四川省凉山州中考数学试题（解析版）

2019年四川省凉山州中考数学试卷一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置TOC\o"1-5"\h\z（4分）-2的相反数是（ ）A.2 B.-2 C.1. D.-1.\o"CurrentDocument"2 2（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000,用科学记数法表示数153300000000是（ ）A.1.533X109B.1.533X1O10C.1.533X10"D.1.533X1012（4分）如图，BD//EF,4E与8。交于点C,Z5=30°,NA=75°,则NE的度数为（ ）为（ ）A.135° B.A.135° B.125° C.115°（4分）下列各式正确的是（ ）A.2a2+3a2=5a4 B.a2,a=a3C.（a2）3=a5 D.^2=a（4分）不等式1- -1的解集是（ ）A. B.-1 C.D.105°D.-1人数（人）317137时间（小时）789106.（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示:那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A.17,8.5 B.17,9 C.8,9 D.8,8.57.（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中，真命题的个数是（ ）1234

1234（4分）如图，正比例函数y=Ax与反比例函数y=9■的图象相交于4、C两点，过点4作x轴的垂线交x轴于点8,连接8C,则△Z8C的面积等于（ ）10.（410.（4分）如图，在△ZBC中，。在4c边上，AD：DC=1：D.2：3A.8 B.6 C.4 D.2（4分）如图，在△48C中，CA=CB=4,cosC=X则sin5的值为（ ）42,。是80的中点，连接（4分）如图，在△4OC中，CM=3cm,OC=\cm,将△4OC绕点。顺时针旋转90°后得到△800,则ZC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）cm2.

DDA.— B.2n C.Un D.li.n2 8 8（4分）二次函数yuo^+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a-6=0；②庐-4ac>0：@5a-2b+c>0；④4b+3c>0,其中错误结论的个数是（ ）A.1B.A.1B.2C.3D.4二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）（4分）方程组1x+尸1°的解是 .（2x+y=16（4分）方程区1L+—1二=1的解是 .xT1-x2（4分）如图所示，是。。的直径，弦CCJ_Z8于〃，ZJ=30°,。。=2«,则QO的半径是.（4分）在口48。中，E是4。上一点，且点E将NO分为2：3的两部分，连接BE、4c相交于尸，则SA4EF：S&CBF是.（4分）将抛物线〉=（x-3）2-2向左平移个单位后经过点/（2,2）.三、解答题（共5小题，共32分）（5分）计算：tan45。+（技（--k）-2+小-2].（5分）先化简，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a+4）,其中a=-L.2（6分）如图，正方形/8CO的对角线/C、8。相交于点0,E是。C上一点，连接EB.过点、4作4MLBE,垂足为与8。相交于点凡求证：0E=0F.（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合图中相关数据解答下列问题：获奖情况条形统计图 获奖情况扇形统计图获奖情况条形统计图 获奖情况扇形统计图864208642011111（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有人；（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ；（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有上来自七年级，上来自九年级，其余的来自八年级，学4 2校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率.（8分）如图，点。是以48为直径的。。上一点，过点8作。。的切线，交的延长线于点C,E是8c的中点，连接。E并延长与的延长线交于点凡（1）求证：。尸是。。的切线；（2）若OB=BF,EF=4,求40的长.

四、B卷填空题（共2小题，每小题5分，共10分）（5分）当0<x<3时，直线y=a与抛物线尸=（x-1）2-3有交点，则a的取值范围 .（5分）如图，正方形中，AB=\2, 点P在8C上运动（不与8、4C重合），过点。作交CD于点Q,则C0的最大值为.五、解答题（共4小题，共40分）（8分）已知二次函数y=/+x+a的图象与x轴交于/（xj,0）、B（x2,0）两点，且」^士=1，求a的值.X]x2（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知:①若ab>0（或且>0）,

