十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编新高考卷与全国专题12立体几何与空间向量解答题（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新高考卷与新课标理科卷)专题12立体几何与空间向量解答题...◎真题汇总....1.【2022年全国甲卷理科18】在四棱锥P-48CD中，PD_L底面48CD,CDII=DC=CB=L4B=2,DP=V3.(1)证明：BD1PA-.(2)求尸。与平面PAB所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；【解析】(1)证明：在四边形4BC。中，作DE14B于E,CFLAB^F,因为CD〃4B,4D=CD=CB=l.AB=2,所以四边形48C。为等腰梯形，AE F8所以4E=BF=5故DE=—.BD=\lDE2+BE2=V3.2所以业+8。2=朋,所以4。1BD,因为P。_L平面4BCC,BDu平面ABCD,所以PDJ.B。，乂PDnAD=D,所以8。_L平面PAD,又因P4u平面PAD,所以8DJ.P4(2)解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,AZXBD=V3»则4(1,0,0),3(0,V3,0),P(0,0,V5),则Q=(-1,0,V3),前=(0,—AV3),DP=(0,0,V3),设平面P4B的法向量济=(x,y,z)»则有｛一,=T+岳=°,可取五n-BP=—\[3y+V3z=0则cos值前＞=赢=?,所以P。与平面PAB所成角的正弦值为2.【2022年全国乙卷理科18】如图，四面体4BCC中，AD1CD,AD=CD.^DB=/.BDC,E为4c的中点.D(1)证明：平面BEDI平面4CD；(2)设AB=BD=2,乙4cB=60。，点尸在BD上，当AAFC的面积最小时，求CF与平面4BD所成的角的正弦值.【答案】(1)证明过程见解析(2)CF与平面4BC所成的角的正弦值为华【解析】(1)因为AD=C。，E为4c的中点，所以4C1DE；在4/18。和4CBD中，因为A。=CD/ADB=Z.CDB,DB=DB,所以△48。三ACBO,所以4B=CB,又因为E为4c的中点，所以4C1BE；又因为DE,BEu平面BED,DEnBE=E,所以AC1平面BED,因为ACu平面4CD,所以平面BE。1平面4CD.(2)连接EF,由(1)知，AC_L平面BE。，因为EFu平面BE。，所以4C1EF,所以S“fc="C,EF,当EF_LB。时，EF最小，即aAFC的面积最小.因为△力BD三ACBD,所以CB=4B=2,又因为N4CB=60。，所以△48C是等边三角形，因为E为AC的中点，所以4E=EC=1,BE=6因为A。1C。，所以DE=g/lC=l,在△CEB中，DE2+BE2=BD2,所以BEJ.CE.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则4(1,0,0),8(0,6,0),。(0,0,1),所以标=(-1,0,1),南=(-1,73,0),设平面48。的一个法向量为五=(x,y,z),则|/遂=一：+怖=°,取y=V5,m=(3,73,3),in-AB=—x+73y=0z v7又因为C(-1,0,0),「(0,亨,3,所以汴=(I,弟3,/一E：\ n-27 6 4V3所以cos(n,CF)=而同=菽^=丁，设CF与平面4BD所成的角的正弦值为。(0<0<^),所以sine=|cos(n,CF)|=竽，所以"与平面ABC所成的角的正弦值为竽3.【2022年新高考1卷19］如图，直三棱柱ABC-AiBig的体积为4,△4BC的面积为2注.B⑴求/到平面4BC的距离；(2)设。为4c的中点，441=4B,平面4BC1平面ABBMi，求二面角4一BD-C的正弦值.【答案】⑴夜【解析】(1)在直三棱柱4BC-4B1C1中，设点力到平面418c的距离为〃，则V4-418c=]Sa4[BC,h=苧八=Vai-ABC=(Sa48C•4送=ABC-AiBjCx=J'解得h=V2>所以点4到平面ABC的距离为我：(2)取4出的中点E,连接4E,如图，因为44i=AB,所以AEJ.4B.又平面4BC1平面平面418CC平面4BB14=AXB,且AEu平面ABB14,所以AE1平面&BC,在直三棱柱48C-4B1C1中，8811■平面4BC,由BCu平面&BC,BCu平面ABC可得AE1BC,BBX1BC,又AE,BBiu平面48B1&且相交，所以8C_L平面488送1,所以两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,由(1)得AE=&，所以44i=4B=2,AXB=2V2.所以BC=2,则4(0,2,0),%(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以41c的中点。(1,1,1),则前=(1,1,1).BA=(0,2,0),FC=(2,0,0),设平面ABD的一个法向量记=(x,y,z),则产廿二"+y+z=0,m-BA=2y=0可取记=(1,0,-1),设平面BDC的一个法向量元=(a,b,c),则｛记, +b+c=0,m-BC=2a=0可取元=(0,1,—1)»则85(叫磔=而而=析=5，所以二面角A-BD-C的正弦值为Jl-(1)2=争4.【2022年新高考2卷20］如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,AB1AC,E是PB的中点.p(1)证明：OE〃平面24C：(2)若乙4B0=/CBO=30。，P0=3,PA=5,求二面角C-AE—B的正弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】(1)证明：连接BO并延长交4c于点。，连接04、PD,因为P0是三棱锥P-4BC的高，所以POJ■平面ABC,40,80u平面ABC,所以P0_L4。、P01B0,又P4=P8,所以△POAMAPOB,即OA=OB,所以/O4B=nOB4又481AC,即MAC=90。，所以NOAB+NOA。=90。，/.OBA+/.ODA=90°,所以NODA=LOAD所以40=DO,即4。=DO=OB,所以。为BC的中点，又E为PB的中点，所以。E〃PD,又OEU平面PAC,PDu平面P4C,所以OE〃平面PAC(2)解：过点A作4z〃0P,如图建立平面直角坐标系,因为PO=3,AP=5,所以OA=，Ap2-po2=4,y八又=NOBC=30。，所以8。=204=8,则4。=4,AB=4瓜所以4c=12,所以0(2心2,0),B(4V3,0,0),P(2V3,2,3),C(0,12,0),所以£(3百,1身，则荏=AB=(473,0,0),m=(0,12,0),设平面AEB的法向量为if=(x,y,z),则""^3V3x+y+-z°,令％=2,则y=-3,x=0,所以五=(n-AB=4>/3x=0(0,-3,2)；设平面AEC的法向量为沅=(a,瓦c),贝“沆.4E=^a+"+Tc=°,令&=百，则c=-6,b=0,所以Im-AC=12b=0m=(V3,0,-6)；所以cos(ntm)==——、，/向利^J3xV39 13设二面角C-AE-8为仇由图可知二面角C-AE-8为钝二面角，所以cos0,所以sin。=Vl-cos2013 13故二面角C一AE-8的正弦值为日；5.12021年全国甲卷理科19】已知直三棱柱43。一418传1中，侧面4413/为正方形，AB=BC=2,E,产分别为4c和CCi的中点，。为棱41占上的点.BF141B1

