北京2023年高考数学仿真卷二(含详解)

备战2023年北京高考数学仿真卷（13）选择题(共10小题，满分40分，每小题4分)(4分)已知集合A={x|x-l>0},8={-1,0,1,2},那么A0|B=( )A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1,2}D.{2}(4分)函数f(x)=、区2的定义域为( )Vr+1A.(-A.(-1,2]（4分）平面直角坐标系中，已知点A,B,C的坐标分别为（0,1）,（1,0）,（4,2）,且四边形为平行四边形，那么。点的坐标为（A.(3,3) B.(-5,1)C.(3,-1) D.(-3,3)4.（4分）双曲线C:x?与=1的渐近线与直线x=l交于A,b-8两点，且|A8|=4,那么双曲线C的离心率为（）B.百C.25.(4分)已知a=2$,则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a（4分）“0>1”是“上<1”成立的（aA.充分而不必要条件A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（4分）已知函数/（x）=sin（2x-C）,则下列四个结论中正确的是（ ）A.函数f（x）的图象关于（也，6 120）中心对称

B.函数f（x）的图象关于直线x=-三对称8C.函数/（x）在区间（-万，万）内有4个零点D.函数/（x）在区间［-工，0］上单调递增（4分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即NABC）为26.5°,夏至正午太阳高度角（即ZAOC）为73.5。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为a,则表高（即AC的长）为（）夏至正午阳光夏至正午阳光图1 图2asin53° D2sin47°2sin47° «sin53°atan26.5°tan73.5°

tan47°atan26.5°tan73.5°

tan47°D.asin26.5°sin73.5°

sin47°（4分）已知点M（2,0）,点P在曲线V=4x上运动，点尸为抛物线的焦点，则奥巴匚的最小值为（|PFI-1B.2（逐-1） C.4下 D.4（4分）一辆邮车从A地往8地运送邮件，沿途共有〃地，依次记为4,4 A,（A为A地，4“为8地）.从A地出发时，装上发往后面〃-1地的邮件各1件,到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达A，…4各地装卸完毕后剩余的邮件数记为%（2=1,2,…，n）.则4的表达式为（ ）B.k(n-k-l)C.B.k(n-k-l)C.n(n-k)D.k(n-k)11.12.15.（5分）设函数〃x）=c给出下列四个结论:211.12.15.（5分）设函数〃x）=c给出下列四个结论:2户“+2。，工.0・①对Va>0,mtwR,使得/（x）=，无解;②对”>0,3ae/?,使得了。）=/有两解:③当4<0时，Vr>0,使得/（x）=r有解;填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）（5分）在二项式@2+2）6的展开式中，X*1的系数为.（5分）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该四棱锥的体积为.13.（5分）已知平面a和三条不同的直线m,n,I.给出下列六个论断：①znJLa；②mlla；③zn〃/;@n±a；⑤〃//a：⑥〃///.以其中两个论断作为条件，使得m!In成立.这两个论断可以是—.（填上你认为正确的一组序号）14.（5分）从下列四个条件①〃=缶；②C=^6③8加一j初访中选出三个条件，能使满足所选条件的犯。存在且唯一，你选择的三个条件是（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为④当a>2时，BteR,使得八幻=，有三解.其中，所有正确结论的序号是—.三.解答题(共6小题，满分85分)(14分)如图，在四棱锥P-ABCZ)中，/>。，面ABC£>,底面ABCQ为平行四边形，ABA.AC,AB=AC^1,PD=l.(I)求证：AD〃平面PBC；(II)求二面角。—PC-B的余弦值的大小. ▲ °(14分)已知｛《,｝为等比数列，其前〃项和为S“，且满足％=1,S3=34+l.｛%｝为等差数列，其前〃项和为(，如图 ,7；的图象经过A,B两个点.(I)求S,；(II)若存在正整数〃，使得d>s,,,求〃的最小值.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.图① 图②图① 图②图③ 18.（14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A,B,C三个社区的志愿者服务情况如表:社区社区服务总人数服务类型现场值班值守社区消毒远程教育宣传心理咨询A10030302020B12040352025I）从如表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率;（H）从如表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X表示负责现场值班值守的人数，求X的分布列；（III）已知A社区心理咨询满意率为0.85,8社区心理咨询满意率为0.95,C社区心理咨询满意率为0.9,“或=1，4=1，舁=1”分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询满意，''或=0,4=0，々=0"

