大学专业课程《线性代数》试题及答案(三)

大学专业课程《线性代数》试题及答案（三）填空题

1 1 11 0 4设向量组

, ,

线性相关，则k 2 .1 2 2 0 3 81 1 k解：方法一：,,1 2 3

0kkk，使1 2 3

kk k 0k 0 1 2 3

1

k4k 0kkk

k01 31 1 2 2 3

1 2 3 k2 0

2k8k 0k4k

3 k1

12k2

3kk 03k,k,k1 2 31k,k,k1 2 3

k 0前三个方程解出kkk

3k ， （3 3k

不全为0）3 3把k,k,k1 2

代入第四个方程得k2k3

0，k3

0k2方法二：,,1 2

线性相关，则1 2

331 1 1

1 1 1

1 1 11 0 4

0 1 3

0 1 3 A1 2

3 2

0 8

0 2 6

00 0 0 01 2 k1

0 1 k1

0 k2由1 2

3k20，即k23方法三：RA1 2

3A0A的一个三阶子式31 1 12 0 80k21 2 k a b 1

0,

c,

a线性无关，则a,b,c必满足关系式abc0.c 0 c 0 解：A

a b 00 c a，则,,A01 2a b 0

3 c 0 b

1 2 30 c a2abc0abc0.c 0 b1 1 1 设向量组

1 , 1,

1 的秩为2，则 -3 .1 2 3 1 1 1 1 1 1 解：1 2

23 3 1 2

00,3当0时，1 2当3时，1 2

120；323.3向量组,,1 2

1

,1 2

1

,3

2 3是线性 无关 . 1 1 0 11 2 11 A1解： 2 2 2 0 1 4 333 333A30APP12

P为初等方阵的乘积，初等变换不改变矩阵秩，从而不改变向量s组的秩，R 1 2

3 1 2

3（,,3 1 2

线性无关）,,1 2

线性无关.（5）向量组,,1 2 3

21

,1 2

,2 3

3

的秩为2 . 1 1 0 10 1 11 A1解： 2 2 2 1 0 1 333 333A20APP12

P为初等方阵的乘积，初等变换不改变矩阵秩，从而不改变向量s组的秩，R 1 2

3 1 2

2.31 2 2 a6设三阶矩阵A2 1 2向量1且满足与线性相关则a -1 . 3 0 4 3 0 4 解：与线性相关 与对应分量成比例1 2 2a a a a 2a3 42 1 212a3kk1 k1

a 1 1 3 0 41 3a a11 1 k 设1

1,k

k,1

1R3k满足关系式1

k1,k2 . 解：,,1 2

R3,,1 2 31 1 k

线性无关 1 2 3

1 k 1kk32k2k20k1,k2k 1 1 1 1 0 已知三维线性空间的一组基为1

1, 0 1 1

0,

1，则向量0在这组基下的坐标是

x 1解：xxx

x

Ax，xA11 1 2 2 3

1 2 3 2x31 1 0 2

1 1 0 2 1 1 0 2

1 0 0 11 0 1 0

0 1 1 2 0 1 1 2

0 1 0 1 0 1 1 0 x1 .

