北师大版-2021-2022学年河南省南阳市六校高二（下）期末数学试卷（理科）（附答案详解）

北师大版_202L2022学年河南省南阳市六校高二(下)期末数学试卷(理科).已知(i-l)z=-2i,则z的共规复数W=()A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+t.下面几种推理是合情推理的是()①地球和火星在很多方面都相似，而地球上有生命，进而认为火星上也可能有生命存在；②因为金、银、铜、铁等金属能导电，所以一切金属都导电；③某次考试高二一班的全体同学都合格了，张军是高二一班的，所以张军也合格了：④由“若三角形的周长为/,面积为S,则其内切圆的半径「=午”类比推出“若三棱锥的表面积为S,体积为匕则其内切球的半径r=景”.A.①② B.®®④ C.②④ D.①②④.下列求导正确的为()A.(2e~xy=2e~x B.(In2+log2*)'=xln2C.(sin-),=cos- D.(e^cosx)1=ex(cosx—sinx).已知(l+2x)n的展开式中/的系数为60,则正整数n=()A.4 B.5 C.6 D.7.甲、乙、丙、丁、戊5名舞蹈演员站成一排跳舞，若甲站在正中间，丁不站在最右边，则不同的排列方式共有()A.12种 B.18种 C.20种 D.24种.从国内随机抽取一部分成年人，统计地域和体重的相关数据，抽到南方人共190人,其中体重超重的有90人，抽到北方人共(400+a)人，其中体重超重的有。人，从样本中随机抽取1人，设事件4="此人是南方人"，事件B="此人体重超重”，若A与8相互独立，则a=()A.360 B.200 C.180 D.100.王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别给出了一个结论:甲：该双曲线的实轴长是46：乙：该双曲线的虚轴长是2；丙：该双曲线的焦距为8；T：该双曲线的离心率为苧.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是()A.甲 B.乙 C.丙 D.T. (/+：+y)4的展开式中《的系数为()

A.4BA.4B.6C.8D.12.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),若p(x>0)-P(X<4)=i|,则P(0<X<2)=()TOC\o"1-5"\h\zA.- B.- C.- D.-10 5 5 10.已知函数/(%)=(x+2)2(2%+m)在％=2处有极小值，则实数机的值为()A.—8 B.—2 C.2 D.8.袋中有2个红球，加个蓝球和〃个绿球，若从中不放回地任取2个球，记取出的红球数量为X,则E(X)=%且取出一红一蓝的概率为若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为()A.- B.- C.- D.-3 24 6 48.已知不等式2x-31n(x+1)<2(3a+1)对任意xe[0,1]恒成立，则实数a的最小值为()A.-iln2 B. C.-- D.i+iln-2 6 2 2 3 6 2 2.写出一个同时满足下列条件的复数z=.①|z|=2；②复数z在复平面内对应的点在第二象限..第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在北京开幕，其中滑雪是冬奥会中的一个比赛大项，设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程s(单位：机)与时间t(单位：s)满足关系式s(t)=3t2+?.当该运动员的滑雪路程为46m时，滑雪的瞬时速度为m/s..将包含甲、乙在内的5名志愿者分配到3个社区参与疫情防控工作，要求每名志愿者去一个社区，每个社区至少去一名志愿者，设事件4=”甲、乙去不同的社区”，则P(A)=..如图所示，用刀沿直线切一张圆形的薄饼，切1刀、2刀、3刀、4刀最多可以把饼分成2,4,7,11块，根据其中的规律，则切6N*)刀最多可以把饼分成块..己知复数z=(a+i)(l+bi)(a,b6R)是纯虚数，且|z|=10.⑴求a,匕的值：(2)若a,bE(0,+oo),3=上工，求复数3的模|臼.2+—CH3.受今年国际政治局势以及疫情影响，全球油价持续上涨，某地近5个月的汽油均价y(单位：千元/吨)与月份x的相关数据如下表所示：