(1)证明：BFLDE-,(2)当々D为何值时，面B/CiC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？【答案】(1)见解析；(2)因为三棱柱4BC-41B1C1是直三棱柱，所以881_L底面4BC,所以BB114B因为418/AB,BFlAiBi，所以又= 所以4BJ■平面BCCiB「所以两两垂直.以B为坐标原点，分别以所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.Vk所以B(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),8式0,0,2),4式2,0,2),口(0,2,2),E(l,1,0),尸(0,2,1).由题设。(a,0,2)(0<a<2).(1)因为BF=(0,2,1),DE=(1—a,1,-2),所以BFDF=0x(l-a)+2xl+lx(-2)=0.所以BF1DE.(2)设平面OFE的法向量为沆=(x,y,z),因为EF=(-1,1,1),DF=(1-a,l,-2)咐、“mEF=O即,-x+y+z=0所以{mOE=。'BP{(l-a)x+y-2z=0-令z=2—a,则m=(3,1+a,2—a)因为平面BCG%的法向量为瓦J=(2,0,0)，设平面BCC/i与平面OEF的二面角的平面角为。，则如四=黯=前』=而占方当a=轲，2q2-2a4-4取最小值为学3V6此时cos。取最大值为量=T.所以(SinO)min=J1-(孚)2=亭此时/D6.【2021年新高考1卷20］如图，在三棱锥4—BCD中，平面4BD_L平面BCD,AB=AD,。为BD的中点.(1)证明：OA1CD.(2)若AOCD是边长为1的等边三角形，点E在棱40上，DE=2EA,且二面角E—BC-D的大小为45。,求三棱锥A—BCD的体积.【答案】(1)详见解析(2)在6(1)因为AB=AD,0为BD中点，所以AOJ_BD因为平面ABDCI平面BCD=BD,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,因此AO_L平面BCD,因为COU平面BCD,所以AOJ_CD⑵作EFJ_BD于F,作FMJ_BC于M,连FM因为AO_L平面BCD,所以AO_LBD,AO1CD所以EF±BD,EF1CD.BDdCD=D,因此EF_L平面BCD,即EF1BC因为FM_LBC,FMClEF=F，所以BCJ■平面EFM,HPBC1MF则4EMF为二面角E-BC-D的平面角，/EM尸=彳因为8。=OO.AOCD为正三角形，所以△OCD为直角三角形因为BE=ZED,：FM=-BF=-(1+-)=-从而EF=FM=：AO=1•：AO_L平面BCD,所以，=^AO-Sabcd=；xlx；xlxV3=与J J L O7.【2021年全国乙卷理科18］如图，四棱锥P-4BCD的底面是矩形，PC_L底面4BCD,PD=DC=1,M为BC的中点，且PB14M.(1)求BC；(2)求二面角4一PM-B的正弦值.

【答案】(I)V2;(2)叵14(1)PO1平面4BC0,四边形4BCD为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA.DC.DP所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系0-xyz,[P设BC=2q,则0(0,0,0)、P(0,0,1),B(2a,1,0),M(a,1,0).A(2a,0,0).则同=(2a,l,-1)，AM=(-a,l,0).•••PB1AM,则丽・询=-2a?+1=o，解得a=弓，故BC=2a=低；(2)设平面P4M的法向量为记=(xqlzD，则加=(一手1,0),AP=(-V2,0,l)，^2.-AM= 无1+Vl=0⑶ r--rzn>r—由｛ 2 ,取无i=/，可得m=(鱼,1,2),m-AP=-叵X]+Zi=0设平面PBM的法向量为证=(M，y2，Z2)，BM=(-y,0,0),BP=(-V2,-1,1).瓜由｛n=-yx2=0 ，取力=1,可得完=(o,i,l),nBP=-\/2xz-y2+z2=0TOC\o"1-5"\h\z一一»I—mn3 3V14cos<tn.n>= =-7=—z== ,' |m||n| V7x>/2 14所以，sin<m,n>=J1—cos2<m,n>=叱14因此，二面角4-PM-B的正弦值为迪.8.[2021年新高考2卷19】在四棱锥Q-4BCD中，底面4BC。是正方形，若40=2,QD=QA=y[5,QC=3.

（1）证明：平面Q4D1平面4BCD；（2）求二面角B-Q。-4的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（2）*（1）取4D的中点为0,连接Q0,C0.因为Q4=QD,0A=0D.则Q01AD,而4D=2,QA=V5.故Q。=<5-1=2.在正方形ABCD中，因为4。=2,故。0=1,故C0=Z，因为QC=3,^QC2=QO2+OC2,故△Q0C为直角三角形且Q。_L0C,因为ocean=0,故qoi平面ABC。，因为QOu平面”。，故平面Q4D，平面4BCD.（2）在平面4BCD内，过0作OT//CD,交BC于T,则。T14D,结合（1）中的QOL平面48CD,故可建如图所示的空间坐标系.

B则D(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),故的=(-2,1,2),FD=(-2,2,0).设平面QBD的法向量记=(x,y,z),则U黑二即取xr则”Lz.故证=(1,1彳).而平面Q4。的法向量为沅=(1,0,0),故cos(记屈＞=$=*2二面角B-QD-4的平面角为锐角，故其余弦值为g.9.【2020年全国1卷理科18］如图，。为圆锥的顶点,0是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,4£=4。248(7是底面的内接正三角形，P为00上一点，P0崂DO.(1)证明：PA_L平面PBC；(2)求二面角B—PC-E的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）箜.【解析】（1）由题设，知AZME为等边三角形，设AE=1,TOC\o"1-5"\h\z则口0=更，CO=BO=：4E=3所以PO=揖DO=立，2 2 2 6 4\o"CurrentDocument"PC=y/PO2+OC2=—,PB=VPO2+OB2=—,4 4又AABC为等边三角形，则岑=204,所以B4=3,sin60 2PA2+PB2=-=AB2,则ZJ1P8=9O。，所以PA1PB.4同理PA1.PC,又PCPlPB=P,所以P4JL平面PBC；（2）过O作0N〃8c交43于点N,因为PO_L平面ABC,以O为坐标原点，O/为x轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E（一；,0,0）,P（0,0,巧,8（一0）,C（一；,一£0）,设平面PCB的一个法向量为元=Gq,yi，Zi）,由｛"器=3得卜”二£%-竺=°，令”伍得ZL1JL。，InPB=0 [-5+何[-V^zi=0所以M=（四,0,-1）,设平面PCE的一个法向量为=（x2,y2，z2）由UH,得卜必一何'岳2=0,令1,得Z2〜牖力=亭tmPE=0 （ -2x2-V2z2=0 3所以市=（1年,一伪

