（1）此晶体属于什么晶系，属于哪种类型的布喇菲格子？（2）该晶体的倒格子基矢；（3）密勒指数为（T21）晶面族的面间距；（4）原子最密集的晶面族的密勒指数是多少？（5）[111]与[fll]晶列之间的夹角余弦为多少？解：（1）由题意易知该晶体属于立方晶系，并属于体心立方布喇菲格子。（2）由倒格子基矢的定义可知：,2n[axa|2k-4.5（i-k）2兀”.、TOC\o"1-5"\h\z'a.[axa] 13.5 3in[a2xa']2n.4.5（j-k）2兀

<b= 3 1—= =—（j-k）a-laxa] 13.5 3. 2n[axa']2n-9k2兀.D= 1 2= =Ka*[axa] 13.5 1.5l1 2 3（3）根据倒格矢的性质，可求得密勒指数为（121）晶面族的面间距为,2ti 2冗7T— —_ 2兀 _3 J30^（i+2j-5k闻10（4）由于面密度p=pd,其中〃是面间距，p是体密度。对布喇菲格子，p等于常数。因此，我们可设原子最密集的晶面族的密勒指数为（〃〃力），则该晶123面族的面间距d应为最大值，所以有

, 271a=- W.K\hb+力b+/?\hb+力b+/?bIIII22 331—[hi+hj+(2〃i-h)k]3 1 2 3 1 2IV+hj+(2〃-h「々）k|=max由此可知，对面指数为（100）、（010）、（101）、（011）和（111）有最大面间距3/0,因而这些面即为原子排列最紧密的晶面族。（5）［111］与［T11］晶列之间的夹角余弦为=48.53,(4.51+4.5j=48.53=arccos-； ；—； -|4.5i+4.5j+1.5k|.|1.5i+1.5j-1.5k|XlO-lQrio试求:（1）晶格常数；（2）固体物理学原胞基矢和倒格子基矢；（3）密勒指数为（110）晶面族的面间距；（4）密勒指数为（11。）和（ni）晶面法向方向间的夹角。解：⑴由题意可知，GaAs的晶格为复式面心立方晶格，其原胞包含一个Ga原子和一个As原子，其中Ga原子处于面心立方位置上，而As原子则处于立方单元体对角线上距离Ga原子1/4体对角线长的位置上，如左图所示：由此可知：■故GaJ到3d 殳号^5x10-10/77=5.59x10-106V3V3(2)由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为:a=f.(j+k)=2.795x10-io(j+k)a=f.(k+i)=2.795x10-io(k+i)22a=^.(i+j)=2.795xlO-io(i+j)其倒格子基矢为:

b=——(-i+j+k)=1.124xlOio(-i+j+k)a2kb=一(i-j+k)=1.124xlO-io(i-j+k)a2冗b=一(i+j-k)=1.124xlO-io(i+j-k).3a(3)密勒指数为(110)晶面族的面间距为：-=2.795xlO-iom2_2n_-=2.795xlO-iom2noIKI11-b+lb+0b1IIO1• 1 2 3（4）根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为（iro）和（ni）晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢K矛1K.之间的夹角，设为a,则有:11UlnKK.(i・b+1b+0・b)・(l・b-lb+1b)a=arccos—tiQ ui—= 1 2 3 1 2 |KJ.|K.|卜,+l-b,+0.b卜卜,_1.，+1>|=arccos(-0.3015)=107.5519.如图1.37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a,试求：（1）正格子基矢和倒格子基矢；（2）画出第一布里渊区，并求出第一布里渊区的内接圆半径。解：（1）取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢，并使a।的方向和i的方向相同，于是有：a=oia+I22 2那么有：（2）根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示:n/an/a上图中的阴影部分即为第一布里渊区，且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为:r」b,|_2兀1-11J，2J3a20.试求面心立方结构、体心立方结构和金刚石结构的几何结构因子；并讨论其衍射相消条件。解：(1)在面心立方结构的原胞中包含有4个原子，其坐标为000,llo,lol,oil22 22 22由此可知，其几何结构因子为F=Z/e『R，=Zf£i2nn(hu+kv.+iw,)

hkl j j4]=j44-ei^(h+k)+ee(h+n+eMk+n」/.|FB=/2%+cos7Ui(/z+k)+cosm(h+/)+cositn(k+/)11hkl1+Lin7in(h+k)+sinnn(h+/)+sinTtn(k+/)!’由于人、氏、/和〃都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有If|2=/2&1hkl'J+cos7t>?(/i+k)+cos7tn(A+/)+cosTtn(kIf|2=/2&1hkl'J由此可知，当〃6、欣和奇偶混杂时，即〃〃、欣和〃/不同为奇数或偶数时，此时忸1时，此时忸1hkl2=0,即出现衍射相消。(2)在体心立方结构的原胞中包含有2个原子，其坐标为