分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差。（幺），0（鼻），。（聂）的大小关系.（只需写出结论)(14分)已知椭圆C：《+4=l(a>b>0)的离心率为也，且椭圆C经过点(1,迈).a2b- 2 2(I)求椭圆C的方程；(II)已知过点P(4,0)的直线/与椭圆C交于不同的两点A,B,与直线x=l交于点Q,t&AP=APB,AQ=juQB(A,peR),求证：％+〃为定值.(15分)已知函数f(x)=sinx+M—1.(I)求f(x)在点弓，_/•(1))处的切线方程；(H)求证：/(x)在(0,外上存在唯一的极大值；(III)直接写出函数f(x)在(0,2万)上的零点个数.(14分)数列,马，与，…，x“，…，对于给定的t(t>\,teN+),记满足不等式：xn-xr.t'(n-t)(\/neN+,〃//)的f*构成的集合为7(f).(I)若数列4：x,=〃2,写出集合T(2)；(11)如果7(。(/6乂，，>1)均为相同的单元素集合，求证：数列再，x2 X,,…为等差数列：(III)如果7V)(rwN.,r>l)为单元素集合，那么数列%,X2 乙，…还是等差数列吗？如果是等差数列，请给出证明；如果不是等差数列，请给出反例.备战2023年北京高考数学仿真卷(13)选择题(共10小题，满分40分，每小题4分)(4分)已知集合A={x|x-l>0},8={-1,0,1,2},那么A0|B=( )A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1,2}D.{2}【答案】D【详解】•.•A={x|x>l},B={—1,0,1,2),AAp|B={2}.故选：D.(4分)函数f(x)=、叵2的定义域为( )V厂+1A.(-1,2] B.[2,+oo)c.(-oo.-l)IJll,+00) D.(-oo,-l)Jl2,+00)【答案】B【详解】函数/(幻=、住工，VA"+1令与2..。，得X-2..0,x2+l解得x..2,所以/(x)的定义域为[2,+00).故选：B.(4分)平面直角坐标系中，已知点A,B,C的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),且四边形为B.(-5,1)C.(3,-1)D.(-3,3)平行四边形，那么。点的B.(-5,1)C.(3,-1)D.(-3,3)【答案】A【详解】设"x,y),•.•点A,B,C的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2),且四边形ABCD为平行四边形，AD=BC>(x>y—1)=(3,2)»解得x=3,y=3,.♦.O点的坐标为(3,3).故选：A.2(4分)双曲线C:xJ《=l的渐近线与直线x=l交于A,B两点,且|AB|=4,那么双曲线C的离心率b-为()A.& B.y/3 C.2 D.>/5【答案】D【详解】由双曲线的方程可得”=1,且渐近线的方程为：y=±bx,与x=l联立可得丫=±6,所以|A8|=|»|,由题意可得4=2|切,解得|b|=2,c2=a2+b2,所以双曲线的离心率e=：=J勺詈=后^=陋,故选：D.、，--1(4分)已知。=23,6=32,c=log3—>贝!]( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【答案】C【详解】va6=(2b6=22=4,"=(3^)6=3,=27,.\b>a>c故选：C.（4分）“a>l”是“L<1”成立的（ ）aA.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D,既不充分也不必要条件【答案】A【详解】v-<a,ad—>0，aa>0时：a2-l>0,解得：a>\,a<0时：a2-l<0,解得：-l<a<0,“。>1”是“工</”成立的充分不必要条件，a故选：A.（4分）已知函数f（x）=sin（2x-匹），则下列四个结论中正确的是（ ）6A.函数/（x）的图象关于（红，0）中心对称B.函数/（x）的图象关于直线x=-工对称12 8C.函数/（x）在区间（-巴］）内有4个零点D.函数f（x）在区间［-1,0］上单调递增【答案】C【详解】对于函数/（x）=sin（2x-工）,6令x=^|,求得y（x）=当，故函数〃x）的图象不关于（言，0）中心对称，故排除A:TOC\o"1-5"\h\z令大=—工，求得y（x）=sin（-空），不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线x=-工对称，故排除B；8 12 8在区间（一巴乃）上，2x--e（-—,—）,当2x-C=-2%,-n,0,乃时，/（x）=0,6 6 6 6故函数/（外在区间（-；r,i）内有4个零点，故C正确；在区间［-工，0］上，2x--e［-—, f（x）没有单调性，故。错误，2 6 6 6故选：C.（4分）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即NABC）为26.5。，夏至正午太阳高度角（即NAOC）为73.5。，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为a,则表高（即AC的长）为（ ）夏至正午阳光