0 1 1 0

0 0 1 选择题（1）设,,1 2

n(A)m（A）若,,1 2

不线性相关，则一定线性无关；kkm mmkk,

k k

k

0，则,, 1 2

线性无关；

1 2 m

1 1 2 2若存在m个不全为零的数k,k,

，使得：k

k

0，则,, 1 2

kkm m

1 2 m

1 1 2 2若向量组,,1 2

线性相关，则m 1

可由, 2

线性表示.B）,,1 2

可以线性相关；kkm m（C）m个不全为零的数kk,

k k

k

0，则,, 1 2

线性无关；

1 2 m

1 1 2 2（D）P64定理3.2.1指出：,, 1 2 m

（m2）线性相关至少存在一个向量可由其余m1个向量线性表示，但并没有指明是哪一个向量可由其余m1个向量线性表示.（2）向量组,,1 2

线性相关的充要条件( C )m（A）,,1 2（B）,,

中有一个零向量；m中任意两个向量成比例；1 2（C）,,1 2

m中有一个向量是其余向量的线性组合；m（D）,,1 2

中任意一个向量都是其余向量的线性组合.mC）正确：P64定理3.2.AB）.,(3sn维向量组,(3s1 2

sn)线性无关的充要条件( D )存在一组不全为零的数k ,k,1 2

k，使si1

k 0；i i（B）,,1 2（C）,,1 2

,中任意两个向量都线性无关；s,存在一个向量不能由其余向量线性表示；s（D）,,1 2

,.sA）,,

,线性相关k k0k

0任意一组不1 2全为0的数k,

s 1 1 s s 1 s,k k k0； s3

1,

0,

1，则,,

中任意两个向量都 1 0

2 1

1 2 1

1 2 3线性无关，但是,,1 2 3

线性相关；P64定理3.2.1的逆否命题为：,, 1 2 m

（m2）线性无关不存在一个向量可由其m1个向量线性表示m1个向量线性表示，故）.（4）设向量(I)：,, 1 2 r

；向量(II)：,, 1 2

,r

, ,m

，则必( A )（A）(I)线性相关(II)线性相关； （B）(I)线性相关(II)线性无关；（C）(II)线性相关(I)线性相关； 线性相关(I)线性无关.解：1

, ,r

线性相关增加一个向量或者减少一维向量仍线性相关；, ,1

线性无关减少一个向量或者增加一维向量仍线性无关.（5）已知向量组,1 2

,,3

线性无关，则向量( C )1

,2 ,

,3 ,

,4 ,

线性无关；1线性无关；11

2 ,2

3 3,3

4 4,4

1线性无关；11

,2

,3

,4

.1解：一般地， 1 2

3 4

1 2

T，即，3 4A0AAPP12

P为初等方阵的乘积，初等变换不改变矩阵的秩，从而s1 2

,,3

,1 2

,,3

1 2

,,3 4,1 2

,,3

线性无关；若A01 2

,,3

一定线性相关：RRARA41 2

,,3

线性相关；方法二：A

0，则0一定有非零解，设此非零解为x 0，即ATx 0，0 0则xTA0，xTxT00x

x

x

x

，,

,,线0 0 0性相关.

01 1

02 2

03 3

04 4

1 2 3 41100011000111001A 20，故11000110001110013 1 2

A 0.4（6）设,,线性相关，,,线性无关，( C )1 2 2 3（A）,,1 2

线性相关； （B）,,1 2 3

线性无关；（C）1

,,2 3

线性表示； （D）能由,1 2

线性表示.,,1 2

线性相关,2

,,2 3

线性无关1

能由,2

线性表示1

,,2 3

线性表示，故（C）正确.设向量能由向量组,1 2

, ,m

线性表示但不能由向量组：,1 2

, ,

线m1性表示，记向量组I：,,1 2

,m1

,，则( B )不能由线性表示，也不能由线性表示；m不能由线性表示，但能由线性表示；m能由（I）线性表示，也能由线性表示；m能由（I）线性表示，但不能由.m解： 能由向量组,1 2

, ,m

线性表示，,

R

m11 m1又 不能由向量组：,1 2

, ,

m1

线性表示，于是m

0，1 1m

21 22

1

m1

，即m

能由（II）线性表示；m m m m假设

能由（I）k,

R，使

k

，代入,km1k ,km1k m1m1m1

得到能由向量（,, ,

线性表示，矛盾，1 1 m1 m m 1 2 m1故m不能由（I）线性表示.故选（B）.设矩阵A为n阶方阵，且R(rn，则在A的n个行向量( B )r个行向量线性无关；r个行向量线性无关；r个行向量构成极大无关组；r.R(r

A 1

, , A

R

r解： ，

，1 n

为 的行向量组，则 ，n 1 n, ,1

的最大无关组的个数为r，1

, ,n

必有r个行向量线性无关，故（B）正确.EA rr

O

RAr

, ,例如：关.