X23456V8.89.310.19.810.5（1）由表格数据可看出，y与x具有较强的线性相关性，请用相关系数r加以说明;（2）建立y关于x的线性回归方程，并预测该地今年7月份的汽油均价.参考数据：£之1%=48.5, —1）2=1.78,Si=i（Xi-x）（yi-y）=3.9,V17.8x4.2.参考公式：相关系数==[£%.一）（”7）立乙（所工产£匕（”7）2线性回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=a=y—bx..观察下列不等式:5+3>8,25+9>32,125+27>128,625+81>512,（团）根据这些不等式，归纳出一个关于正整数〃的命题;（回）用数学归纳法证明（团）中得到的命题..受今年国际政治局势以及疫情影响，全球油价持续上涨，某地近5个月的汽油均价y（单位：千元/吨）与月份x的相关数据如表所示:X23456y8.89.310.19.810.5（助由表格数据可看出，y与x具有较强的线性相关性，请用相关系数r加以说明;（助建立y关于x的线性回归方程，并预测该地今年7月份的汽油均价.参考数据：%i%=48.5,步=式％-3）2=1.78,£；=1（々一或）3-亍）=3.9,V1Z8a4.2.参考公式：相关系数「=I工匕l＞）_；J-XL。线性回归方程y=a+bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=„„ —_ »u-yux.21.在平面直角坐标系中，已知曲线C21.在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为”一干（t为参数），C与直线/：x—y=l交于A,B两点.（助求C的普通方程；（团）若P（l,0）,证明：\PA\=\PB\..在极坐标系中，已知曲线G：p=4cos0和C2：p=4sin0.（1）以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求G和C2的公共弦所在直线的直角坐标方程；（2）若斜率为第勺直线/与C2相切于点T,与G交于M,N两点，求|2-占J.4 /M***答案和解析.【答案】c【解析】解：因为(i-l)z=-2i,所以z===「「I?= =一1+3所以z=-1—i.故选：C.根据复数代数形式的除法运算，化简可得复数z,进而知其共匏复数.本题考查复数的运算，共挽复数的定义，考查运算求解能力，属于基础题..【答案】D【解析】解：根据合情推理和演绎推理的概念判断：①④是类比推理，所以是合情推理；②是归纳推理，所以是合情推理；③是由一般到特殊的推理，是演绎推理：故选：D.根据合情推理和演绎推理的概念判断.本题考查简单的类比推理、归纳推理、演绎推理的定义等基础知识，是基础题..【答案】D【解析】解：对于A,(2e-xY=-2e~x,故A错误，对于8,(ln2+log?*)'=*,故8错误，对于C,(sing)'=O,故C错误，对于。，(excosx)r=ex(cosx-sinx).故Z)正确.故选：D.根据导数的运算法则和导数基本公式，即可依次求解.本题主要考查导数的运算法则和导数基本公式，属于基础题..【答案】C【解析】解:(1+2x)n的展开式的通项为兀+1=醛•1n-k-(2x)k=2kdlc,令k=2,则工2的系数为2?鬣=60,即也二2=15,2解得n=6(n=-5舍去).故选：C.求出展开式的通项，令x的指数等于2,再结合已知即可得出答案.本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题..【答案】B【解析】解：丁不站在最右边，则丁从除中间和最右边的三个位置中选一个，则有盘=3种排法，剩下的3个人进行全排列有“=6种排法，所以共有3x6=18种排法.故选:B.先考虑丁，然后剩下的3个人进行全排列，由分步乘法原理即可得出答案.本题考查了分步乘法原理，属于基础题..【答案】A【解析】解：「A与8相互独立，•••P(AB)=P(4)P(B),90 190 a+90初用c/c■- = x ，解得a=360.400+190+a 400+190+a 400+190+a故选：A.根据已知条件，结合P(AB)=P(4)P(B),即可求解.本题主要考查条件概率公式，考查转化能力，属于基础题..【答案】B【解析】解：甲：2a=48,(1=26；乙：2b=2,b=1；丙：2c=8,c=4；十C2V3 21/3T:e=z=v<c=va；所以甲、丙、丁三者同时满足，此时b=Jc2—a?=、:16-12=2,所以乙同学结论错误.故选：B.根据四位同学的结论进行分析，从而确定结论错误的同学.本题考查了双曲线的性质，属于基础题..【答案】B【解析】解：(/+1+y)4=[(/+》+川4的通项公式=以(x2+》4-ryr,令r=2,则看=Cl(x2+i)2y2= +点+2x)y2,-.2所以3的系数为废=6,故选：B.