①若ab>0（或且>0）,

b则<a>C）T（a<0或4 ；b>0[b<0②若ab<0（或且VO）,

b则，卜〉°或.b<0a<0b>0根据上述知识，求不等式（x-2）（x+3）>0的解集（x-2>0 （x-2<0解：原不等式可化为：⑴;或⑵ [上.x+3>0 [x+3<0由（1）得，x>2,由（2）得，x<-3,二原不等式的解集为：*<-3或》>2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题:(1)不等式/-2x-3<0的解集为.(2)求不等式史&V0的解集(要求写出解答过程)1-x(10分)如图，NABD=NBCD=90°,08平分NNOC,过点8作8M〃C£)交于此连接CM交DB于N.(1)求证：BD2=AD*CD；(2)若CZ)=6,AD=8,求MV的长.D(12分)如图，抛物线歹=ox2+bx+c的图象过点/(-1,0),B(3,0)、C(0,3).(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得4c的周长最小，若存在，请求出点尸的坐标及△尸4c的周长；若不存在，请说明理由；(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得S4pam=S&pac?若存在，请求出点M的坐标：若不存在，请说明理由.2019年四川省凉山州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，把正确选项的宇母填涂在答题卡上相应的位置.（4分）-2的相反数是（ ）A.2 B.-2 C..L D.--L2【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数.【解答】解：根据相反数的定义，-2的相反数是2.故选：A.【点评】本题考查了相反数的意义.注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0.（4分）2018年凉山州生产总值约为153300000000,用科学记数法表示数153300000000是（ ）A.1.533X109B.1.533X1O10C.1.533X10"D.1.533X1012【分析】利用科学记数法表示即可【解答】解：科学记数法表示：153300000000=1.533X1011故选：C.【点评】本题主要考查科学记数法的表示，把一个数表示成a与10的〃次幕相乘的形式（lWa<10,〃为整数），这种记数法叫做科学记数法.（4分）如图，BD//EF,AE与BD交于点、C,Z5=30°,ZJ=75°,则NE的度数为（ ）【分析】直接利用三角形的外角性质得出N/CD度数，再利用平行线的性质分析得出答案.【解答】解：*.•/8=30°,24=75°,ZACD=3Q0+75°=105°,•：BD//EF,：.ZE=ZACD=IQ5°.故选：D.【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键.（4分）下列各式正确的是（ ）A.2a2+3a2=5°4 B.a1*a=aiC.（a?）3=/ D.Q^2=a【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数事的乘法法则、塞的乘方法则以及二次根式的性质解答即可.【解答】解：4、2a2+3a2=5a2,故选项力不合题意；B、a2*a=a3,故选项8符合题意；C、（a2）3=a6,故选项C不合题意；。、yj~^=\a\,故选项。不合题意.故选：B.【点评】本题主要考查了合并同类项的法则、基的运算法则以及二次根式的性质，熟练掌握相关运算性质是解答本题的关键.（4分）不等式1-x2x-1的解集是（ ）A. B.x》-1 C.xWl D.xW-1【分析】移项、合并同类项，系数化为1即可求解.【解答】解：1-X2X-1,-2x2-2...xWl.故选：C.【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错.（4分）某班40名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示：人数（人）317137时间（小时）78910那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A.17,8.5 B.17,9 C.8,9 D,8,8.5【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数.【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8：由统计表可知，处于20,21两个数的平均数就是中位数，.•.这组数据的中位数为出=8.5；2故选：D.【点评】本题考查了中位数、众数的概念.本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.（4分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；②两点之间线段最短；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中，真命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据点到直线的距离，线段的性质，弧、弦、圆心角之间的关系以及垂径定理判断即可.【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；假命题；②两点之间线段最短；真命题：③相等的圆心角所对的弧相等；假命题；④平分弦的直径垂直于弦；假命题；真命题的个数是1个；故选：A.【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.（4分）如图，正比例函数y=Ax与反比例函数y=W■的图象相交于4、C两点，过点4x作x轴的垂线交x轴于点8,连接8C,则△Z8C的面积等于（ ）A.8 B.6 C.4 D.2【分析】由于点/、C位于反比例函数图象上且关于原点对称，则$△%（=$△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义作答即可.【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即s=”.所以△NBC的面积等于2乂1用=因=4.2故选：C.【点评】主要考查了反比例函数y=K中左的几何意义，即过双曲线上任意一点引xx轴、y轴垂线，所得矩形面积为因，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解女的几何意义.图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=^|.TOC\o"1-5"\h\z（4分）如图，在△48C中，CA=CB=4,cosC="L,则sin5的值为（ ）B CA.叵 B.叵 C•返 D.叵2 3 4 4【分析】过点4作ZO_L8C,垂足为O,在RtZ\4C£＞中可求出8的长，在RtA中，利用勾股定理可求出43的长，再利用正弦的定义可求出sin5的值.【解答】解：过点4作NOLBC,垂足为。，如图所示.