2sin47。asin53°2sin47。asin53°Catan26.5°tan73.5° D«sin26.5°sin73.5°tan47° sin47°【答案】D【详解】由题可知：^BAD=73.5°-26.5°=47°.在AMD中，由正弦定理可知： ,即，_=sinZBADsinZABDsin47°sin26.5°

asin26.5°

sin47°Ar又在AACO中，—=sinZADC=sin73.5°,ADasin26.5°sin73.5°

sin47°故选：。.（4分）已知点M（2,0）,点P在曲线y?=4x上运动，点尸为抛物线的焦点，则庄”的最小值为（|PFI-1）B.2(a/5-1) C.4非 D.4【答案】。【详解】设尸（x,y）,可得L匚=（七2）±.=Uti=x+±.2犀=4.IPF\-\x xx\x当且仅当x=2时取得最小值4.故选：D.（4分）一辆邮车从A地往5地运送邮件，沿途共有〃地，依次记为A，4，A,（A为A地，4为8地）.从A地出发时，装上发往后面〃-1地的邮件各1件,到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达4，…4各地装卸完毕后剩余的邮件数记为ak（k=\,2 〃）.则4的表达式为（ ）

A.k(nA.k(n—&+1)C.n{n-k)D.k(n-k)【答案】D【详解】根据题意，该邮车到第&站时，-共装上了（"7）+5—2）+……5—无）=生土生匕件邮件,2需要卸下1+2+3+……伏-1）="出二12件邮件，2mil（2n-l-k）xkkx（k-l）,z,、W'Jat= =k（n-k）,故选：D.二.填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）（5分）在二项式（Y+2-的展开式中，V的系数为.【答案】60【详解】二项式（x2+2）6展开式的通项公式为&=4.产2,.2,=2飞.产Q,令12-2广=8,解得r=2,故二项式（丁+2）6展开式中的x*项的系数为：2?x年=60,故答案为：60.（5分）某四棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该四棱锥的体积为【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为下底面为等腰梯形，高为5的四棱锥体.如图所示:故答案为：12.（5分）已知平面。和三条不同的直线团，“，/.给出下列六个论断：①m_La；②m//a♦,③zn/〃；④〃⑤〃//a；⑥〃/〃.以其中两个论断作为条件，使得相〃〃成立.这两个论断可以是①④（或③⑥）.（填上你认为正确的一组序号）【答案】①④（或③⑥）【详解】由平面。和三条不同的直线机，.①m_La；②ml/a:③帆/〃：④〃_La；⑤〃//a；⑥〃〃/.得：若①6_La,④〃_La,则由线面垂直的性质得加//〃，若③m//I,©n//l,则由平行公理得m//〃..・.以其中两个论断作为条件，使得m//n成立.这两个论断可以是①④（或③⑥）.故答案为：①④（或③⑥）.（5分）从下列四个条件①a=&c；②C=代；③cos8=-也：@6=正中选出三个条件，能使满足6 4所选条件的AA8C存在且唯一，你选择的三个条件是一（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为.