000^1-1222

由此可知，其几何结构因子为27t VnF=乙于=乙/o2M㈣+勺+/%)

/向 j j+elm(分+&+/)+elm(分+&+/)]4-cos7tn(/z+k+Z)14-由于力、左、/和〃都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有2b+cos兀〃(力+A+/)1由此可知，当〃（人+女+/）为奇数时，此时有叱/2=0,即出现衍射相消。（3）在金刚石结构的原胞中含有8个原子，其坐标为000,TOC\o"1-5"\h\z133 331 313000,444*444J444由此可知，其几何结构因子为F e'/'=Zfei2nn(h“j+kVj+hVj)hkl j j=/1+eV(h+k+l)八.z,.._. ... 八产〃(3/»+3左+/),八产〃=/1+eV+2沏(%+&)+e皿(力+/)+eg(«+/)+62 +62 +《2+/沏(力+&)+/必(〃+/)+Ci沏(£+/)]711+711+cos—n(h+^+/)+sin——n(h+i+/)」口+cosm(力+k)++COSK/?(/?+/)+COS7T〃(A+/)1+Isin7in(h+COSK/?(/?+/)+COS7T〃(A+由于力、攵、/和〃都为整数，所以上式中的正弦项为0。于是有|F^|2=f2l+COsg〃(〃+k+/)b|F^|2=f2l+COsg〃(〃+k+/)由此可知，当〃6、欣和奇偶混杂时，即〃〃、欣和〃/不同为奇数或偶数时或者当山I、成和山全为偶数，且〃（人+k+/）=4（2小+1）（其中加为整数）时,有有吃此。，即出现衍射相消。K°,已知NaCl晶胞中Na卜与Cl-X10-10W求:a

(1)X射线的波长；(2)阿伏加德罗常数。解：(1)由题意可知NaCI晶胞的晶胞参数4=2x2.82x10-1。=5.64x10-iom,又应为NaCI晶胞为面心立方结构，根据面心立方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为(111),而又易求得此晶面族的面间距为，12+12+12 ◎又根据布拉格定律可知：入=2dsin0=2x3.26x1O-iosin5.9=6.702x10-9m111(2)由题意有以下式子成立NaCI4M AWa3P=4M AWa3P=6.038x1023(5.64x1O-io)3x2.16x106第一章晶体的结构测试题.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数目之比.解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？.与晶列口心。］垂直的倒格面的面指数是什么？.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？.以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：市冗(1)简立方，Ji/6； (2)体心立方，8 ； 元 元(3)面心立方，6(4)六角密积,乖

兀

(5)金刚石结构，16.试证面心立方晶格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方.ck.求其倒格r V3：Cl~T.ck.求其倒格CL- CUd—b二.六角晶胞的基矢 2 2基矢。.求晶格长数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族(帖丸)的面间距.第一章晶体的结构习题解答1.［解答］设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,胞的边长为4兄/百，晶胞的体积为(4X/6)3,一个晶胞包含两个原子，一个原子占的体积为(4石)3/2,单位体积晶体中的原子数为2/(4式/折5；面心立方晶胞的边长为4/2/历,晶胞的体积为(4&/4)3,一个晶胞包含四个原子，一个原子占的体积为(4&/&)3/4,单位体积晶体中的原子数为444尺，J5)3.因此，同体积的体心和面心立方体晶体中原子数之比为：(上方)“2=0909。晶体容易沿解理面劈裂，说名平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大。因为面间距大的晶体晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。.［解答］正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面（%%用）与倒格式kh=hh+h2bl+h2k工击皿㈤,日-…八 垂直，则倒格晶面'L2〃与正格4=仙+也+4%正交。即晶列［4&I与倒格面制4）垂直。.［解答］对于同级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。低指数的晶面族间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小。另外，由布拉格反射公式2dsin9=nX可知,面间距d大的晶面，对应一个小的光的掠射角8面间距d 小的晶面，对应hk1 hk1一个大的光的掠射角0。0越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱。.［解答］设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示晶胞体积，则致密度（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