在RtZXACQ中，CD=C4*cosC=l,；"〃=402@2=任:在RtZ\/8。中，BD=CB-CD=3,AD=y/l^,7bd2+ad2=2^)：.AB=【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出：.AB=AD, 的长是解题的关键.(4分)如图，在△/8C中，。在/C边上，ADzDC=\：2,。是8。的中点，连接A.1：2 B.1：31：42：3A.1：2 B.1：31：42：3【分析】过。作8C的平行线交4c与G,由中位线的知识可得出/£>：DC=\：2,根据已知和平行线分线段成比例得出N£>=Z>G=GC,AG：GC=2：1,AO：OF=2：1,再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出BF：尸C的比.【解答】解：如图，过。作0G〃8C,交AC于G,是8。的中点，；.G是。C的中点.又AD：DC=1：2,：.AD=DG=GC,：.AG：GC=2：1,AO：OE=2t1.，SA4O8：S^boe=2设S48OE=S,S“ob=2S，又BO=OD,:・Sraod=2S，S^abd=4S,*：AD：DC=\：2,:♦S△bdc=2S28口=85，S四边形cooe=7S,•'•S△/ec=9S，S«be=3s,...BE^_SAABE_3S」ECSAAEC9s3故选：B.【点评】本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式.（4分）如图，在△ZOC中，OA=3cm,OC=\cm,将△4OC绕点。顺时针旋转90°后得到△80。，则NC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）c3A.— B.2n C.ILr D.12n2 8 8【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解.【解答】解：•.•△/OC丝△8。。，2...阴影部分的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积=%"1T义§_飨兀xj=2n,360故选：B.【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积是解题关键.（4分）二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①3a-6=0；@b2-4ac>0：③5a-2b+c>0：④46+3c>0,其中错误结论的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【分析】①对称轴为x=-X得6=3a；②函数图象与x轴有两个不同的交点，得△=»-4m>0；③当x=-l时，a-b+c>0,当x=-3时，9a-3b+c>0,得5a-2b+c>0；④由对称性可知x=l时对应的y值与x=-4时对应的y值相等，当x=l时a+b+cV0>4b+3c=3b+6+3c=3b+3a+3c=3（a+b+c）VO；【解答】解：由图象可知a<0,c>0,对称轴为》=-上，2\=-3=.b.•人 ,22a:・b=3a,①正确；:函数图象与X轴有两个不同的交点，.'.△=/>2-4ac>0,②正确：当x=-1时，a-b+c>0,当x=-3时，9a-3b+c>0,.".5a-2什c>0,③正确；由对称性可知x=l时对应的y值与x=-4时对应的y值相等，.,.当x=l时a+b+cVO,•：b=3a,；.4b+3c=3b+b+3c=3b+3a+3c=3(a+b+c)<0,/.4h+3c<0,④错误；故选：A.【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键.二、填空题(共5个小题，每小题4分，共20分)(4分)方程组卜+尸1°的解是_卜=6一(2x+y=16 ［尸4【分析】利用加减消元法解之即可.【解答】解：卜+尸1°①，l2x+y=16②②-①得：x=6,把x=6代入(J)得：6-^=10,解得：y-4,方程组的解为：(x=6,y=4故答案为：(x=6ly=4【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键.(4分)方程&旦+—1^=1的解是x=-2.xT1-x2【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，求解并验根即可.［解答］解：2xzL一2一.x-1(x+1)(X-1)去分母，得(2x-1)(x+1)-2=(x+1)(x-1)去括号，得"+工-3=/-1移项并整理，得/+x-2=0所以（x+2）（x-1）=0解得x=-2或x=l经检验，x=-2是原方程的解.故答案为：x=-2.【点评】本题考查了分式方程、一元二次方程的解法.掌握分式方程的解法是解决本题的关键.注意验根.（4分）如图所示，48是。。的直径，弦于，，/4=30°,。。=2返，贝U【分析】连接8C，由圆周角定理和垂径定理得出NZC8=90°,CH=DH=idCD=M2,由直角三角形的性质得出4C=2C，=2a/&/C=J9C=2J5,AB=2BC,得出8c=2,4B=4,求出04=2即可.