平面体系几何组成分析课件

第三章平面体系几何组成分析第三章平面体系几何组成分析§3-1概述研究平面体系几何组成分析的任务和目的：(１)研究结构的基本组成规则，来判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式。(２)根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径。§3-1概述研究平面体系几何组成分析的任务和目的：§3-1概述F

若干个杆件相互联结而组成的构造。在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，其几何形状与位置均保持不变的体系。1.自由度的概念§3-1概述F若干个杆件相互联结而组成的构造。1.§3-1概述

即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，会产生机械运动的体系，几何形状与位置可变的体系。F§3-1概述即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用§3-1概述

判断体系是否几何不变，又称作几何组成分析﹙或几何构造分析﹚。

刚片：一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。AB§3-1概述判断体系是否几何不变，又称作几何组成§§

3—2平面体系的自由度计算

自由度是指物体运动时可以独立变化的几何参数的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。⑴平面上的点(A)有两个自由度,独立变化的几何参数为：x、y。xyAxyo1.自由度的概念§§3—2平面体系的自由度计算自由度是指物体运§§

3—2平面体系的自由度计算⑵平面上的刚片有三个自由度独立变化的几何参数为：x、y、。xyxyo⌒AB§§3—2平面体系的自由度计算⑵平面上的刚片有三个自§3—2平面体系的自由度计算2.约束的概念

减少自由度的装置（又称为联系）。凡是减少一个自由度的装置称为一个约束。⑴链杆:一根链杆相当一个约束。AxyoB⌒§3—2平面体系的自由度计算2.约束的概念减少自由§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o

⑵单铰：连结两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两个约束。

§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o⌒Ⅲ3

⑶复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。连结n

个刚片的复铰相当于(n－1)个单铰。§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o3.多余约束的概念

把体系上成为几何不变而必须的约束，称为必要约束；把必要约束之外的约束则称为多余约束。3.多余约束的概念把体系上成为几何不变而必须的约束，§3—2平面体系的自由度计算m—刚片数目h—单铰数目r—链杆数目式中：W—计算自由度w=3m－3g－(2h+r)

一个平面体系,通常由若干个刚片彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。

g—单刚结点片数目§3—2平面体系的自由度计算m—刚片数目h—单铰数§3—2平面体系的自由度计算(4）单刚结点:

一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。§3—2平面体系的自由度计算(4）单刚结点:

一个§3—2平面体系的自由度计算计算平面体系自由度时，应注意：（1）确定体系的刚片数m时，将每一根杆都视为一个刚片。（2）单铰数目h仅包含刚片之间互相连接的铰，不包括刚片与支座或支座链杆相连接的铰。复铰须拆成单铰。§3—2平面体系的自由度计算计算平面体系自由度时，应注意§3—2平面体系的自由度计算（3）对于体系的复杂结点时，即不完全铰结点，应具体分析。g:单刚节点片数目§3—2平面体系的自由度计算（3）对于体系的复杂结点时，例题刚片个数m=9单铰个数h=12链杆个数r=3W=3×9—（12×2+3）

=0113322讨论：体系虽然W=0,但其上部有多余联系，而下部又缺少联系，仍为几何可变。单刚结点片数g＝0w=3m－3g-(2h+r)例题刚片个数m=9单铰个数h§3—2平面体系的自由度计算

⑴w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。

任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有以下三种情况：

⑵w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。⑶w＜0,体系具有多余联系。

则几何不变体系的必要条件是:w≤0,但这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。§3—2平面体系的自由度计算⑴w＞0,§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角形规则）:ⅠⅡⅢ

三个刚片用不共线的三个单铰两两相连接组成的体系为几何不变。§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角形规则）:

三个刚片用不共线的三个单铰两两相联组成的体系为几何不变。

此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C两两铰连接组成的，为几何不变。例:ⅠⅡⅢ§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角§3—3几何不变体系的组成规则

2.二元体规则:在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变体系。

二元体：两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。

结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。刚片链杆链杆铰结点例：为没有多余约束的几何不变体系二元体§3—3几何不变体系的组成规则2.二元体规则:在一个刚§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:

两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联,为几何不变体系。虚铰：

O为相对转动中心。起的作用相当一个单铰，称为虚铰。铰链杆O刚片Ⅰ刚片Ⅰ刚片Ⅱ刚片Ⅱ①②.刚片Ⅲ§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:两个§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:

或者两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。刚片Ⅰ刚片ⅡＡOＢＣＤＥＦ．§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:或者§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:

