高中数学新版必修一课时跟踪检测（二） 集合的表示

课时跟踪检测（二）集合的表示A级——学考合格性考试达标练1．下列说法中正确的是()A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素B．集合{0}中没有元素C．eq\r(13)∈{x|x<2eq\r(3)}D．{1，2}与{2，1}是不同的集合解析：选A{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2eq\r(3)}＝{x|x<eq\r(12)}，eq\r(13)>eq\r(12)，所以eq\r(13)∉{x|x{<2eq\r(3)}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．2．实数1不是下面哪一个集合中的元素()A．整数集Z B．{x|x＝|x|}C．{x∈N|－1<x<1} D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1)≤0))))解析：选C1不满足－1<x<1，故选C.3．下列集合的表示方法正确的是()A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1<4的解集为{x<5}C．{全体整数}D．实数集可表示为R解析：选D选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．4．已知M＝{x|x－1<eq\r(2)}，那么()A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉MC．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M解析：选A若x＝2，则x－1＝1<eq\r(2)，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<eq\r(2)，所以－2∈M.故选A.5．方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解集是()A．(－5，4) B．(5，－4)C．{(－5，4)} D．{(5，－4)}解析：选D解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))故解集为{(5，－4)}，选D.6．若A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4，9，16}．答案：{4，9，16}7．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，则实数a解析：由集合相等的概念得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.答案：18．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．答案：{1，3}9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合；(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．解：(1)解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))故解集可用描述法表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－2))))，也可用列举法表示为{(4，－2)}．(2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－4x＋4＝0}．(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3，1.由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋1＝a＋1，,－3×1＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－3，))所以y＝x2＋3x－3.将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理，得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2eq\r(3)，所以B＝{－3－2eq\r(3)，－3＋2eq\r(3)}．B级——面向全国卷高考高分练1．集合{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8}用描述法可表示为()A．{－1≤x≤8} B．{x|－1≤x≤8}C．{x∈Z|－1≤x≤8} D．{x∈N|－1≤x≤8}解析：选C观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，选C.2．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，A．x1·x2∈A B．x2·x3∈BC．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A解析：选D∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B解析：选C集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．4．(2019·襄阳高一检测)对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()A．18 B．17C．16 D．15解析：选B因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.5．(2018·安庆市高一联考)已知集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,5－a)∈N，a∈Z))))，则A可用列举法表示为________．解析：由eq\f(6,5－a)∈N，可知0<5－a≤6，即－1≤a<5，又a∈Z，所以当a＝－1时，eq\f(6,5－a)＝1∈N；当a＝0时，eq\f(6,5－a)＝eq\f(6,5)∉N，当a＝1时，eq\f(6,5－a)＝eq\f(3,2)∉N；当a＝2时，eq\f(6,5－a)＝2∈N；当a＝3时，eq\f(6,5－a)＝3∈N；当a＝4时，eq\f(6,5－a)＝6∈N.综上可得A＝{－1，2，3，4}．答案：{－1，2，3，4}6．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P*Q中元素的个数是________．解析：若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1，2，3；若a＝2，则ab＝2，4，6.故P*Q＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素．答案：67．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．(1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，x＝eq\f(1,3)，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，∴a＝eq\f(9,4).综上，集合A中仅含有一个元素时，a＝0或a＝eq\f(9,4).(2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0解得a<eq\f(9,4)且a≠0，所以实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<\f(9,4)且a≠0)))).(3)当a＝0时，x＝eq\f(1,3)，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥eq\f(9,4).所以实数a的取值范围为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,4)或a＝0)))).C级——拓展探索性题目应用练(2019·安庆高三二模)已知集合A＝{x|x＝3N＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3N＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6N＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)