【解答】解：连接8C,如图所示：,：AB是。。的直径，弦CDL4B于H,二4C8=90。，CH=DH="d=M，2VZ/4=3O°,：.AC=2CH^2y/3<在RtZ\Z8C中，N4=30°,：.AC=y/3BC=2y/3>AB=2BC,：.BC=2,AB=4,：.OA=2,即。。的半径是2：故答案为：2.【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.(4分)在口488中，E是X。上一点，且点E将40分为2：3的两部分，连接BE、AC相交于尸，则S/x/e尸Smrf是4：25或9：25.【分析】分/氏£0=2：3、AE；ED=3：2两种情况，根据相似三角形的性质计算即可.【解答】解：①当4氏ED=2：3时，■:四边形ABCD是平行四边形，：.AD//BC,AEzBC=2：5,:.XAEFsXCBF,:,S4aef：Smbf=(2)2=4：25；5②当4E：ED=3：2时，同理可得，S&^ef：S/\c"=(―)2=9：25>故答案为：4：25或9：25.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.(4分)将抛物线、=(x-3)2-2向左平移3个单位后经过点N(2,2).【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案.【解答】解：•.•将抛物线y=(x-3)2-2向左平移后经过点Z(2,2),二设平移后解析式为：y=(x-3+a)2-2,则2=(2-3+a)2-2,解得：。=3或。=-1(不合题意舍去),故将抛物线y=（x-3）2-2向左平移3个单位后经过点4（2,2）.故答案为：3.【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键.三、解答题（共5小题，共32分）（5分）计算：tan45°+（返-&）0-（--k）-+|a-2|.【分析】分别进行特殊角的三角函数值的运算，任何非零数的零次事等于1,负整数指数基以及绝对值的意义化简，然后按照实数的运算法则进行计算求得结果.【解答】解：原式=1+1-2+（2-J3）=2-^/3-【点评】本题考查了实数的运算法则，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握负整数指数基、特殊角的三角函数值等知识.（5分）先化简，再求值：（a+3）2-（a+1）（a-1）-2（2a+4）,其中a=-L.2【分析】注意到（a+3）2可以利用完全平方公式进行展开，（a+1）（a-1）利润平方差公式可化为则将各项合并即可化简，最后代入。=，■进行计算.2【解答】解：原式=。2+6。+9-（a2-1）-4a-8=2a+2将a=-Lf弋入原式=2X（-_1_）+2=12 2【点评】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变（6分）如图，正方形48co的对角线/C、8。相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点4作垂足为与8。相交于点尸.求证：OE=OF.【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到08=04,根据即可得出NM£Z+/M4E=90°=NAFO+NMAE,从而证出 得至I」OE=OF.【解答】证明：•・,四边形45CQ是正方形.；.NBOE=NAOF=90°,OB=OA.又•：AMLBE,：.ZMEA+ZMAE=90°=N4FO+NM4E,：.ZMEA=ZAFO.：./\BOE^AAOFCAAS）.：.OE=OF.【点评】本题主要考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.（8分）某校初中部举行诗词大会预选赛，学校对参赛同学获奖情况进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图.请结合图中相关数据解答下列问题：获奖情况条形统计图 获奖情况扇形统计图获奖情况条形统计图 获奖情况扇形统计图86420864201AIX1X1X1X（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有40人:（2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为（3）将条形统计图补充完整；（4）若获得一等奖的同学中有!来自七年级，工来自九年级，其余的来自八年级，学4 2校决定从获得一等奖的同学中任选两名同学参加全市诗词大会比赛，请通过列表或树状图方法求所选两名同学中，恰好是一名七年级和一名九年级同学的概率.【分析】（1）利用鼓励奖的人数除以它所占的百分比得到的总人数：（2）用360。乘以二等奖人数占被调查人数的比例即可得；（3）计算出一等奖和二等奖的人数，然后补全条形统计图：（4）画树状图（用Z、B、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）展示所有12