故cos故cos<m,n>=n-rfi设二面角B-PC-E的大小为。，则cos。=詈.10.【2020年全国2卷理科20]如图，已知三棱柱ZBC-小81G的底面是正三角形，侧面881GC是矩形,M,N分别为8C,81G的中点，尸为AM上一点，过81cl和尸的平面交力8于E,交4c于F.C1（1）证明：AA\//MN,且平面/“A/NLESG/7；（2）设。为△48iG的中心，若40〃平面E81GR且/O=48,求直线8行与平面44WN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）端【解析】（1）tM,N分别为BC, 的中点，••MNHBBi，乂AA\"BB\MNHAA、,在△ABC中，M为BC中点，则BC14M又•.•侧面BBigC为矩形，BC1BBX,vMNHBB],MN1BC,由MNCAM=M,MMAMu平面44MNaBC1平面44MN又•••B4//BC,且Big仁平面ABC,BCu平面ABC,••B£〃平面4BC又r u平面EBiCiF,且平面EB]CiFr(平面48c=EF:,BXCJ/EF••EFUBC,又丫BCJ_平面/MNEF1平面4"MNvEFu平面EBiC/二平面EBiC/1平面4/lMN(2)连接NP••40〃平面EBigF,平面40NPnTSlfBiQF=NP：.AOIINP,根据三棱柱上下底面平行，其面41NM4。平面ABC=AM,面A[NM4C平面4担16=①NAONHAP,故：四边形0NP4是平行四边形设44BC边长是61n(m>0)可得：ON=AP,NP=AO=AB=6m••O为△&B1G的中心，且4&B1C1边长为67naON=gx6xsin60°=V3m,故：0N=4P=bm•••EF//BC,AP_EP"am~赢’.6_EP"3VS-T,解得：EP=m在B1G假取B1Q=EP=m,故QN=2mvBiQ=EPRBQEP•••四边形BiQPE是平行四边形，•••B国/PQ,由(1)BiCi1平面A4MN故NQPN为BiE与平面A4MN所成角在Rt4QPN,根据勾股定理可得：PQ=，QP2+PN?=J(2m)2+(6m)2=./CQN2m710・•・sxn^QPN=芸=t-7=—=,yPQ2v40m 10直线/E与平面44MN所成角的正弦值：噜.11.[2020年全国3卷理科19]如图，在长方体4BCD- 中，点E,F分别在棱D%, 上,且2DE=ED1,BF=2FBX.4/4(1)证明：点G在平面4EF内；(2)若4B=2,AD=1,4Ai=3,求二面角4一EF-&的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)手.【解析】(1)在棱eg上取点G,使得gG=gCG,连接DG、FG、gE、CtF,在长方体4BCD—AiBigDi中，4D〃BC且40=BC,BB/CC1且BBi=CQ,•••CiG=^CG,BF=2FBi，*CG=：CCi= =BFFLCG=BF,所以，四边形BCGF为平行四边形，^\AFHDG[\.AF=DG,同理可证四边形DECiG为平行四边形，:GE//OG且gE=DG,•••gE〃A/且C[E=AF,则四边形4EC/为平行四边形，因此，点Ci在平面4EF内：(2)以点G为坐标原点，gOi、Ci/、CiC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系g—xyz,则4(2,1,3)、①(2,1,0)、£(2,0,2),产(0,1,1),3E=(0,-l,-l),4F=(-2,0,-2),取=(0,-1,2),取=(-2,0,1),设平面4EF的法向量为市=(M，yi，Zi),由粗空=>得匚｝工厂_°0取为=-1，得必=%=1，则抗kmAF=0I -u设平面AEF的法向量为近=(0,及，々)，由EfU，得厂之二2；2：〉取Z2=2,得必=1，'2=4,则冗=(1,4,2),(n-ArF=0(一4无2十Z2-u

,一一、ffin3V7cos<m,n>="―――=-y=—；==—,|m|-|H|V3xV2i7设二面角4-E产一4的平面角为0,则|cosO|=1,sinfl=V1-cos20=因此，二面角4-Er一A的正弦值为苧.12.【2020年山东卷20］如图，四棱锥P-48C。的底面为正方形，P£)_L底面/8CZ).设平面以。与平面P8C的交线为/.(1)证明：/_L平面尸DC；(2)已知PZA/O=1,。为/上的点，求PB与平面0co所成角的正弦值的最大值.【答案】⑴证明见解析；(2)当【解析】(1)证明：在正方形4BCD中，AD//BC,因为4。(£平面。8。，BCu平面PBC,所以平面PBC,乂因为4。u平面PAO,平面P4OC平面PBC=I,所以4D//1,因为在四棱锥P-4BCD中，底面4BCD是正方形，所以4D_L1CC,且P。平面4BCO,所以401P0•••11PD,因为CDCtPD=D所以IJ_平面PQC；(2)如图建立空间直角坐标系D-xyz,因为PD=AD=1,则有D(O,O,O),C(O,1,O),A(1,O,O),P(O,O,1),B(1,1,O),设Q(m,0,1),则有觉=(0,1,0),DQ=(m,0,1),西=(1,1,一1),设平面QCD的法向量为冗=(x,y,z),DCn=0即］y=0DQ-n=0'Imx+z=0令x=l,则z=-m,所以平面QCD的一个法向量为n=(1,0,-m),则_一, nPB 1+0+mcos<n,PB>=—,.=—, \n\\PB\V3-Vm2+1根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|cos<n,PB>\= =T-J1+Xim2=T-J1+烹T-T,J1+瑞~y-V1T1=y,当且仅当m=l时取等号，所以直线P8与平面QCD所成角的正弦值的最大值为当13.[2020年海南卷20]如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PO_L底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为/.(I)证明：/!.平面PDC；(2)已知尸£>=40=1,。为/上的点，求尸8与平面0co所成角的正弦值的最大值.【答案】⑴证明见解析：(2)y.【解析】(I)证明：在正方形ABCD中，AD//BC,因为平面PBC,BCu平面PBC,所以AD〃平面PBC,又因为4。u平面P4D,平面P4DCI平面PBC=I,所以4D//1,因为在四棱锥P-48C0中，底面48CD是正方形，所以4。1DC,JLDC,且PD1平面4BCD,所以401PD,l_LPD,因为CDCPC=D所以11平面PDC；(2)如图建立空间直角坐标系D-xyz,因为PD=4D=1,则有。(0,0,0),C(0,l,0),4(l,0,0),P(0,0,1),B(l,1,0),设Q(m,0,1),则有配=(0,1,0),DQ=(m,0,1),PB=设平面QCD的法向量为Tt=(x,y,z),

DCn=0即［y=0DQn=0'tmx+z=0'令x=l,则2=-帆，所以平面QCD的一个法向量为元=(1,0,-m).则cos<则cos<n,PB>=nPB

\n\\PB\1+0+my/3-\/m2+l根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于|3＜几两＞|=兴禹=泽若・斤粤W= 当且仅当m=1时取等号，所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为当14.【2019年新课标3理科19】图1是由矩形/。£8、RtZL48C和菱形8/GC组成的一个平面图形，其中AB=\,BE=BF=2,NFBC=60；将其沿48,8c折起使得BE与8F重合，连结OG,如图2.图1 图2(1)证明：图2中的4C,G,力四点共面，且平面/8C_L平面8CGE；(2)求图2中的二面角8-CG-4的大小.【答案】证明：(1)由已知得CG//BE,：.AD//CG,：.AD,CG确定一个平面，：.A,C,G,。四点共面，由已知得AB1.BC,：.ABk^BCGE,*8u平面ABC,二平面/1BC_L平面BCGE.解：(2)作EHLBC,垂足为“，；EHu平面BCGE,平面8CGE_L平面ABC,平面48C,由已知，菱形8CGE的边长为2,NEBC=60：EH=®以〃为坐标原点，HC的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系〃-型,

则/(-1,1,0),C(I,0,0),G(2,0,V3),—♦ —>CG=(1,0,V3),AC=(2,-1,0),设平面ZCGO的法向量蔡=(x,v,z),JcG.n=x+V3z=0>取尸3,得心⑶6,—同(AC•n=2x—y=0又平面8CGE的法向量为藐=(0,I,0),TT i—・ 1―-»n-m v3..cos<n, —=-y,二面角8-CG-4的大小为30°.【答案】证明：【答案】证明：(I)15.【2019年全国新课标2理科17］如图，长方体488-418cgi的底面48co是正方形，点E在棱4小上，BE±ECi.(1)证明：8EJ■平面EB\C\；(2)若求二面角8-EC-Ci的正弦值.长方体4BCD-小BCifh中，8iCiJ_平面皿1曲,：.B\C\LBE,'：BEVEC\,.♦.8E_L平面EB\C\.