变形后求出其通项公式7厂+1=CI(%2+44-令r=2,则73=C：(%2+》2y2,再求出(7+》2中的点的系数即可求得结果.本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题..【答案】A【解析】解：•.•随机变量X服从正态分布N(242),.•.由对称性可知，P(X>0)=P(X<4),又•••P(X>0)-P(X<4)=g,4P(X>0)=P(X<4)=g,故P(0<X<2)=P(X>0)-0.5=M故选：A.利用对称性结合P(X>0)-P(X<4)=竟求得P(X>0)=再由P(0<X<2)=P(X>0)-0.5可得答案.本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题..【答案】A【解析】解：/'(x)=2(x+2)(2x+m)+2(x+2)2,依题意，［(2)=2x4(4+m)+2x16=0,解得m=-8,经检验，巾=-8时符合题意.故选：A.对函数/(x)求导，依题意，f(2)=0,由此可求得机的值.本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题..【答案】BTOC\o"1-5"\h\z【解析】解：由题意可得一=j故m+n=10,m+n+2 3故华=_L,即巴=_L,c}2 11 33 11解得m=3»所以ri=7.故若有放回地任取2个球，则取出一蓝一绿的概率为。x^+5x2=5.12 12 12 12 24故选：B.根据古典概型的概率公式，结合超几何分布的数学期望计算可得如n,再根据概率公式计算取出一蓝一绿的概率即可.本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用..【答案】C【解析】解：设/(x)=2x-31n(x+l)(x>-l),则f'(x)=2-W=笫，当0cx<g时，/z(x)<0,/(x)单调递减，当:<x<1时，/''(>)>0,“X)单调递增，/(0)=0-31nl=0,/(I)=2-31n2<0,不等式2x-31n(x4-1)<2(3a+1)对任意x6[0,1]恒成立可转化为对任意％6[0,1]时2(3。+1)N/(X)max，所以2(3a+l)20，解得故选：C.设/'(x)=2x-31n(x+l)(x>-1),转化为对任意xE[0,1]时2(3a+1)>f(x)max，求出f(X)max可得答案・本题考查利用导数求函数的最值，考查学生的运算能力，属于中档题..【答案】-焉+i(答案不唯一)【解析】解：设2=x+yi(x,yeR),依题意：|z|=2,则/+y2=4,且x<0,y>0,故可取x=-V5,y=l,所以z——V3+I.故答案为：一百+i(答案不唯一).根据复数的模和对应点所在象限确定正确答案.本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题..【答案】y【解析】当s=46时，3t2+3=46,6t2+t-92=0,解得t=用或t=一4(舍去)，6由s(t)=3士2+：3得s'(t)=6t+：,所以s'(4)=6x 1=半所以该运动员的滑雪路程为46s时，滑雪的瞬时速度为日m/s.故答案为：y.先由s=46,求出r,再将其代入s'(t)中可求得答案.本题主要考查导数的应用，属于基础题..【答案】］【解析】解：5个人去三个地方，可能有1+1+3,1+2+2的形式，分组的情况总数为堂浮=25,在把这些分组分配到三个不同地方，有25a=150种情况，因此基本事件总数为150；甲、乙去不同的社区，又有如下情况：1+1+3的分组时，甲乙不在一起的可能有废+废废=7,1+2+2的分组时，若其中1人的是甲或者乙，有6或=6种分组，若其中1人的是不是甲，乙，有或废=6种分组，于是甲、乙去不同的社区共有7+6+6=19种分组，分组后分配到三个社区，又有19题=114种情况，于是P(A)、,150 25故答案为:525部分均匀分组问题，5个人去三个地方，可能有1+1+3,1+2+2的形式，据此先算出基本事件总数，在根据限制条件算出满足条件的事件数，利用古典概型公式求解.本题考查了古典概型概率计算，属于中档题.16.【答案】号上【解析】解：设的=2,a2=4,a3=7,a4=11,贝！-%=2,a3—a2=3,一=4,an—an-i=n,所以当nN2,n€N*时，=(an—an-l)+(an-l—an-2)+…+(a2—。1)+。1=n+〃—1+…+2+2=(l+n)n1_n2+n+22 ~ 2 ,当n=1时，也适合，［an="；+2(nGN*),故答案为：的茨根据特例法，结合累和法、等差数列前〃项和公式进行求解即可.