种等可能的结果数，再找出所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数，然后利用概率公式求解.【解答】解：（1）参加此次诗词大会预选赛的同学共有18・45%=40（人），故答案为：40；（2）扇形统计图中获三等奖的圆心角为360°义坨=90°,40故答案为：90°.（3）获二等奖的人数=40X20%=8,一等奖的人数为40-8-10-18=4（人），条形统计图为：获奖情况条形统计图 获奖情况扇形统计图864208642011864208642011L11（4）由题意知，获一等奖的学生中，七年级有1人，八年级有1人，九年级有2人，画树状图为：（用4、8、C分别表示七年级、八年级和九年级的学生）ABC CA\ A\BCcAcCABCABC共有12种等可能的结果数，其中所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的结果数为4,所以所选出的两人中既有七年级又有九年级同学的概率上-=■1.123【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件/或8的结果数目然后利用概率公式求事件Z或8的概率.也考查了统计图.（8分）如图，点。是以Z8为直径的。。上一点，过点8作。。的切线，交的延长线于点C,E是8c的中点，连接OE并延长与的延长线交于点尸.（1）求证：。尸是。。的切线；(2)若OB=BF,EF=4,求ZO的长.【分析】(1)连接OO,由48为。。的直径得NBOC=90°,根据8E=EC知N1=N3、由00=08知/2=N4,根据8c是。。的切线得N3+N4=90°,即Nl+N2=90°.得证；(2)根据直角三角形的性质得到N尸=30°,BE=1^F=2,求得DE=BE=2,得到2DF=6,根据三角形的内角和得到OO=CM,求得/4=//。0=//80£)=30°,根据等腰三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)如图，连接O。，BD,.78为。。的直径，：.N4DB=NBDC=90°,在RtABDC中，BE=EC,：.DE=EC=BE,/1=/3,・,8C是。。的切线，・・N3+N4=90°,・・N1+N4=9O°,又・・・N2=N4,・・N1+N2=9O°,・・。户为OO的切线；(2).：OB=BF,：.OF=2OD,：.ZF=30°,VZFBE=90°,：.BE=1.EF=2,2:.DE=BE=2,:・DF=6,VZF=30°,NO。尸=90°,：.ZFOD=60°,9：OD=OA,：.ZA=ZADO=L^/BOD=30°,NA=NF,：.AD=DF=6.【点评】本题考查了切线的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.四、B卷填空题(共2小题，每小题5分，共10分)(5分)当0<x<3时，直线y=a与抛物线产=(x-1)2-3有交点，则a的取值范围是.-3WaW1.【分析】直线y=a与抛物线、=(x-1)2-3有交点，则可化为一元二次方程组利用根的判别式进行计算.【解答】解：法一：y=a与抛物线歹=(x-1)2-3有交点则有a=(x-1)2-3,整理得/-2x-2-a=0.,.△=Z>2-4ac=4+4(2+a)20解得a2-3,,.,0Wx《3,对称轴x=l：.y=(3-1)2-3=1法二：由题意可知，•抛物线的顶点为(1,-3),而0«3二抛物线y的取值为-