解：(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设4E-1, 从L平面：.BELEB\,：.AB=\,则E(1,1,1),A(1,1,0),5i(0,1,2),Ci(0,0,2),C(0,0,0),,：BCX.EB\, 面ESC,. T T故取平面E8C的法向量为m=E8i=(-1,0,1),设平面£CCi的法向量％=(x,y,z),由匕作1=°,得｛二;+z=o,取x=l，得a(1，7,。)，vn•CE=0—»—»—tTTl,Tlcos<m，n>=—―=—y,V3，二面角8-EC-。的正弦值为彳.ZBAD16.【2019年新课标1理科18］如图，直四棱柱Z8CC-小81cl5的底面是菱形，44i=4,AB=1,ZBAD=60°,E,M,N分别是8C,BB\,4。的中点.(1)证明：MV〃平面CiOE；(2)求二面角Z-M41-N的正弦值.

【答案】(I)证明：如图，过N作NHUD,则M7〃44”n.NH=^AAi,又MB〃AA\,MB=^AAX,；.四边形为平行四边形，则MW〃8〃，由M/〃44i，N为4D中点,得H为AD中点,而£为8(7中点，J.BE//DH,BE=DH,则四边形5E。4为平行四边形，则J.NM//DE,平面CiDE,OEu平面C\DE,，A/N〃平面CiDE；(2)解：以O为坐标原点，以垂直于OC得直线为x轴，以。C所在直线为y轴，以。。所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则 2),M(V3,1,2),A\(V3,-1,4),2 4*=(空，0),N%=(亨，-1.2),设平面/iMN的•个法向量为蔡=(x,y,z),-»T[a3取x=V5,得m=（取x=V5,得m=（百，—1,—1）,m-N&=停x— +2z=0又平面A74小的一个法向量为九=(1,0,0),..cos<m,£>=居=4=塔.|m|-|n|V5$工二面角4・A/小・N的正弦值

17.【2018年新课标17.【2018年新课标1理科18］如图，四边形力88为正方形，E,F分别为40,8c的中点,痕把△。/C折起，使点C到达点尸的位置，且PFLBF.(1)证明：平面PE凡1平面48FZ)；(2)求OP与平面48皿所成角的正弦值.以。尸为折【答案】(1)证明：由题意，点E、F分别是8c的中点,1 1则=BF=诃,由于四边形/8CZ)为正方形，所以EFLBC.由于PF1BF,EFDPF=F,则8尸_L平面PEF.又因为用七平面/8O,所以：平面平面48尸£>.(2)在平面PEF中，过P作PHVEF于点，，连接DH,由于E尸为面ABCD和面PEF的交线，PHLEF,则「〃，面/夕产O,故PHLDH.在三棱锥尸-£>即中，可以利用等体积法求产”，因为DE//BFS.PFLBF,乂因为△/>。尸乌△CDF,所以NFP£>=NFCC=90°,所以尸凡LPD,由于DEOPD=D,则尸尸_L平面PDE,故Vfpde=gPF'S"DE，因为BF//DA且面PEF,所以J■面PER所以DEYEP.设正方形边长为2a,则PZ)=2。，DE=a在△「£)£中，PE=V3a,所以SaPDE=苧a?，故Vf.pde=第凉，又因为SadeF=2。,2q=q2,所以尸〃=3七/£=4小aL/所以在△PH。中，sinNP£>"=/=?，V3即NP0H为。P与平面力"。所成角的正弦值为：—.418.【2018年新课标2理科20］如图，在三棱锥尸-N8C中，AB=BC=2y/2,PA=PB=PC=AC=4,。为ZC的中点.(1)证明：尸。_L平面ZBC；(2)若点M在棱8C上，且二面角M-A4-C为30°,求尸C与平面以M所成角的正弦值.【答案】(1)证明：连接80,,:AB=BC=2>J1.,O是4C的中点，：.BOLAC,且8。=2,又PA=PC=PB=AC=4,J.POLAC,尸0=2百，贝ljPB2^PO2+BOi,则POLOB,'：OB^AC=O,.,.尸0_1_平面43(7：(2)建立以。坐标原点，OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:A(0,-2,0),P(0,0,2V3),C(0,2,0),B(2,0,0),BC=(-2,2,0),T ->iSLBM=XBC=(-2入，2入，0),0<入<1则京=俞一易=(-2入，2人，0)-(-2,-2,0)=(2-2入，2入+2,0),则平面21c的法向量为茄=(1,0,0),设平面的法向量为〃=(x,y,z),则易=(0,-2,-2V3),贝i」n・P4=-2y-2bz=0,n^AM=(2-2A) (2A+2)y=0令z=l,贝x=")尸,口-z(A+l)V3厂、即^^=(~~~，—V3,1)♦

•.•二面角以-C为30°,a+i)V5即，——♦a+i)V5即，——♦mn；.cos30°=|-=r^r|m||n|解得人=3或入=3(舍),则平面A/口的法向量n=(2V3,-V3,1),PC=(0,2,-2V3), _ ->- -2V3-2V34店J5PC与平面以M所成角的正弦值sin8=|cosVPC,n>|=|■^鬲鬲~|=帑=19.【2018年新课标3理科19］如图，边长为2的正方形488所在的平面与半圆弧前所在平面垂直，M是加上异于C,。的点.(1)证明：平面平面8A/C；(2)当三棱锥体积最大时，求面”>18与面所成二面角的正弦值.【答案】解：(1)证明：在半圆中，DMLMC,•.•正方形Z8C。所在的平面与半圆弧而所在平面垂直,・・・4Q_L平面QCM,则ZQ_LA/C,

"：ADr\DM=D,平面ADM,平面MBC,，平面平面BMC.(2)•.•△48C的面积为定值，，要使三棱锥M-48c体积最大，则三棱锥的高最大，此时用为圆弧的中点，建立以。为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图•.•正方形N8CO的边长为2,：.A(2,-1,0),B(2,1,0),M(0,0,1),则平面的法向量/=(1,0,0),设平面M48的法向量为£=(x,y,z)则n=(0,2,0),AM=(-2,1,1),TT tT由n・4B=2y=0,n9AM=-2x+jH-z=0,令x=l,则y=0,z=2,即ti=(1,0,2),T则cosOn,—♦n>=T则cosOn,—♦n>=则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sina=2店20.【2017年新课标1理科18］如图，在四棱锥尸-/8C。中，AB//CD,且N8ZP=NC。尸=90。.(1)证明：平面以8,平面R1Q；(2)若P4=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角Z-P8-C的余弦值.