O O 1

，r rn

则 线性无1 r

A为n阶方阵，且|A0，则矩阵A中( C )0；2列元素对应成比例；必有一列向量是其余列向量的线性组合；nAn1|A|0RAn,1

,kn 1

, ,kn

，使得：k k1 1 n

0一个向量可由其余n1个向量线性表示，故（C）正确.B）是|A0.（10）,,1 2 3

线性无关，向量1

可由向量组,,1 2

线性表示，而向量 不2能由向量组,,1 2

线性表示，则对于任意的常数k，必( A )（A）,1 2

,,k3

线性无关； （B）,2 1

,,k3

线性相关；2（C）,1 2

,,3

k2

线性无关； （D）,1 2

,,3

k2

线性相关.

可由向量组,,

线性表示

k

k

k1 1 2 3 1 1 1 2 2 3 3①,1

,,k3

一定线性无关2若线性相关，,,

k

，则1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3

k

k

k

kk

kk

kk2 11 2 2 3 3

11 2 2 3 3

1 1 1 2

2 2 3 3 3矛盾，故,1 2

,,k3

线性无关；2k0时，,1 2

,,3

k2

k0时，,1 2

,,3

k2

线性相关。k0时，若线性相关，,,

线性无关，

k

，则1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3kkkk2 11 2 2 3 3 11 2 2 3 31

k1

k1k

，矛盾，故线性相关；2 k

1 1 k

2 2 k 3 3 3k0kkk，故,,

线性相关.1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 11 30 23．设 , ，求,4,(,),||||,||||.1 42 1 13 2 5 12 17解：

02

4

0

8814 5 5 16 1123

10 4 6 (,)T30423 ||||

110146||||

3094161230941615 1 1设

, , ，且

)

)

)，求.1 1 2 5 3 1 1 2 33 3 1)

)13251 2 3

6 1 2 36 20 20 1115 2 5 2 63 10 5 39 20 5 4 讨论下列向量组的线性相关性：1 1 1（1）1

1,

1,

1；1

2

3 0 0 1 1

4

12

1

3（2）2

,

, ；1 13

2 56

3 47 2

3（3）33,

1；1 2 0 2 1 9 22

100

4（4）向量组4：

,

, ；1 1

2 10

24 4 8 1 3 2 2（5）5

,

2,

1,

3.1

2 3 4 2 0 1 5 解）

1 1 1 1100120100120 1 2 3 1

0 0 121.3

1141141141213095 0 9 5（2）

1 2

1 5 4 0 9 5 0 0 03 6 7 0 18 10 0 0 0 R1 22R12 3（3）,1 2

对应分量不成比例，3.1 9 22 100 4

1 9 20 82 0（4）方法一：

1 2

1 10 2 0 19 04 4 8 0 32 01

24.3方法二：1

与线性相关（3

21

，,,1 2

线性相关.（5）3.2.543维向量必定线性相关，56．分别求下列向量组的秩及其一个最大的线性无关组：1 4 12 11 71：

, , ；1 4 2 15 3 80 1 4 1 2 4 7 38 9 7 6 12：1

,0

,5 3

,5

,10

.51 3 1 3 2 1 4 1 1 4 1 1 4 12 11 7 0

5

1 4解）

1 2

4 15 8 0 1 4 0 0 17 40 0 1 4 0 1 40 R 1 2

3，,,3 1 2

为一个极大无关组. 1 2 4 7 1 2 4 7 （2）

0 0

8 9 7 6

25 25 501 2

4 0 5 5 10

5 5 101 3 1 3 0 5 5 10 1 2 4 7 0 1 1 2 0 0 0 00 0 0 0R2，显然矩阵的前两个列向量线性无关，的前两个列向量线性无关,1