'.'y=a,则直线y与x轴平行，.•.要使直线y=a与抛物线、=（x-1）2-3有交点，二抛物线y的取值为即为。的取值范围，故答案为：【点评】此题主要考查二次函数图象的性质及交点的问题，此类问题，通常可化为一元二次方程，利用根的判别式或根与系数的关系进行计算.（5分）如图，正方形48CZ）中，48=12, 点P在8c上运动（不与8、4C重合），过点P作交CD于点Q,则C。的最大值为4..4 D:□“p J【分析】先证明△BPEs/iCQP,得到与C0有关的比例式，设C0=y,BP=x,则CP=12-x,代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值.【解答】解：:NBEP+NBPE=90°,NQPC+NBPE=90°,二NBEP=ZCPQ.又N8=/C=90°,：.4BPEsXCQP.二BE二BP"pc=cq"设C0=y,BP=x,贝I]CP=12-X.9_9_x12-xy化简得y=_—(/-12x),整理得y=-L(x-6)2+4,

9所以当x=6时，y有最大值为4.故答案为4.【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想.五、解答题（共4小题，共40分）

（8分）已知二次函数y=x2+x+a的图象与x轴交于彳（xp0）、B（jq，0）两点，且-^2+-^2=1'求。的值•X1x2【分析】有韦达定理得xi+x2=-1,xi・X2=a,将式子」豆=1化简代入即可;X1x2【解答】解：>=♦+・什。的图象与x轴交于4（肛，0）、B（初，0）两点，.•・町+%2=~1，工]・工2=。，..1,1—xj+x2.（Xi+x2）2-2xiX2_i_2ahi, 2 2 22- / 、2 -2-'X] X] （X[X2， a.'.a=-1+&或a=-1-【点评】本题考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键.（10分）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab>0（或且>0）,

b则卜〉。①若ab>0（或且>0）,

b则卜〉。b>0或<a<C0

b<0'②若ab<0（或且<0）,

b则,卜>0或.