本题考查简单的归纳推理、特例法，结合累和法、等差数列前"项和公式等基础知识,考查运算求解能力，是基础题..【答案】解：(l)z=(a+i)(l+bi)=(a-b)+(ab+l)i,因为z是纯虚数，且|z|=10,所以a—b=0,且ab+1=10»所kAa=b=3,或a=b=—3>(2)由(1)及a,be(0,+8)知a=b=3,所以理="空心=三=2_匕2+i (2+i)(2-i) 5 5 5所以l3l=检+(_/=V2.【解析】(1)根据复数的乘法运算化简复数Z,再根据纯虚数的定义及复数的模的计算公式列出方程，即可求解.(2)由(1)求得a,6,再根据复数的除法运算求出复数3再根据复数的模的计算公式，即可求解.本题主要考查复数模公式，以及纯虚数的定义，属于基础题..【答案】解：由表中数据可知土=甘产=4,5二看=1(々一受>=(-2)2+(-1)2+0+12+22=10,Vr=, _=1220.93,J-igG产£?=式”;)2V10x1'784.2vr>0.75>•••y与x具有较强的线性相关性.⑵由已知得亍=隹乙％=等=9.7,b=考得特=*=0.39,a=y-bx=9.7-0.39x4=8.14,•••y关于x的线性回归方程为y=0.39x4-8.14,令x=7,得、=0.39x7+8.14=10.87,故预测该地今年7月份的汽油均价为10.87千元/吨.【解析】(1)计算出工的值，结合参考数据和相关系数公式可求得r,进而判断y与x之间线性相关关系的强弱.(2)求出歹的值，将参考数据代入最小二乘法公式，求出b、a的值，可得出y关于x的线性回归方程，再将x=7代入线性回归方程，即可求解.本题主要考查线性回归方程的求解，掌握最小二乘法是解本题的关键，属于中档题..【答案】解：(团)不等式可写为：5+3223,52+32>25,53+33>27,54+34>29,所以归纳得到命题：5"+3n>22n+1(n为正整数).证明：(回)①当71=1时，易知命题成立：②假设当n=k时，命题成立，即5k+3及2221+1,则当n=k+1时，5k+1+3fc+1=5x5k+3x3k=(4+1)x5k+(4-1)x3fc=4x(5k+3k)+5k-3k>4x22k+1+5k-3k>22(k+1)+1,即71=忆+1时，命题也成立，由①@可知，5n+3n>22n+1.【解析】(团)不等式可写为：5+3223,5z+32>2S,53+33227,54+34>29,从而归纳出结论.(团)利用数学归纳法证明即可.本题主要考查了归纳推理，考查了数学归纳法，属于中档题.

.【答案】解：（/）由表中数据可知，或=gx（2+3+4+5+6）=4,则-x)2=10,•••比1(%—3)2=1.78,踪式阳-x)(yz-y)=3.9,E^i(Xt-x)(yE^i(Xt-x)(yf-y)

jEi^Cxi-x)2S-=1(yi-y)2VlOxl.78390.93>0,75,故y与X具有较强的线性相关性.(/2=部m若=9,7,b=哙涉=S=°39,a=y—bx=9.7—0.39x4=8.14,故y关于x的线性回归方程为y=0.39x4-8.14,令x=7,则y=0.39x7+8.14=10.87,故预测该地今年7月份的汽油均价为10.87千克/吨.【解析】（/）根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解.（〃）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程,再将x=7代入上式的线性回归方程中，即可求解.本题主要考查线性回归方程的求解，以及相关系数公式的应用，属于中档题..【答案】解：（回）曲线C的参数方程为为参数），转换为普通方程为M4y2=4y2=2x；证明：（团）由（回）得：利用忆2K即4（1+9,务B（l—今―由，由于P（l,0）所以伊川=J（l+Y-l）2+（y）2=等,故|PA|=\PB\.V5.y=w=一匹

5|PB|= 1)2+(一务=祟【解析】（回）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标方程之间进行转换；（助利用方程组的解法求出4（1e（l-y,-y）.进一步求出|P4|=|PB|.本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题..【答案】解：（1）由P=4cos0,得p2=4pcos。，所以曲线G的平面直角坐标方程为x24-y2—4%=0,由p=4sin。，得p2=4psin®,所以曲线C2的平面直角坐标方程为/+/-4〃=0,将两式作差得y=x,所以G和C2的公共弦所在直线的直角坐标方程为y=x；(2)设直线I的方