【答案】(1)证明：:NBAP=NCDP=90°,C.PAVAB,PD1.CD,'：AB//CD,：.AB±PD,又•.'%。尸。=尸，且孙u平面9W,PDu平面目W,二力8_1_平面PAD,又48u平面PAB,平面£48，平面PAD；(2)解：'：AB//CD,AB=CD,，四边形488为平行四边形，由(1)知平面刈£>,J.ABLAD,则四边形/8CC为矩形，在△/PO中，由/M=PO,NZP£)=90°,可得△以。为等腰直角三角形，设以=月8=2。，则｛0=2夜a.取4。中点O,BC中点、E,连接PO、OE,以O为坐标原点，分别以04、OE、O尸所在直线为小小z轴建立空间直角坐标系,则：D(-V2a,0,0).B(V2a,2a,0),P(0,0,V2a),C(-V2a,2a,0).PD=(-V2a,0,-V2a),PB=(V2a,2a,-V2a),BC=(-2夜a,0,0).设平面尸8c的一个法向量为1=(x,y,z),由付四=0,得产*+2ay-&az=0,取产］,得£=（（）,1，的.tn.BC=0l-2V2ax=0•.78_L平面刃O,ZDu平面A4O,J.ABVPD,又PDJ-P4,PAQAB=A,平面R18,则访为平面以8的一个法向量，P£>=（-yj2a,0,-V2a）.—2a_—2a_x/32ax6--T- -PDn：.cos<PD,n>=\PD\\n\由图可知，二面角/f-PS-C为钝角,二面角/--C的余弦值为一字.X21.【2017年新课标2理科19］如图，四棱锥中，侧面以。为等边三角形且垂直于底面48CQ,AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中点.(1)证明：直线CE〃平面以8；(2)点M在棱尸C上，且直线8M与底面/8CO所成角为45°,求二面角A/-Z8-£＞的余弦值.【答案】(1)证明：取R1的中点F,连接EF,BF,因为£是「。的中点，所以£尸||%£),AB=BC=^AD,NBAD=NABC=90。,：.BC//^AD,BCE尸是平行四边形，可得CE〃BF,8尸u平面以5,CEC平面印8,直线CE〃平面PAB；(2)解：四棱锥P-48CO中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=%。，ZBAD=ZABC=90°,E是尸。的中点.取的中点O,A/在底面48。上的射影N在。C上，设力。=2,则Z8=8C=1,OP=V3,：.ZPCO=60a,直线BA/与底面/BCC所成角为45°,可得：BN=MN,CV=*MMBC=\,可得：l+gBN2=BN2,BN=A/N=坐，作NQLAB于Q,连接MQ,AB人MN,

所以NM0N就是二面角M-48-。的平面角，Ji?+(孚)2二面角M-AB-D的余弦值为：壶=祟222.【2017年新课标3理科19］如图，四面体/8C£＞中，△/8C是正三角形，△4CO是直角三角形，NABD=NCBD,AB=BD.(1)证明：平面AC。J_平面48C；(2)过4C的平面交8。于点E,若平面/EC把四面体力88分成体积相等的两部分，求二面角O-/E-C的余弦值.【答案】(I)证明：如图所示，取4c的中点O,连接80,OD.；△ABC是等边三角形，.".OS1AC.4ABD与ACBD中,AB=BD=BC,NABD=/CBD,:.&ABDm4CBD,:.AD=CD.是宜角三角形，

是斜边，：.ZADC=90a.：.DO=，DO1+BO2=AB2=BD2.：.ZBOD=90°.J.OBLOD.又£>OCI4c=O,，O8J_平面4co.又O8u平面ABC,二平面/CDJ_平面ABC.(2)解：设点。，B到平面/CE的距离分别为如hE.则/'=靛.•.•平面/EC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，.AACE.hDh[)DE^Saace•hE如BE.•.点E是8。的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取月8=2.则O(0,0,0),A(1,0,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),B(0,V3,0),E(0,坐，J).AD=(-1,0,1),AE=(-1,亨，AC=(-2,0,0).ft7k_n (~x+Z=0设平面/OE的法向量为茄=(x,y,z),则加"二。，即,V3,1八，取益=(3,VL3).tm-4E=0H+彳丫+产=0同理可得：平面ZCE的法向量为7=(0,1,-V3).23.【2016年新课标1理科18]如图，在以HB,C,D,E,F为顶点的五面体中，面月BE尸为正方形,AF=2FD,ZAFD^90°,且二面角£>-4F-E与二面角C-BE-尸都是60°./.cos<m，n>=m-n/.cos<m，n>=m-n-2/34i=~~-|rn||n|&Ix2(1)证明平面平面EFDC；(H)求二面角6-8C-4的余弦值.【答案】(I)证明：为正方形，VZAFD=90°,：.AFA.DF,'：DFC\EF=F,；.NF_L平面EFDC,•；/尸u平面ABEF,：.平面 平面EFDC；(H)解：由AF±DF,AF±EF,可得NDFE为二面角D-AF-E的平面角；由为正方形，NEL平面EFDC,'：BELEF,平面EFDC即有CELBE,可得/CEF为二面角C- 的平面角.'CAB//EF,48c平面EFDC,EFu平面EFDC,二/8〃平面EF£>C,;平面EFDCC平面ABCD=CD,48u平面ABCD,J.AB//CD,：.CD//EF,二四边形EEDC为等腰梯形.以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a,, ax/3贝i]E(0,0,0),B(0,2a,0),C(-,0,—a),A(2a,2a,0),

t ->aV3-EB=(0,2a0),BC= ,-2at—«),AB=(-2a,0,0)2 2设平面8EC的法向量为益=（xi，"z）则［,•=°1m•BC=0(2ay1=0则|q J3，取巾=(V3,0,-1).(2xi- +号az1=0设平面/8C的法向量为7=（X2,”，Z2）,贝11n,呼=°ln-AB=0则R*2-2ay2+Vaz2=°,取蔡=(0,6，4).(2q%2=0设二面角E-8C-Z设二面角E-8C-Z的大小为。，则cos0=T—>

m-n

|m|-|n|-4 _2V1973+1-73+1^ 19'则二面角E-BC-A则二面角E-BC-A的余弦值为一耳£.24.【2016年新课标2理科19］如图，菱形/8C。的对角线/C与8。交于点。，48=5,ZC=6,点E,F分别在4。，CD上,AE=CF=^,EF交于BD于点H,将△OM沿所折到△/）'a'的位置，OD'=V10.（I）证明：D'4_L平面48C。：（II）求二面角B-D'A-C的正弦值.D'【答案】（I）证明：•.18co是菱形,:.AD=DC,又4E=CF=%,