b<0a<0b>0根据上述知识，求不等式（x-2）（x+3）>0的解集fx-2>0 （x-2<0解：原不等式可化为：（1）J；或（2）J二.x+3>0 x+3<0V由（1）得，x>2,由（2）得，x<-3,二原不等式的解集为：》<-3或》>2.请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2-2x-3<0的解集为-l<x<3.（2）求不等式史&VO的解集（要求写出解答过程）1-x【分析】（1）根据有理数乘法运算法则可得不等式组，仿照有理数乘法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得.（2）根据有理数除法运算法则可得不等式组，仿照有理数除法运算法则得出两个不等式组，分别求解可得.【解答】解：⑴原不等式可化为:①二或②二.x+l<0 x+l>0V由①得，空集，由②得，-1<x<3,二原不等式的解集为：故答案为：7<xV3.,.,Y+4 , fx+4^>0 fx+4<C0(2)由知①I 或②4 ,l-x[l-x<0 [l-x>0解不等式组①，得：x>l；解不等式组②，得：xV-4；所以不等式五2<0的解集为x>l或x<-4.l-x【点评】本题主要考查解不等式、不等式组的能力，将原不等式转化为两个不等式组是解题的关犍.(10分)如图，NABD=NBCD=90°,平分N/CC,过点B作BM〃CD交AD于A/.连接CM交DB于N.(1)求证：BD1=AD'>CD；(2)若CD=6,AD=8,求KV的长.B C【分析】(1)通过证明△{8£>sZ\bc。，可得坦JL,可得结论；BD-CD(2)由平行线的性质可证NM8£>=N8OC,即可证4l/=A7£)=A/8=4,由8£>2=/£).CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNBs^cN。，可得地理=2,即可求CD-CN-3MN的长.【解答】证明：(1);OS平分N/OC,:.NADB=NCDB,且N8CO=90AABDsABCD.ADBD••-"——BD-CD：.BD1=AD-CD(2),JBM//CD：.NMBD=ZBDC：.NADB=NMBD,且N/8O=90°：.BM=MD,NMAB=NMBA：.BM=MD=AM=4'：BD2=AD-CD,且CO=6,40=8,/.B£>2=48,：.BC2=BD1-CD2=12：.MC2=MB2+BC2=2S：.MC=2\[j,JBM//CD:.AMNBsMND【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键.(12分)如图，抛物线y=ox2+bx+c的图象过点/(-1,0),B(3,0)、C(0,3).(1)求抛物线的解析式：(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得4c的周长最小，若存在，请求出点尸的坐标及的周长；若不存在，请说明理由:(3)在(2)的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M(不与C点重合)，使得Smam=S&pac?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由于条件给出抛物线与x轴的交点4(-1,0)、B(3,0),故可设交点式y=a(x+1)(x-3),把点C代入即求得a的值，减小计算量.(2)由于点4、8关于对称轴：直线x=l对称，故有则Czvmc=AC+PC+PA=AC+PC+PB,所以当C、P、8在同一直线上时，C^pac=AC+CBM小.利用点4、B、C的坐标求/C、C8的长，求直线8c解析式，把x=l代入即求得点尸纵坐标.(3)由时=Sz^xc可得，当两三角形以以为底时，高相等，即点C和点M到直线尸/距离相等.又因为M在x轴上方，故有CW〃尸4由点4、尸坐标求直线/尸解析式，即得到直线CW解析式.把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标.【解答】解：(1)I•抛物线与x轴交于点4(-1,0)、B(3,0)可设交点式y=a(x+1)(x-3)把点C(0,3)代入得：-3a=3：.a=-1：.y=-(x+1)(x-3)=-/+2x+3二抛物线解析式为歹=--+2x+3(2)在抛物线的对称轴上存在一点尸，使得的周长最小.如图1.连接尸8、BC••,点尸在抛物线对称轴直线x=l上，点A、8关于对称轴对称：.PA=PB：.C^pAc=AC^-PC+PA=ac+pc+pb・•当C、P、8在同一直线上时，PC+PB=CB最小9：A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)-'•?fC=Vl2+32=V10,^C=>/32+32=3V2**Cm4c=AC+CB=^10+最小设直线BC解析式为y=履+3把点8代入得：3%+3=0,解得：k=-1，直线BC：y=-x+3\yp=-1+3=2工点尸(1,2)使△尸4c的周长最小，最小值为(3)存在满足条件的点A/,使得S/\p/w=S/\p/c."•S^PAM=S/\PAC...当以尸/为底时，两三角形等高...点C和点M到直线PA距离相等.•M在x轴上方J.CM//PA：A(-1,0),P(1,2),设直线力尸解析式为y=px+d,f-p+d=0解得：(p=l(p+d=2 Id=l二直线X尸：y=x+\...直线CM解析式为：y=x+3y=x+3 fxj=0 f«2=1•• „ 解得：, (即点C),,Ly=-x2+2x+3 1/1=3 [y2=4...点M坐标为（1,4）