为一个极大无关组. 6 a a设

a1,

,

1，则：1 2 3 3 2 3 2 a为何值时，向量组,1 2

线性相关？线性无关？a为何值时，向量组,,1 2 3

线性相关？线性无关？）向量组,1 2

线性相关的充要条件是对应分量成比例，即6a1

3a4a 2 2当a4时，对应分量不成比例，此时向量组线性无关.a时，,1 2

a时，,1 2

线性无关.（2）向量组线性无关1 2

3A 3 1 2

036 a aA 1 2

a1 3

142a30a4a32向量组线性相关

3 2 0 3A

0a4或a31 2 3 1 2 3 2aa3/2时，,,1 2 3

线性相关；当aa3/2时，,,1 2 3

线性无关.a 2 1 2设向量组1

3,

b,

2,

3的秩为2，求a,b的值. 1 3 1 1 3 1 a 2 1 2 解：方法一：A3 b 2 3，RA 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 A 3 b 2 3 0 b9 1 0 a 2 1 2 0 23a 1a 2 要使RA2，则9 0与1a 2a必线性相关：b9

0 a2,b521a 2a方法二：RA2，容易找到一个二阶子式不为0，A的所有三阶子式为0，则a 121111113 23323010 2a0a21 11a1201a2a1212b21212b23203110221b 3b2221b1b0b52 2 2 1 2

9．设向量组,,1 2 3

lm2

,1

,线2 1 3性无关.解：

l

m

1 0 1l 1 01 2

2 1 3 2 1

1 2

0 m

，RRARA3,

A0可逆A=0A0R31 2 3

线性相关；A0A可逆，此时RR31 2 3

线性无关；A0线性相关1 2 31 2 3线性无关A0A0线性无关1 2 31 2 3线性相关A0A01 2 3A0线性无关1 2 31 0 1

1 0 1

1 l A l 1 0 0 1 l

m 1

ml1

0lm10 m 1 0 m 1lm12

,1

,2 1

线性无关.10,,1 2 3

线性无关，向量1

能由向量组,,1 2

线性表示，而向量 不能2由向量组,,1 2

线性表示，对任意的实数k，问向量组,1 2

,,k3

是否线性相关，为什么？2向量组,1 2

,,3

k2

是否线性相关，为什么？解：可由向量组,,

线性表示

kkk1（1）,1 2

,,k3

1 2 3 1.2

1 1 2 2 3 3若线性相关，,,

k

，则1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3

k

k

k

kk

kk

kk2 11 2 2 3 3

11 2 2 3 3

1 1 1 2

2 2 3 3 3矛盾，故,1 2

,,k3

线性无关；2（2）k0,1 2

,,3

k2

k0,1 2

,,3

k2

线性相关.k0时，若线性相关，,,

线性无关，

k

，则1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3kkkk2 11 2 2 3 3 11 2 2 3 31

k1

k1k

，矛盾，故线性相关；2 k

1 1 k

2 2 k 3 3 3k0kkk，故,,

线性相关.1 1 1 2 2 3 3 1 2 3 11 1

1 1

8 4 2 3

9

9 9验证矩阵1 1

1和矩阵8 1

4. 2 2

9

9 91 13232

491 9

4 79 9解：方法一：直接根据正较阵定义进行验证，即AATE，过程略；方法二：根据定理3.4.2，A为正交阵 A的行（列）向量组是标准正交向量组1 1 11 2 3