例如：基础为刚片Ⅰ，杆BCE为刚片Ⅱ，用链杆AB、EF、CD

相联，为几何不变体系。ⅠⅡ§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:例§3—4瞬变体系

原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系，这种体系称为瞬变体系。瞬变体系也是一种几何可变体系。例如:.o瞬变体系§3—4瞬变体系原为几何可变，但经过微小位移后转化§3—4瞬变体系

体系的形状和位置可以改变，并发生位移，这种体系称为常变体系。瞬变体系和常变体系都是几何可变体系，不能用作结构。例如:常变体系§3—4瞬变体系体系的形状和位置可以改变，并发生位§3—4瞬变体系瞬变体系的静力特性：

在微小荷载作用下可产生无穷大内力。因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的。瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的一类体系，是特殊的几何可变体系。

FNAB=FNAC=FP

2FNsina=FP

FN=FP/(2

sina)§3—4瞬变体系瞬变体系的静力特性：

在微小荷载§3—5平面体系几何组成分析应用举例

方法：首先计算自由度W，若W＞0,体系为几何可变；若W≤0,应进行几何组成分析。

二元体规则要求：

二元体的两根杆不能在一条直线上。二刚片规则要求：连接两个刚片的三根链杆不能汇交于一点，也不能相互平行。三刚片规则要求：连接三刚片的三个铰不能在一条直线上。

§3—5平面体系几何组成分析应用举例方法：首先例3－1对下列图示体系作几何组成分析。

当拆到结点６时，二元体的两杆共线，故此体系为瞬变体系，不能作为结构。解：

此体系的支座连杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，故可只分析体系本身。例3－1对下列图示体系作几何组成分析。当拆到结点６时例3－2作几何组成分析。解：

ADCF

和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、O2、C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。O1ⅡO2ⅠⅡⅢ..例3－2例3－2解：ADCF和BECG这两部分都解：地基视为刚片Ⅰ。Ⅲ

刚片Ⅱ与梁BC按“两刚片规则”相联，又构成一个更扩大的刚片Ⅲ。AB梁与地基按“两刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。CD梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相联。则此体系为几何不变，且无多余约束。例3－3作几何组成分析。解：地基视为刚片Ⅰ。Ⅲ刚片Ⅱ与梁BC按“两刚片例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）

刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，故不能用三刚片规则。例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）

刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，故不能用三刚片规则。例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰

只有无多余联系的几何不变体系才是静定的。或者说，静定结构的几何构造特征是几何不变且无多余联系。凡按基本简单组成规则组成的体系，都是静定结构；而在此基础上还有多余联系的便是超静定结构。§3－6几何构造与静定性的关系只有无多余联系的几何不变体系才是静定的。或者说，例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）

三个虚铰将三个刚片两两连接，根据三刚片规则，体系为几何不变。oⅡ,Ⅲ例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰有多余约束的几何不变体系拆除约束法：去掉体系的某些约束，使其成为无多余约束的几何不变体系，则去掉的约束数即是体系的多余约束数。１切断一根链杆或去掉一个支座链杆，相当去掉一个约束；２切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当去掉两个约束；３切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当去掉三个约束；４在连续杆（梁式杆）上加一个单铰，相当去掉一个约束。有多余约束的几何不变体系例3－5对下列图示体系作几何组成分析。例3－5对下列图示体系作几何组成分析。例3－6对下列图示体系作几何组成分析。例3－6对下列图示体系作几何组成分析。总结4.两个刚片用三根链杆相连，且三链杆(的延长线）不共点，则组成几何不变体系，且无多余约束。三基本规律1.一个刚片与一点用两根链杆相连，且两链杆不共线，则组成几何不变体系,且无多余约束。2.两个刚片用一铰和一链杆相连，且三铰不共线，则组成几何不变体系，且无多余约束。3.

三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不共线，则组成几何不变体系，且无多余约束。总结4.两个刚片用三根链杆相连，且三链杆(的延长线）不共总结一本章基本要求１.了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束的概念；