【答案】①③©,【详解】由①②结合正弦定理可得，，_=」一，sinAsinC所以sin4=&sinC=』Z,此时A不唯一，故所选条件中不能同时有①②,2故只能是①③④或②③④,L 、万「若选@@④。=&C，cos3= ,b=y/j,4由余弦定理可得，_也=2-、二74 2c・\l2c解可得，c=也;2若选②③④，C=-,cosB=--,b=>Jl,.-.sinB=—,且5为钝角,6 4 4由正弦定理可得，◎V141T2解可得，C=y/2.故答案为①③,②©④，Q.215.(15.(5分)设函数/*)=«（X+1）,X<O,2i+2"，"0・给出下列四个结论:①对Va>0,4e/?,使得f(x)=t无解；②对Vt>0,mawR,使得/(x)=r有两解；③当a<0时，”>0,使得/(x)=f有解：④当a>2时，BteR,使得/(外=，有三解.其中，所有正确结论的序号是.【答案】③④【详解】对于①，可取。=【详解】对于①，可取。=3,贝U/(x)=3(x+l),x<02x-3+23-\x.O当xvO时，f(x)=3(x+1)g(-00,3)；当x..O时，/(x)=2—+2i..2.23r=2,当且仅当x=3时，取得等号，故a=3时，/(x)的值域为R，VtwR,/。)=，都有解，故①错误；对于②可取.<2,由21+2所"..2,可得/b<2时，对任意的a,/(x)=，至多一解，故②错误;对于③，当a<0时，x<0时，〃x)=a(x+l)递减，可得f(x)>a；又x.O时，x-a>0,即有可得2—+2"t>2,则/(x)的值域为(a,E),Vr>0,/。)=/都有解，故③正确；对于④，当a>2时，x<0时，/(x)=a(x+l)递增，可得/(x)<a；当X..0时，f(x)=2x-a+2a~\.2,当且仅当x=a时，取得等号，由图象可得，当2<r<3时，f(x)=f有三解，故④正确.故答案为：③-51- 三.解答题(共6小题，满分85分)16.(14分)如图，在四棱锥P-ABCr>中，P。_1_面ABC7),底面为平行四边形，ABA.AC,AB=AC=\,PD=\.

(I)求证：AD//平面P5C；(II)求二面角O-PC—8的余弦值的大小.【答案】见解析【详解】(I)证明：•.•底面A5CD为平行四边形，.•.AO//8C,BCu平面PBC,AD仁平面PBC,：.AD〃平面PBC;(II)解：过。作平行于AC的直线Dx，\AB±AC,，瓜_LQC,又PD_L面ABC£),/,以。为坐标原点，建立如图所示空间I'Lft坐标系D-±vz.则C(0,1,0),P(0,0,1),8(1,2,0),CB=(1,1,0),CP=(0,-1,1),设平面PCB的一个法向量为it=(x,y,z),n*CB=x+y=0 .a由1 '，取y=l,得”=(-1,1,1)；n*CP=-y+z=Q取平面PCD的一个法向量而=(1,0,0).则8s〈落力>=^-=^1-=一直.\n\-\m\73x1 3由图可知，二面角D-PC-5为钝角,二面角。-尸。-8的余弦值为-也3

(14分)已知｛”“｝为等比数列，其前"项和为S“，且满足4=1,53=3%+1.｛么｝为等差数列，其前〃项和为7；，如图 ，7；的图象经过A,(I)求S,;8两个点.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.图① 图②图③ 【答案】见解析8两个点.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.图① 图②图③ 【答案】见解析【详解】(1)设｛a,,｝为公比为q的等比数列,由4=1,S、=3a,+1,得q=2a,,即q=—=44(1一夕0 J所以S〃=——f-=8(l-^)=8-23-n；1-- 2

（II）由图①知：工=么=1，（=-3，可判断d<0,数列｛么）是递减数列；而｛8-23］递增，由于4<5「所以选择①不满足“存在”，使得2>S,”；由图②知：（=4=1，1=6,可判断d>0,数列｛£｝是递增数列；由图③知：T、=b\=_3,（=0,可判断d>0,数列｛"｝是递增数列.所以选择②③均可能满足“存在"，使得">S"”.第一种情况：如果选择条件②即7；=4=1,4=6,可得：d=\.b„=n.当〃=1,2,3,4,5,6,7时，仇>5“不成立，当〃=8时，4=8,$8=8-23-8<4，所以使得d>S”成立的”的最小值为8.第二种情况：如果选择条件③即7J=4=—3,T｝-0,可得：4=3,bn=3n—6.当〃=1,2,3,4时，2>5”不成立，当〃=5时，4=935=8-22<么成立，所以使得2>5.成立的”的最小值为5.（14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A,B,C三个社区的志愿者服务情况如表：社区社区服务总人服务类型