1 8 49 9 9

1 1

1

8

1 41 2 3 2 2

1 2

9 9 91 13232

1

994 4 799 9 对于矩阵,0矩阵不是正交1 2阵；对于矩阵， 1 2

1，,,3 1 2

是单位列向量又1

188149 9 9 9 9

0，,1 3

1484479 9 9 9 9 9

0，,

841447

0，,,

是标准正交向量组， 2 3 9 9 9 9 9 9

1 2 3矩阵.121 1 111

1,

2,

4； 1 3 1 3 1 1 10 1 12：

, , .1 1 2 0 3 11 1 0）

111 1 11,

1

1 16

2 1

2 103 1 2 2 ,3 1 1 1

1 3 , ,

1

114

8

11 3 1

3 2

4 1 0 23 3 , 1 ,

2 3 2 3 1 1 2 1

9 1 1 10（2）1

1 11 1 1 1 1,

1 20 13

2 1

2 2 ,

1 0 31 321 1 1 1 1 01 1 2 10

1,

,

1 2

13

13

3

13

2

3 3 , 1 ,

2 1 31 5 32 531 1 2

0 1 3 1 4 1

,1

1

, ,r

1

,1

, ,r

线性无关，证明向量,1

, ,r

线性无关.k

k

k

0

,

,,,r1r有：kr 12kr 120r11 2 1 2kkr 12kr 2k0r r1 2,1 2

,线性无关，kk k k 0,k r 2k 0, ,k 0r r,k 0,2,k 0,2r

k01 1

, ,r

线性无关.能由向量组1

, ,m

线性表示，且表示式惟一，证明1

, ,m

线性无关.k

k

0l

l

l

，两式相加有：km mkm mk1

l1

k2

l2

km

l,,km0kl1 1

l,,,k lm

l km

0,, ,1

线性无关15．设向量组,,1 2 3

线性相关，向量组2

,,3

线性无关，证明：1

能由,线性2 3表示，而4

不能由,,1 2

线性表示.解： 2

,,3

,2 3

线性无关，又,,1 2 3

0的数k,k,k ，st.kkk0，必有k 0，否则k,

不全为0，且1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3kk2 2 3

0与,2

线性无关矛盾，1

k2k 1

k3k 1

，即1

能由,2

线性表示.反证：若4

能由,,1 2

线性表示，由于1

可由,2

线性表示，4

能由,线性2 3表示，与2

,,3

线性无关矛盾，4

不能由,,1 2

线性表示.16．设n维单位坐标向量组,,1 2

,n维向量组,n 1

, ,n

线性表示，证明向量组,,1 2

,.n,,1 2

,n,n 1

, ,n

线性表示，因此由题目知,,1 2

,与,n 1

, ,n

,,1 2

,的秩为n以,,1 2

,的秩也为n，即,,n 1 2

,.n17．,1

, ,n

是n维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都能由它们线性表示.证明：必要性：任取向量Rn，

,1

, ,n

是线性无关的n维向量组，,1

, ,n

可由,,1 2

,线性表示；n充分性：若任意一个n维向量均可由,1 2

, ,n

线性表示，则n维单位坐标向量组,,1 2

,可由,n 1

, ,n

16题知,,1 2

,.n1

Annk00，证明向量组,,Ak线性无.k100，则线性无关，结论正确；k1

A2

Ak0 （1）0 1

k1Ak，则0

Ak11

Ak2

Ak1

k

A2k20Ak00

Ak00，0

0，代入（1）得：1 2

A2

k1

Ak0 （2）Ak2，则1

Ak12

Ak

k

A2k301

0，代入（2）得A22 3

A3

k1

Ak0 （3）Ak3，则2

Ak13

Ak

k

A2k4002以此类推，得到3 4

k

0，从而,,Ak线性无.19．设向量(I)：,, ,的秩为r，向量(II)：,, ,，的秩为

，向量组1 2 s 1 1 2 t 2(III)：,,

,,,

, ,

，证明max{r

r}

rr.1 2 s 1 2 t 3

1,2

3 1 2r1

rr3

r，3所以maxr,rr；1 2 3同时记,

, ,

为,

, ,

的极大无关组，,,

,为,

, ,

的极大1 2 r 1 2 s1

1 2 r 1 2 t2无关组，则可由,,

,，,,

,线性表示，r

rrmax{r

1r}

2 r 1 2 r1 2rr.

3 1 21,2 3 1 2AmsBmtRABRR(B.证明：将

ABA1

，Bs 1

，则tRAR1

，RBRs 1

，且tRA B 1 s 1

，由19题知：RA BRARB.tBmnRABRR(B.ABA1

，Bn 1

，则：nAB1 1

n

，1

, ,1

可由n

, ,n

,, ,1

线性表示，由19题知：R(AB)R(A)R(B).AmsBsnRABR(B)}.a

a

11

1s

1

1a a a

证明设A 21 22

2sB

2ABAB

2，a a a

aa 2ABa1121aa22a112a1s2sa1aa 211111a1s s2s s ma