图1【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法.其中第(3)题条件给出点加在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单.初中数学重要公式1、几何计数：⑴当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在条线段.(2)平面内有n个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在条直线.⑶如果平面内有"条直线，最多存在个交点.⑷如果平面内有n条直线，最多可以将平面分成部分.(5)、有公共端点的"条射线(两条射线的最大夹角小于平角)，则存在个角.2,AB//CD,分别探讨下面四个图形中//吹与/以8、NAN的关系。3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于.5、n边形的内角和等于:多边形的外角和都等于.6、在四边形的四个内角中，最多能有—3一个钝角，最多能有—3一个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加180—度.4."边形有条对角线.5,用、完全相同的一种或几种进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，就是平面图形的.［注意］要实现平面图形的镶嵌，必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成°.［总结］平面图形的镶嵌的常见形式⑴用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或个正四边形或个正六边形.⑵用两种正多边形镶嵌①用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和个正四边形；②用正三角形和正六边形镶嵌：用个正三角形和个正六边形或者用个正三角形和个正六边形；③用正四边形和正八边形镶嵌：用个正四边形和个正八边形可以镶嵌.（3）用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则有60m+90n+l20k=360,整理得,因为m、n、k为整数，所以m=,n-.k=,即用块正方形，块正三角形和块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如图：RtA48C中,则有：(1)、NACD=/B(2)由RtA46Cs7、如图：RtA48C中,则有：(1)、NACD=/B(2)由RtA46Csz/\ce=90°,CDLAB于D,NDCB=/ARtA4CD得到AC?=AD•AB30°45*60°Sinaj_2旦TV3VRtACBD得到CD2=ADBD(3)、由等积法得到ABXCD=ACXBC8、若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，51+52=53都成立。由RtA4CDs9、在解直角三角形时常用词语:.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做,视线在水平线下方的叫做..坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度I之比叫,用字母i表示，即1=,把坡面与水平面的夹角叫做,记作a,于是i==tana,显然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡.10.正多边形的有关计算~ 180°边长：a〃=2用・sin n180°边心距：rn=Rn•cos n□Z7-2DX180°内角： 周长：Pn=n•an面积：Sn^-an♦nc360° qc外角： 中心角:n360°n11、特殊锐角三角函数值CosaV3VV2T2tanaV31V3Cota1V3~T12、某些数列前n项之和l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+...+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+l)13、平行线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：a〃b〃c,直线/i与L分别与直线a、b、c相交与点八、8、C和0、E、n,^ABDEABDEBCEF则有 = , = , = BCEFACDFACDF(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。如图：ZViBC中，DE//BC,DE与AB、AC相交与点D、E,则+ADAEADAEDEDBEC,DB~EC'AB~AC~BC'AB~AC14、极差、方差与标准差计算公式：①极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值：②方差：数据X］、x2 ,X"的方差为$2,

③标准差：数据X］、x2 ,X〃的标准差S,一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。+『，顶点是15、求抛物线的顶点、对称轴的方法+『，顶点是①公式法：y=ax2+bx+c=cnx-\ 12a,（一_L,处二Q）,对称轴是直线x=-22a4a 2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-/?）2+4的形式，得到顶点为（〃,左），对称轴是直线x=/z。③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点（须））、（》2J）（及y值相同），则对称轴方程可以表示为：x=±±Z216、直线与抛物线的交点①y轴与抛物线y=〃/+bx+c得交点为。c）。②抛物线与x轴的交点。二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标王、x2,是对应一元二次方程or?+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点＜=＞（4＞0）＜=＞抛物线与x轴相交；b有一个交点（顶点在x轴上）＜=＞（△=0）＜=＞抛物线与x轴相切；c没有交点＜=＞（△＜0）＜=＞抛物线与x轴相离。③平行于x轴的直线与抛物线的交点同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为左，则横坐标是or2+bx+c=〃的两个实数根。④一次函数y=kx+n（kW0）的图像/与二次函数y=ax2+6x+c（q工0）的图y=kx+n像G的交声，由方程组’ .的解的数目来确定：y=ax+bx+ca方程组右两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交点；c方程组无解时＜=＞/与G没有交点。⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为N（Xi，O）0）,则=-引图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在上.二、线段垂直平分线.性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离..判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上.［点拨］线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：.定义：有两相等的三角形是等腰三角形..性质：⑴等腰三角形两个腰.(2)等腰三角形的两个底角(简写成等边对等角).(3)等腰三角形的顶角,底边上的,底边上的 互相重合.⑷等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴.［注意］(1)等腰三角形两腰上的高相等.(2)等腰三角形两腰上的中线相等.(3)等腰三角形两底角的平分线相等.⑷等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.⑸等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.⑹等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.⑺等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：.定义法..如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).［注意］(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.(3)一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形.等边三角形的性质⑴等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60°.⑶等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴.［注意］等边三角形具有等腰三角形的所有性质..等边三角形的判定(1)三条边相等的三角形叫做等边三角形.(2)三个角相等的三角形是等边三角形.⑶有一个角等于60°的三角形是等边三角形五、直角三角形.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形..直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角.(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的.⑶在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那么a2+b2.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是三角形.(2),如果三角形的三边长分别为O、b、C,满足02+b2=c2,那么这个三角形是三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。⑷、直径所对