DEDFi—=—,贝IE尸〃4C,EAFC又由48co是菱形，得ZC_L3O,则:・EFLDH,则防_L。'H,,・ZC=6,.\AO=3f又”=5,AO^OB,：・OB=4,：.OH=^OD=1,则 H=3,：.\OD'|2=|O/7|2+|D,//|2,则。'HLOH,又OHCEF=H,：.D'4_L平面488；(II)解：以〃为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，"：AB=5,/C=6,T4c=(0,6,0),：.B(5,0,0),C(1,3,0),D'T4c=(0,6,0),4B=(4,3,0),AD'=(-1,3,3),设平面力80'设平面力80'的一个法向量为%=(x,y，Z),少望=0,得少望=0,得%•AD'=O4x+3y=0—x+3y+3z=O'取x=3,得y=-4,z=5.ni=(ni=(3,—4,5).同理可求得平面Z。'C的一个法向量3=(3,0,1),设二面角二面角8-O'4-C的平面角为。,则|cosB|则|cosB|二扃£|_|3x3+5xl|_7>[5而I扃I 5/2x/10 25二面角B-D'A-C的正弦值为sin0=今等.25.【2016年新课标3理科19］如图，四棱锥尸-N8C。中，以J_底面488,AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,A/为线段力。上一点，AM=2MD,N为尸C的中点.(1)证明：MV〃平面/M8：(2)求直线/N与平面PMN所成角的正弦值.【答案】(1)证明：法为尸C的中点，J.NG//BC,且NG=：BC,XAM^^AD=2,5C=4,S.AD//BC,：.AM//BC,且/M=；8C,则NG〃/M,且NG=ZM,，四边形AMNG为平行四边形，则NM//AG,：?!Gu平面PAB, 平面PAB,.♦.MV〃平面PABx法在△HC中，过N作NE_L/C,垂足为E,连接ME,, . . , , 424.Q2—q29在△43C中，由已知/8=/C=3,BC=4,得cosN/CB=己—；=('：AD//BC,：.cosZEAM=I，则sinZEAM=卓,在中，■:AM= =2,AE=由余弦定理得：EM=ylAE2+AM2-2AE-AM-cos^EAM=/1+4-2x|x2x|=1,74 ZJz（7）24-（7）2-4 1/.cosZAEM=- —=□，2x|x1 9___, 32+32.421而在△ZBC中，cos/A4C=晨二=卷ZXjXoV：.cosZAEM=cosZBAC,即NAEM=N8ZC,:.AB〃EM,则EM〃平面P48.由刃J_底面48CO,得刃_L/C,XNELAC,J.NE//PA,则NE〃平面以£■:NECEM=E,二平面NEM〃平面以8,则MN〃平面四8；⑵解：在中，由AM=2,AC=3,cosZjWJC=|,得。序=4。2+.2.2AC-AM'cosZMAC=9+422x3x2x^=5.：.AM2+MC2^AC2,则AMLMC,•.•玄，底面Z8CC,以u平面AW,平面平面处。，且平面/8C£>n平面以0=40,，CA/_L平面以。，则平面尸MW_L平面总D在平面口。内，过4作彳尸，尸M,交PM于F,连接NF,则N4N尸为直线4N与平面PMN所成角.在RtZ\HC中，由N是尸C的中点，得AN=,PC=衬P42+pc2=当在RtAZMA/中，由PA'AM=PM'AF,得AF=止鬻"=-7===隼，rM'42+22 5../'庇AF等8行■■sm^ANF=AN=—=^5-2o-/F二直线AN与平面PMN所成角的正弦值为ft.26.【2015年新课标1理科18］如图，四边形48co为菱形，乙48c=120°,E,尸是平面48co同一侧的两点，8E1.平面48CD,QF_L平面NBCC,BE=2DF,AEA.EC.(I)证明：平面/ECJ■平面47cA(II)求直线A(II)求直线/E与直线CF所成角的余弦值.E【答案】解：(I)连接5。，设8QC4C=G,连接EG、EF、FG,在菱形力88中，不妨设BG=\,由/4BC=120°,可得ZG=GC=V3,8E_L平面/8C£>,AB=BC=2,可知/4E=EC,又AELEC,所以£G=V5,且EG1.4C,L 万在直角△EBG中，可得BE=a,故。尸=竽，在直角三角形FOG中，可得尸G=当，在直角梯形8OFE中，由8。=2,BE=V2,FD=导,可得£/=+(夜一乎尸=挈，从而EG2+FG2=EF2,则EGX.FG,

—, EBFD「也(或由tanNEG8・tanN尸6。=券•防=y2«=1,可得NEG8+NFG£>=90°,则EG_LFG)ACOFG=G,可得EGJ■平面//C,由EGu平面AEC,所以平面/EC_L平面AFC；(11)如图，以G为坐标原点，分别以G8,GC为x轴，y轴，|G8|为单位长度,建立空间直角坐标系G-孙z,由(1)可得/(0,-V3,0),E(1,0,V2),0,y),C(0,V3,0),L忆

瓜T)f故cosVZE,CF>=AECFL忆

瓜T)f故cosVZE,CF>=AECF-1-3+18c=10,44=8,点E,F\AE\-\CF\V6xJ1分别在小81,01cl上，A\E=DiF=4,过点£,尸的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线力尸与平面a所成角的正弦值.DiFC;3：DiFC;3：【答案】解：(1)交线围成的正方形EFG”如图:(2)作垂足为则:EH=EF=BC=IQ, =8：.MH=>JEH2-EM2=6,„=10；以边D4,DC,所在直线为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，贝人A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8)；.,.FF=(-10,0,0),E7/=(0,6,-8)；设％=(x,y,z)为平面EFG”的法向量，则：n-EF=-10x=0，取z=3,则3=(0,4,3)；n•EH=6y-8z=0若设直线力尸和平面EFG”所成的角为。，则：sin0=|cos<AF.n>\=(-12--=1 1/180-5 15，4V5直线4尸与平面a所成角的正弦值为28.