２.重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组成规则，并能灵活应用到对体系的分析中。简单规则应用要点简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、约束方式、结论。应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是：紧扣规则。将体系简化或分步取为两个或三个刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则中的四个要素均要明确表达，缺一不可。总结一本章基本要求总结四基本规律灵活应用的几个方面(1)二元体的应用：对能用二元体分析的结构，有时可以从一个基本刚片（如基础或三角形）出发，依次增加二元体，形成扩大的刚片；有时可以先去掉二元体，使原体系简化,再用其他规律分析。(2)基础视为刚片：若某体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，则可以只分析该体系本身；但当体系与基础之间的链杆多于三根，就需要把基础也看成刚片分析。总结四基本规律灵活应用的几个方面(1)二元体的应用：(2第三章平面体系几何组成分析第三章平面体系几何组成分析§3-1概述研究平面体系几何组成分析的任务和目的：(１)研究结构的基本组成规则，来判定体系是否可作为结构以及选取结构的合理形式。(２)根据结构的几何组成，选择相应的计算方法和计算途径。§3-1概述研究平面体系几何组成分析的任务和目的：§3-1概述F

若干个杆件相互联结而组成的构造。在任何荷载作用下，若不计杆件的变形，其几何形状与位置均保持不变的体系。1.自由度的概念§3-1概述F若干个杆件相互联结而组成的构造。1.§3-1概述

即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用下，会产生机械运动的体系，几何形状与位置可变的体系。F§3-1概述即使不考虑材料的变形，在很小的荷载作用§3-1概述

判断体系是否几何不变，又称作几何组成分析﹙或几何构造分析﹚。

刚片：一个在平面内完全不变形的刚性物体叫作刚片。在平面杆件体系中，一根直杆、折杆或曲杆都可以视为刚片，并且由这些构件组成的几何不变体系也可视为刚片。刚片中任一两点间的距离保持不变，既由刚片中任意两点间的一条直线的位置可确定刚片中任一点的位置。所以可由刚片中的一条直线代表刚片。AB§3-1概述判断体系是否几何不变，又称作几何组成§§

3—2平面体系的自由度计算

自由度是指物体运动时可以独立变化的几何参数的数目,即确定物体位置的独立坐标数目。⑴平面上的点(A)有两个自由度,独立变化的几何参数为：x、y。xyAxyo1.自由度的概念§§3—2平面体系的自由度计算自由度是指物体运§§

3—2平面体系的自由度计算⑵平面上的刚片有三个自由度独立变化的几何参数为：x、y、。xyxyo⌒AB§§3—2平面体系的自由度计算⑵平面上的刚片有三个自§3—2平面体系的自由度计算2.约束的概念

减少自由度的装置（又称为联系）。凡是减少一个自由度的装置称为一个约束。⑴链杆:一根链杆相当一个约束。AxyoB⌒§3—2平面体系的自由度计算2.约束的概念减少自由§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o

⑵单铰：连结两个刚片的铰称为单铰。一个单铰相当于两个约束。

§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o⌒Ⅲ3

⑶复铰：连结两个以上刚片的铰称为复铰。连结n

个刚片的复铰相当于(n－1)个单铰。§3—2平面体系的自由度计算ⅠⅡxyAxy⌒1⌒2o3.多余约束的概念

把体系上成为几何不变而必须的约束，称为必要约束；把必要约束之外的约束则称为多余约束。3.多余约束的概念把体系上成为几何不变而必须的约束，§3—2平面体系的自由度计算m—刚片数目h—单铰数目r—链杆数目式中：W—计算自由度w=3m－3g－(2h+r)

一个平面体系,通常由若干个刚片彼此用铰并用链杆与基础相联而组成。

g—单刚结点片数目§3—2平面体系的自由度计算m—刚片数目h—单铰数§3—2平面体系的自由度计算(4）单刚结点:

一个单刚结点或一个固定支座具有３个约束。§3—2平面体系的自由度计算(4）单刚结点:

一个§3—2平面体系的自由度计算计算平面体系自由度时，应注意：（1）确定体系的刚片数m时，将每一根杆都视为一个刚片。（2）单铰数目h仅包含刚片之间互相连接的铰，不包括刚片与支座或支座链杆相连接的铰。复铰须拆成单铰。§3—2平面体系的自由度计算计算平面体系自由度时，应注意§3—2平面体系的自由度计算（3）对于体系的复杂结点时，即不完全铰结点，应具体分析。g:单刚节点片数目§3—2平面体系的自由度计算（3）对于体系的复杂结点时，例题刚片个数m=9单铰个数h=12链杆个数r=3W=3×9—（12×2+3）

=0113322讨论：体系虽然W=0,但其上部有多余联系，而下部又缺少联系，仍为几何可变。单刚结点片数g＝0w=3m－3g-(2h+r)例题刚片个数m=9单铰个数h§3—2平面体系的自由度计算

