第六讲 矩阵的代数运算和数据分析

第六讲矩阵的代数运算

和数据分析12/22/202212/22/20221第六讲矩阵的代数运算

和数据分析6.1矩阵的代数运算6.2数据分析12/22/202226.1矩阵的代数运算eig(A)求包含矩阵A的特征值的向量。[X,D]=eig(A)产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足AX=XD。为了得到有更好条件特征值的矩阵要进行相似变换。12/22/202236.1矩阵的代数运算det(A)求方阵A的行列式。rank(A)求A的秩，即A中线性无关的行数和列数。inv(A)求方阵A的逆矩阵。如果A是奇异矩阵或者近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。12/22/202246.1矩阵的代数运算线性系统的求解和LU分解MATLAB用如下命令求解系统Ax=b：则x=A\b。如果A是一个奇异矩阵，或者是近似奇异矩阵，则会给出一个错误信息。LU分解方法就是令A=LU，其中U是一个上三角矩阵，L是一个带有单位对角线的下三角矩阵。然而为了保证计算的稳定性可以使用部分主元法。也就是说，L通常是一个改变序列的下三角矩阵。12/22/202256.1矩阵的代数运算[L,U]=lu(A)求上三角矩阵U和交换下三角矩阵L。L是一个带有单位对角线的下三角矩阵和交换矩阵，即P的逆矩阵的乘积，见下个命令。[L,U,P]=lu(A)求上三角矩阵U、有单位对角线的下三角矩阵L和交换矩阵P，满足LU=PA。12/22/202266.1矩阵的代数运算QR分解。假设A是n×n的矩阵，那么A就可以分解成：A=QR，其中Q是一个正交矩阵，R是一个大小和A相同的上三角矩阵，因此Ax=b可以表示为QRx=b或者等同于：Rx=Qb。这个方程组的系数矩阵是上三角的，因此容易求解。和高斯消元法比较，QR因式分解的主要优点在于有更高的稳定性，然而它的数学运算更麻烦一些。12/22/202276.1矩阵的代数运算[Q,R]=qr(A)求得m×m的矩阵Q和上三角矩阵R，Q的列形成了一个正交基，Q和R满足A=QR。[Q,R,P]=qr(A)求得矩阵Q、上三角矩阵R和交换矩阵P。Q的列形成一个正交基，R的对角线元素按大小降序排列，它们满足AP=QR。[Q,R]=qr(A,0)求矩阵A的QR因式分解。如果在m×n的矩阵A中行数小于列数，则给出Q的前n列，因此Q的大小和A相同。也能得到交换矩阵。12/22/202286.1矩阵的代数运算向量范数norm(x)求欧几里得范数。norm(x,inf)求无穷范数，即||x||=max(abs(x))。norm(x,1)求1-范数。norm(x,p)求p-范数，。norm(x,－inf)求向量x的元素的绝对值的最小值，即min(abs(x))。注意，这不是向量的范数。12/22/202296.1矩阵的代数运算矩阵范数norm(A)求欧几里得范数||A||2，norm(A,1)求列范数||A||1，等于A的列向量的1-范数的最大值。norm(A,2)求欧几里得范数||A||2，和norm(A)一样。norm(A,inf)求行范数||A||(inf)，等于A的行向量的1-范数的最大值。12/22/2022106.1矩阵的代数运算cond(A)求A的欧几里得范数的条件数。cond(A,p)求p-范数的条件数，p的值可以是1、2、或者inf12/22/2022116.2数据分析1.最大值和最小值max(x)返回x中最大的元素值，如果x是复数，则返回max(abs(x))值。max(A)返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；如果A为复数时，则返回max(abs(A))值。12/22/2022126.2数据分析[y,ind]=max(A)返回一个行向量，它的第i个元素是A中第i列的最大的元素；并在行向量ind中保存每列的最大数的行下标。max(A,B)返回一个和A、B相同维数的矩阵，每一元素都是在A和B中的相同位置上是最大的元素。12/22/2022136.2数据分析max(A,k)将A中小于k的数换成k。min(x)返回向量x中最小的元素。该命令关于矩阵的操作和max一样，如果x是复数，则返回min(abs(x))值。12/22/2022146.2数据分析2.求和、乘积和差分sum(x)返回向量x所有元素的和。sum(A)返回一个包含矩阵A各列元素之和的行向量。cumsum(x)返回一个x中元素累计和的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素之和，以此类推。12/22/2022156.2数据分析cumsum(A)返回一个与A同样大小的矩阵，它的列是A中列的累计和。3.乘积prod(x)返回x中各元素乘积。prod(A)返回一个元素是列乘积的多维矩阵。12/22/2022166.2数据分析cumprod(x)返回一个x中各元素累计积的向量，也就是第2个元素是x中前两个元素的累计积，以此类推。cumprod(A)返回一个矩阵，其中列元素是A中列元素的累计积。12/22/2022176.2数据分析4.差分和梯度diff(x)给出一个长度为n－1的向量，它的元素是长度为n的向量x中相邻的元素的差。如果x=(x1x2...xn)，则diff(x)=(x2－x1x3－x2...xn－xn－1)。diff(A)对A按列作差分。就是diff(A)=A(2:m,:)－A(1:m－1,:)。diff(x,k)求出第k次差分，diff(x,2)和diff(diff(x))等价。12/22/2022186.2数据分析5.平均值、中值和标准差mean(x)求出向量x的算术平均值。mean(A)返回按列求算术平均值的行向量。median(x)求出向量x中元素的中值。median(A)返回按列求中值的行向量。std(x)求出向量x中元素的标准差。std(A)返回按列求标准差的行向量。12/22/2022196.2数据分析6.协方差和相关系数cov(x)求向量x的协方差。cov(A)求协方差矩阵，对角线元素是A中各列的方差。cov(x,y)等同于cov([xy])，x和y是列向量。corrcoef(A)求相关矩阵。corrcoef(x,y)等同于corrcoef([xy])，x和y是列向量。12/22/2022206.2数据分析7.排序sort(x)返回一个向量x的元素按