【2014年新课标1理科19］如图，三棱柱Z8C-481。中，侧面881cle为菱形，ABYB\C.(I)证明：AC=AB\i(H)^ACLAB\,NC88i=60°,AB=BC,求二面角Z-小历-。的余弦值.【答案】解：(1)连结8G，交81c于点O,连结40,•.•侧面881cle为菱形，：.BCi±BiC,且。为8cl和8c的中点，又•：ABLBiC,.,.8iC_L平面480,•.【Ou平面"O,：.B\CLAO,又BiO=CO,J.AC^ABi,(2)'：AC±ABi，且。为BiC的中点,：.AO=CO,又"：AB=BC,.•.△804丝△8OC,：.OA±OB,：.OA,OB,081两两垂直，T以O为坐标原点，。8的方向为X轴的正方向，［0B|为单位长度，。面的方向为y轴的正方向，&的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,,：ZCBBi=60°,.,.△C88i为正三角形，又4BV3 V3：.A(0,0,―),B(1,0,0,),B\(0,―,'- T T/•ABX=(0,,—彳)，=AB=(1,0,设向量n=(x,y9z)是平面44i8i的法向量，厂J乃厉n1n-ABs=-5-y--5-z=0 1则_33 ,可取九=(1,V3,［n-41B1=x-2yZ=0同理可得平面48［。的一个法向量肃=(L一、->T. “I—、mn1..cos<m, =__；=弓,|m||n|71...二面角/-/iBi-Ci的余弦值为,29.【2014年新课标2理科18］如图，四棱锥7PO的中点.、=BC,0),C(0,一冬0)-鄂，BiCr=BC=(-1.一堂，0),，V3),/3,V3),中，底面Z8CZ)为矩形，%_L平面”8,E为(I)证明：尸8〃平面4EC；(II)设二面角O-4E-C为60°,AP=\,AD=V3,求三棱锥E-MB C【答案】(I)证明：连接8。交AC于O点，连接EO,•；。为8。中点，E为PD中点,：.EO//PB,EOu平面ZEC,/W平面XEC,所以P8〃平面4EC；(II)解：延长4E至M连结DM,使得ACD的体积.'.81,平面4^。,CDLMD二面角DC为60E为PD'.81,平面4^。,CDLMD二面角DC为60E为PD的中点DM=tan60x-AD证明/8J_4C；三棱锥E-ACD的体积为四棱锥P-48C。中，底面45。为矩形，以_1_平面N8CO【2013年新课标1理科18］如图，三棱柱NBC-3若平面48C，平面448由，AB=CB=2,求直线4C与平面881cle所成角的正弦值OA\tA]B,因为。1=C8,所以。C_L/18,由于Z8=44i，/844i=60°,所以△4/由为等边三角形，所以。又因为OCCO/i=O,所以48_L平面。4C，又/iCu平面CMC，故｛8_L/iC；(II)由(I)知OC_L/8,OAilAS,又平面/8(7_1平面441818,交线为48,所以OCJ_平面44i8i8,故04,OAi，0c两两垂直.以O为坐标原点，04的方向为x轴的正向，|。4|为单位长，建立如图所示的坐标系,可得力(1,0,0),Ai(0,y/3,0),C(0,0,V3),5(-1,0,0),则/=(1,0,V3),BBr=AAi=(-I,V3,0),4；C=(0,-V3,V3),设n=(设n=(x,y,z)为平面881cle的法向量，则三・m=。,即n•BB[=0x+y/3z=0-x+V3y=0'T TT可取T TT可取y=l,可得几=(百，1,-1),故cosVn,ArC>=n-ArC_710TTInlMiQ又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值,故直线小。与平面581cle所成角的正弦值为：-.31.【2013年新课标2理科18］如图，直棱柱48C-481G中，D,E分别是48,881的中点，AA\=AC=CB=~^~AB.(I)证明：8。〃平面418(II)求二面角D-AiC-E的正弦值.【答案】解：(I)证明：连结4cl交4。于点兄则尸为4。的中点，又。是中点，连结。尸，则8ci〃£>R因为。尸u平面小CD,8cle平面//£),所以8。〃平面由CD(II)因为直棱柱/BC-mSiG，所以44i_LC£),由已知4C=C8,。为48的中点，所以C〃_LX8,5LAA\HAB=A,于是，CZ)J_平面48814，设48=2位，则/小=/C=C8=2,得NACB=90°,CD=V2,A\D=V6,DE=V3,A\E=3故/iJ+CEZu/nE?,gpde^_A\D,所以。EJ_平面/1£>C,又4c=2位，过。作。凡L/C于尸，NZJFE为二面角。-4C-E的平面角,在△出。C中，DF=A1?'rC=半，EF=VDE2+DF2=挈，所以二面角D-A\C-E的正弦值.sinNOF£=等=苧.模拟好题1.如图，四棱柱4BCD—4B1C1C1中，平面AigCA_L平面4BCD,底面4BCC为菱形，AC与BD交于点O,Z.ABC=60°,AB=AAi=4cl=2.(1)求证：Ci。1平面4BCD：(2)线段DO】上是否存在点尸，使得CF与平面B】AC所成角的正弦值是:？若存在，求出品：若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在：器书【解析】【分析】⑴=ACt,AAi=CCi，：.ACi=CCr,又。是AC中点，C1OJ.4c•平面41cle4，平面4BCC,平面41cle4C平面ABC。=AC,gou平面&C1C4,，Ci。11平面4BCD(2),.•底面ABC。是菱形，：.AC1BD以。为原点，08,0C,0Ci所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则4(0,-1,0),C(0,l,0),Ci(0,0,V3),B(V3,0,0),D(-V3,0,0).又两=西=(0,—1,V5),所以8式百，一1,何，-,.AC=(0,2,0),瓦7(=(-V3,0,-V3), =(0,-1,V3).设平面为47的法向量是元=(x,y,z)伫器...产2。历八，[n-BXA=0 (—V3r—V3z=0