⑴w＞0,体系缺少足够的联系，为几何可变。

任何平面体系的计算自由度，其计算结果将有以下三种情况：

⑵w＝0,体系具有成为几何不变所必需的最少联系数目。⑶w＜0,体系具有多余联系。

则几何不变体系的必要条件是:w≤0,但这不是充分条件，还必需研究几何不变体系的合理组成规则。§3—2平面体系的自由度计算⑴w＞0,§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角形规则）:ⅠⅡⅢ

三个刚片用不共线的三个单铰两两相连接组成的体系为几何不变。§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角形规则）:

三个刚片用不共线的三个单铰两两相联组成的体系为几何不变。

此体系由三个刚片用不共线的三个单铰A、B、C两两铰连接组成的，为几何不变。例:ⅠⅡⅢ§3—3几何不变体系的组成规则1.基本的三刚片规则（三角§3—3几何不变体系的组成规则

2.二元体规则:在一个刚片上增加一个二元体,仍为几何不变体系。

二元体：两根不共线的链杆联结一个新结点的构造。

结论：在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原体系的几何构造性质。刚片链杆链杆铰结点例：为没有多余约束的几何不变体系二元体§3—3几何不变体系的组成规则2.二元体规则:在一个刚§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:

两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相联,为几何不变体系。虚铰：

O为相对转动中心。起的作用相当一个单铰，称为虚铰。铰链杆O刚片Ⅰ刚片Ⅰ刚片Ⅱ刚片Ⅱ①②.刚片Ⅲ§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:两个§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:

或者两个刚片用三根不完全平行也不交于同一点的链杆相联，为几何不变体系。刚片Ⅰ刚片ⅡＡOＢＣＤＥＦ．§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:或者§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:

例如：基础为刚片Ⅰ，杆BCE为刚片Ⅱ，用链杆AB、EF、CD

相联，为几何不变体系。ⅠⅡ§3—3几何不变体系的组成规则3.两刚片规则:例§3—4瞬变体系

原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系，这种体系称为瞬变体系。瞬变体系也是一种几何可变体系。例如:.o瞬变体系§3—4瞬变体系原为几何可变，但经过微小位移后转化§3—4瞬变体系

体系的形状和位置可以改变，并发生位移，这种体系称为常变体系。瞬变体系和常变体系都是几何可变体系，不能用作结构。例如:常变体系§3—4瞬变体系体系的形状和位置可以改变，并发生位§3—4瞬变体系瞬变体系的静力特性：

在微小荷载作用下可产生无穷大内力。因此，瞬变体系或接近瞬变的体系都是严禁作为结构使用的。瞬变体系一般是总约束数满足但约束方式不满足规则的一类体系，是特殊的几何可变体系。

FNAB=FNAC=FP

2FNsina=FP

FN=FP/(2

sina)§3—4瞬变体系瞬变体系的静力特性：

在微小荷载§3—5平面体系几何组成分析应用举例

方法：首先计算自由度W，若W＞0,体系为几何可变；若W≤0,应进行几何组成分析。

二元体规则要求：

二元体的两根杆不能在一条直线上。二刚片规则要求：连接两个刚片的三根链杆不能汇交于一点，也不能相互平行。三刚片规则要求：连接三刚片的三个铰不能在一条直线上。

§3—5平面体系几何组成分析应用举例方法：首先例3－1对下列图示体系作几何组成分析。

当拆到结点６时，二元体的两杆共线，故此体系为瞬变体系，不能作为结构。解：

此体系的支座连杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，故可只分析体系本身。例3－1对下列图示体系作几何组成分析。当拆到结点６时例3－2作几何组成分析。解：

ADCF

和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、O2、C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。O1ⅡO2ⅠⅡⅢ..例3－2例3－2解：ADCF和BECG这两部分都解：地基视为刚片Ⅰ。Ⅲ

刚片Ⅱ与梁BC按“两刚片规则”相联，又构成一个更扩大的刚片Ⅲ。AB梁与地基按“两刚片规则”相联，构成了一个扩大的刚片Ⅱ。CD梁与大纲片Ⅲ又是按“两刚片规则”相联。则此体系为几何不变，且无多余约束。例3－3作几何组成分析。解：地基视为刚片Ⅰ。Ⅲ刚片Ⅱ与梁BC按“两刚片例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）

刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，故不能用三刚片规则。例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）

刚片Ⅱ与Ⅲ之间只有一根支座链杆直接联系，另一个为间接联系，故不能用三刚片规则。例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰当选择的影响）例3－4对下列图示体系作几何组成分析。（说明刚片和约束的恰

只有无多余联系的几何不变体系才是静定的。或者说，静定结构的几何构造特征是几何不