社区社区服务总人服务类型数现场值班值守社远程心区教育理消宣传咨毒询A10030302020B12040352025I）从如表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A社区，并且参与社区消毒工作的概率；（n）从如表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以x表示负责现场值班值守的人数，求x的分布列；（III）已知A社区心理咨询满意率为0.85,8社区心理咨询满意率为0.95,C社区心理咨询满意率为0.9,“以=1,品=1,殳=1”分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询满意，“以=0,4=0,殳=0"分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询不满意，写出方差。（幺），£＞（4,），0（左）的大小关系.（只需写出结论）【答案】见解析【详解】（I）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自FA社区，并且参与社区消毒工作”为事件。,尸(£))=事件。,尸(£))=30100+120+150337所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于a社区，并旦参与社区消毒工作的概率为a.37（H）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A,8,C三个社区负责现场值班值守311的概率分别为士1033X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=—x-x-=—=—,10339045

P(X=1)P(X=1)=^-x2x2+Zx1x2+Zx2x1=40=4103310331033909P(X=2)=2x1x2+2x2x1+Zx1x1=1910331033103390P(X=3)=-x-x-=—=—10339030X的分布列为:X0123P1445491990130(III)。(刍)>。(々)>£>(4).TOC\o"1-5"\h\z(14分)已知椭圆C:5+与=l(a>h>0)的罔心率为也，且椭圆C经过点orb~ 2(I)求椭圆。的方程;(II)已知过点尸(4,0)的直线，与椭圆。交于不同的两点A,B,与直线x=l交于点Q,设=方,4。=〃。政4,〃£硝，求证：2十〃为定值.2 2【答案】(1)工+匕=1(II)04 2fcV2

e=-=—

a2【详解】(I)由题意可得:〈二+-^v=l,解得：。2=4,b 2所以椭圆的方程为：【详解】(I)由题意可得: 2所以椭圆的方程为：—+-=1; 2(H)证明：由题意可得直线的斜率存在且不为0,设直线/的方程为：x=my+4,设&占，％),B5,%)，直线与x=l联立可得。(1,-』)，ma4/r/=6+j直线与椭圆联立 ,整理可得：（2+W）y2+8my+12=0,△=64m2-4x（2+/n2）xl2>0,即\x~+2y-4=02n 8〃2n 8〃7."小=一百12因为A7= aO=〃Q*,BP（4-Xj,-y,）=2（x2-4,%），（1-X， = y2+_）»所m m3v y以;1=一乂，〃=-^必 必+2m%（必+3一2yly%（必+3一2yly2一一（弘+必）

m必（必+12 3. 86、2 ,（— 2）2+加m2+加%（%+一）m所以可证得；1+〃为定值0.（I）求/（X）在点名，ff1））处的切线方程；（H）求证：〃幻在（0,乃）上存在唯一的极大值；（III）直接写出函数〃x）在（0,2万）上的零点个数.【答案】（I）y=-x+ln--\（II）见解析（IH）3'% 2【详解】（/）/'（x）=cosx+L/（—）=l+/n—-1=ln—,x2 2 2八刍=2,271qxj1人,，j 刃么zjijfc/yy-"'耳=-l人——)，TOC\o"1-5"\h\z9 7t r 1即：y=—x+ln 1:(〃)证明：r(x)=cosx+—,xw(O,万)7T2 Xf\x)=-sinx—V<0,故f'(x)在(0,外递减，Xx/,(-)=->o./,u)=-i+-<o,2tv n由零点存在性定理，存在唯——个零点me(工,万)，f'(m)=cosm+-=0,2 m当xe(0,M)时，f(x)递增；当xw(/n,;r)时，/'(x)递减，故/(x)在(0,万)只有唯一的一个极大值；(///)函数f(x)在(0,2万)有3个