令x=l,则元=(1,0,—1),假设线段。上存在点尸，且加=2西=4万瓦>=(0,-4,752)，(0<A<1)V3,-A,V3A)./.CF=(-V3,-A-1,V3A).：.\cos(n,CF)\同函_ 国_3：.\cos(n,CF)\|n|*|CF| j3+(-入-1)2+3入2 4平方整理得：2"-5/+2=0,.•/=(或4=2(舍)，孤■=(时，即存在点尸是。。1中点时，CF与平面々AC所成角的正弦值是2.四棱雉P-4BCD中，PC1平面4BCD,底面4BCD是等腰梯形，且=2,CD=1,乙4BC=60°,PC=3,点M在棱PB上.(1)当M是棱PB的中点时，求证：CM〃平面PAD;(2)当直线CM与平面PAB所成角6最大时，求二面角C—4M-B的大小.【答案】(1)证明见解析(2)90°【解析】

(1)取4/1中点可1 1•••PB的中点为M,:•NN*AB,MN=；AB,MN//CD,且MN=CD,.,•四边形CON"是平行四边形，CM//DN,"CMC平面P4D,•••CM〃平面PAD；(2)等腰梯形(2)等腰梯形ABC。中，AB=2,CD=1,/.ABC=60°.作CE1A8于E,则BE=LBC=1,△ABC中，由余弦定理得，AC=V3,AC2+BC2=AB2,即乙4cB=90。，vPCL^ABCD,则CP、CA.CB两两垂直如图，以C为原点，CA,CB.而为x轴、y轴、z轴为正方向建立空间直角坐标系,,8(0,1,0),C(0,0,0),P(0,0,3),•••P^=(V3,0,-3),AB=(-V3,l,0),CA=(V3,0,0).设平面PAB法向量沅=(x,y,z),则？-普=六一资,[m-AB=-V3x+y=0平面/MB的一个法向量沆=(b,3,1),设的=4而(04241)，则由=谓+前=(0,1—儿34),asin©=Icos<CM,m>\=L= 3 =皿1。"-、+】g.麻工花，•••0W/IW1,.•.当入="^时，sin。取得最大值，•••奇=(。磊，粉，箱=(一百W)，则4(6,0,0)设平面。设平面。4M法向量后=TTJ•CA=>/3xi=0斤两=a1+/=0二平面CAM的一个法向量瓦=(0,1,-3),nJ,AB=-V3xj+y2=0设平面4MB法向量力=（X2，y2，Z2），则一方向上;Jn（畋-AM=-V3x2+—y2+—z2=0平面4MB的一个法向量布=（但3,1）,••,n7n^=0xV3+lx3+（—3）x1=0,二匹"1n^,二.二面角C-AM-8的大小为90°..如图，01，。分别是圆台上、下底的圆心，为圆。的直径，以08为直径在底面内作圆E,C为圆O的直径48所对弧的中点，连接8c交圆E于点。，AAVBBi，Cg为圆台的母线，AB=2A1B1=8.(1)证明；gC〃平面0B/01；(2)若二面角G-8C-。为会求01。与平面ACi。所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析：Q噜【解析】(1)连接。瓦。山，C为圆O的直径所对弧的中点,所以ABOC为等腰直角三角形，即=45。，乂。在圆E匕故ABED为等腰直角三角形，所以z)e〃oc且de=；oc,又cq是母线且。住1=goc,则01C"/0C,故DE〃0iG且DE=。1的，则。EOig为平行四边形，所以而E0Iu面。B8]0i，OCiC面08々。1，故〃平面OBBiOi.(2)由题设及(1)知：。1。、OB、0C两两垂直，构建如下图示的空间直角坐标系,过Ci作C/〃010,则F为0C的中点，再过F作尸G〃。。，连接gG,由。1。1圆0,即C/1圆。，8。＜=圆。，则gF1BC,又0D1BC,则尸G18C,故二面角C1一BC—。的平面角为NFGCi=p而FG=-0D=—0B=V2.所以01。=CjF=FGtan^=V6.X则4(0,-4,0),0(2,2,0),Ci(2,0,76).Oj(0,0,76),所以而=(2,6,0)，C^D=(0,2,-V6)，O^D=(2,2,-V6).若记=(x,y,z)为面ACi。的一个法向量，则2"+6;^_°,令、=n，则记=(一3乃,乃,2),km-C1D=2y-V6z=0|cos<m,OlD>|=3焉=等工故。1。与平面AC4所成角的正弦值.如图所示，已知矩形48C。和矩形月。E尸所在的平面互相垂直，AD=2AF=2AB=2,M,N分别是对角线BD,4E上异于端点的动点，且BM=AN.(1)求证：直线MN||平面C£)£(2)当MN的长最小时，求二面角A-MN-D的正弦值.【答案】(1)证明见解析瑶【解析】⑴过N作NM||4D与"交于N'点，过M作MM'||4。与CQ交于M'点，连接M'N'.由已知条件4。=2AF=2AB=2,可知矩形/8CO与矩形/OEF全等.'：BM=AN,AE=BD,NN'||AD||MM'.空_4E-AN_BD-BM_MAT_MAT•・石―AE~BD~一~AD：.NN'=MM'又NV||AD||MAT,则四边形MNNM为平行四边形,所以MN||N'M'.平面COE,M'N'u平面COE,:.MN||平面CDE.(2)由平面/8C£>_L平面ADEF,平面ABCDCI平面4DEF=AD,又4Fu平面ADEF,AFA.AD,r.AFmABCD.以4为原点，分别以Z8,AD,4尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系,过M点作MG_L4。，垂足为G,连接NG,易知NG1AD,设4G=a(0<a<2)可得M(—,a,0)，N(0,a，9，；・5川〶。窃=产，可知当a=1时，A/N长最小值为成.2此时“©，1，°)，n(o,i3),又4(0,0,0),D(0,2,0),.•.加=(”0),WV= DM=(1,-1,0)设平面AMN的法向量为记=(x〕yi，zi),fl由巴・他=0可得考+%=。，Im-MN=0一工/+[21=0令M=2,可得记=(2,—1,2)设平面MND的法向量为五=(无2,>2，/2)，由『0=。可得«彳一'2二°bfMN=o[_%+%=0令无2=2,可得同=(2,1,2). /—»—Im-n7•"冈皿力|=丽『，•'-sin(m,n)= =竽则二面角A-MN-D的正弦值为史&95.如图甲，平面图形4BCDE中，AE=DE=BD=BC=1,BC1BD,DE//AB,乙EAB=60",沿BD将△BCD折起，使点C到F的位置，如图乙，使BFJ.BE,eg=bf.⑴求证；平面GEBFJ"平面AEG；(2)点M是线段FG上的动点，当4M与平面4EG所成角的正弦值为，时，求平面MAB与平面AEG所夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】(1)证明：翻折前8clB。，翻折后，对应地，BF工BD,又因为BE18F,BEC\BD=B,所以，8F_L平面48DE,•••AEu平面ABDE,.-.AE1BF,在底面4BCDE中，AE=DE=BD=BC=1,DE//AB,所以，四边形4BCE为等腰梯形，因为/E4B=60。，.•.乙4ED=4BCE=120。，因为BC=DE,则/BE。=408E=30。，Z.AEB=/.AED-/.BED=90",AE1BE,又因为AE_LBF,BECBF=B,AEJ_平面GEB尸，因为4Eu平面AEG,因此，平面GEBP1平面AEG.(2)解：在Rt^ABE中，Z.AEB=90",Z.EAB=60°,AE=1,则BE=AEtan60°=6,因为二=罚，则EG〃8F且EG=B尸=8C=1,因为BF平面4BDE,•••EG_L平面4BDE,vAELBE,以点E为坐标原点，EA.EB、EG所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则4(1,0,0)、B(0,V3,0),设点M(O,Z1),其中0WAV心,所以，AM=(-1,2,1).易知平面AEG的一个法向量为记=(0,1,0),由已知条件可得|皿(丽记>|=繇=总=率因为OWAwVl解得;l=g,所以，AB=(-l,V3,0),AM=(-1，Y，1)-设平面的法向量为元=(x,y,z),Cn-而=—x+V3y=0则I一TM,v^ ，取y="可得元=(3,代,2),(n-AM=—x+—y+z=0cos<m,n>=罟g=，，因此，平面M4B与平面4EG所夹角的余弦值为里|m||n| 4 46.如图，是圆。的直径，点。是圆。上异于4B的点，直线尸C1平面力BC,瓦F分别是PA,PC的中点.(1)记平面8EF与平面4BC的交线为2,求证：直线〃/平面PAC；(2)若PC=48=2,点C是检的中点，求二面角E-，一C的正弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】(1)因为E,尸分别是P4PC的中点所以EF〃4C,又因为4Cu平面4BC,EFC平面ABC所以EF〃平面4BC又EFu平面BEF,平面8EF与平面ABC的交线为I,所以EF〃，，而IC平面PAC,EFu平面PAC,所以〃/平面P4C(2)如图，因为AB是圆。的直径，点C是矽的中点，AB=2所以CA1CB,CA=CB=&因为直线PC，平面4BC所以PC1CA,PC1CB所以以C为原点，直线C4,CB,CP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C一xyz,则F(O,O,1),F(0,V2,0),E(¥，O,1)所以於=(0,-&,1),BF=(y,-V2,l)设平面"b的法向量元=(x,y,z),贝q丝五二°,即一0(前五=0(yx-V2y+z=0令y=1>则x=0,z=V2得元=(0,1,V2)因为直线PC_L平面ABC所以汴=(0,0,1)为平面4BC的法向量、CPny12V6所以85<°忆日>=记丽=君=彳所以湎角E-I-C的正弦值为三7.如图，已知四棱台ABCQ-ABiCiDi的底面是矩形，平面。。的小J■平面4BCD,DDX1CD,M为4B的中点，且MCLB%.(1)证明：平面BiMC,平面BDOi；(2)若AD=DDi=1,DC=2Di(?i，求二面角/一MC-B的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2卜场13【解析】(1)证明：•.•平面。。的。11■平面4BC。，平面DCCi”in平面ABCD=CD,DD11CD,0。1u平面DCgOi，DD1_L平面48co.又MCu平面ABC。，；.DDX1MC.■■■MC1fiDpBDi，叫u平面BDD”BDX(\DDX=Dx,:.MC，平面BDD「又MCu平面为MC,：.平面JMCl平面B。/.(2)解：设AB=t,则MB=由(1)知MC_LBD,故&BCDfMBC.所以霹=器即工工，解得t=VI，所以。©=；8=4又由棱台的性质可知萼=粤=9故8©=/。=].dCDCL Z Z由(1)可知DA,DC,0%所在直线两两垂直，以点。为坐标原点建立空间直角坐标系。一七"，如图所示，

则M(l,号,0), C(0, V2, 0),为©与,1)，所以靛=(-l,苧，0), = 0, 1).(上迎, t ]-%+—y设rA=(x,y,z),且蔡，平面B】MC,则薪.MC=0,m-MBX=0>即{x2{-2x+z：故可取荒=(2, 2\[2, 1).设平面MBC,可取£=(0, 0, 1),所以cos而，=#由图可知二面角%-MC-B为钝角，所以二面角%一MC-B的余弦值为一噜.⑴求证：BCi||平面4CD；(2)求二面角B-&C-G的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)-^【解析】(1)证明：连接AC1交4c⑴求证：BCi||平面4CD；(2)求二面角B-&C-G的余弦值.【