几何图形中线段和差的最值问题课件

线段和差的最值问题线段和差的最值问题1APMBCD..菱形ABCD中，AB=10,∠BAD=600,M是边AB上的中点，P是对角线AC上一点.（1）求PB+PM的最小值.（2）求PB-PM的最大值，并指出此时点P的位置.问题提出APMBCD..菱形ABCD中，AB=10,∠BAD=6002ABA’P课本原型：如图，要在小河旁修建一个抽水站，向村庄A、B供水，水站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？小河

基本解法:利用对称性构造三点共线依据:两点之间线段最短基本图形ABA’P课本原型：如图，要在小河旁修建一个抽水站，向村庄3两条线段和的最小值两点之间，线段最短线段和差的最值问题解题策略两条线段差的最大值三角形两边之差小于第三边当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大两条线段和的最小值线段和差的最值问题解题策略两条线段差的最大4线段和差的最值问题解题策略当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算线段和差的最值问题解题策略当P运动到E时，PA＋PB最小当Q5ABCDM（1）若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值.如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上一点.PP利用对称性构造三点共线典例分析ABCDM（1）若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值.6ABCDM点动线不动（2）若M、N分别是AB，BC边上的点，且AM=CN=1/3AB,求PM+PN的最小值.PNA组变式：点B换成了点N如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上一点.ABCDM点动线不动（2）若M、N分别是AB，BC边上的点，7ABCD（3）连结QC，点P、M是QC、BC上任意点，求PM+PB的最小值。B组变式：改动了对称轴的位置，点M变成了动点如图，正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中点，QB’MP点线一起动PMABCD（3）连结QC，点P、M是QC、BC上任意点，求PM8线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归来源引申、条件变换、背景转换、增加解题层次性等1.分清定点、动点、对称轴2.利用对称性构造三点共线线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归来源引申、909济南24已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标.线段和差的最值问题解题策略（例一）09济南24已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的10要求△PBC的周长最小？线段和差的最值问题解题策略第一步

寻找、构造几何模型只要PB+PC最小就好了！经典模型：建水站！要求△PBC的周长最小？线段和差的最值问题解题策略第一步11线段和差的最值问题解题策略把PB+PC转化为PA+PC

！当P运动到H时，PA+PC最小第二步

计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略把PB+PC转化为PA+PC！当1209内江27对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值.线段和差的最值问题解题策略（例一之变式）09内江27对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值.线13要求PQ+QB的最小值？线段和差的最值问题解题策略第一步

寻找、构造几何模型经典模型：建水站！要求PQ+QB的最小值？线段和差的最值问题解题策略第一步14线段和差的最值问题解题策略把PQ+QB转化为PQ+QA

！当Q运动到E时，PQ+QA最小第二步

计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略把PQ+QB转化为PQ+QA！当15线段和差的最值问题解题策略第二步

计算——勾股定理把PQ+QB转化为PQ+QA

！当Q运动到E时，PQ+QA最小线段和差的最值问题解题策略第二步计算——勾股定理把PQ+16线段和差的最值问题解题策略小结E?F!线段和差的最值问题解题策略小结E?F!1708福州22在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.线段和差的最值问题解题策略（例二）08福州22在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形M1808福州22要求四边形MNFE的周长最小？线段和差的最值问题解题策略把三条线段转移到同一条直线上就好了！第一步

寻找、构造几何模型08福州22要求四边形MNFE的周长最小？线段和差的最值问题19第二步

计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略第二步计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略20小结线段和差的最值问题解题策略经典模型：台球两次碰壁问题经验储存：没有经验，难有思路小结线段和差的最值问题解题策略经典模型：台球两次碰壁问题经验212010南通28设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝1/4x2-1上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．线段和差的最值问题解题策略（例三）2010南通28设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，22过点P作PH⊥L，垂足为H，延长HP交x轴于点G，设P（m,n）则∴∴∵∴OP=PH要使△PDO的周长最小，因为OD是定值，所以只要OP+PD最小，∵OP=PH∴只要PH+PD最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”可知，当点D、P、H三点共线时，PH+PD最小，因此，当点D、P、H三点共线时，△PDO的周长最小。过点P作PH⊥L，垂足为H，延长HP交x轴于点G，23线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归：（利用对称性构造三点共线）来源引申、条件变换、移植转换、增加解题层次性等小结归纳线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归：（利用对24已知抛物线若一个动点Ｍ自Ｐ(0,1)出发，先到达对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长。yoX1-1(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F课堂练习1已知抛物线25yoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•F变一变

若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长EyoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•F变一变若一个26yoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F变一变

若一个动点Ｍ自Ｐ(0,1)出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长EP’yoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F变27

在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形的周长最小时，求点E、F的坐标.课堂练习2在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别28课堂练习2课堂练习229课堂练习2课堂练习230

如图：已知点Ａ（-4，8）和点Ｂ（2，ｎ）在抛物线ｙ＝ａｘ２上，（1)求ａ的值及点Ｂ关于Ｘ轴对称点Ｐ的坐标，并在Ｘ轴上找一点Ｑ，使得ＡＱ＋ＱＢ最短，求出点Ｑ的坐标；（2）平移抛物线ｙ＝ａｘ２，记平移后点Ａ的对应点为Ａˊ，点Ｂ的对应点为Ｂˊ，点Ｃ（-2，0）和Ｄ（-4，0）是Ｘ轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，ＡˊＣ＋ＣＢˊ最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ＡˊＢˊＣＤ的周长最短？若存在求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。课堂练习34x22A8-2O-2-4y6BCD-44如图：已知点Ａ（-4，8）和点Ｂ（2，ｎ）在抛物线ｙ＝31

解：(1)将点A(-4，8)的坐标代入，解得． 将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． 直线AP的解析式是． 令y=0，得．即所求点Q的坐标是(，0)．

课堂练习3课堂练习332（2）①设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标分别为A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-m，-8)．直线A′′B′的解析为．要使A′C+CB′最短，点C应在直线A′′B′上，将点C(-2，0)代入直线A′′B′的解析式，解得． 故将抛物线向左平移个单位时A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为．

课堂练习3（2）①设将抛物线向左平移m个单位，则平移后A′，B′的坐标33

②左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短； 第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． 点A′关于x轴对称点的坐标为A′′(-4-b，-8)，直线A′′B′′的解析式为． 要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D(-4，0)代入直线A′′B′′的解析式，解得．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为．

课堂练习3②左右平移抛物线，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以34几何图形中线段和差的最值问题课件35再见再见36线段和差的最值问题线段和差的最值问题37APMBCD..菱形ABCD中，AB=10,∠BAD=600,M是边AB上的中点，P是对角线AC上一点.（1）求PB+PM的最小值.（2）求PB-PM的最大值，并指出此时点P的位置.问题提出APMBCD..菱形ABCD中，AB=10,∠BAD=60038ABA’P课本原型：如图，要在小河旁修建一个抽水站，向村庄A、B供水，水站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？小河

基本解法:利用对称性构造三点共线依据:两点之间线段最短基本图形ABA’P课本原型：如图，要在小河旁修建一个抽水站，向村庄39两条线段和的最小值两点之间，线段最短线段和差的最值问题解题策略两条线段差的最大值三角形两边之差小于第三边当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大两条线段和的最小值线段和差的最值问题解题策略两条线段差的最大40线段和差的最值问题解题策略当P运动到E时，PA＋PB最小当Q运动到F时，QD－QC最大第一步，寻找、构造几何模型第二步，计算线段和差的最值问题解题策略当P运动到E时，PA＋PB最小当Q41ABCDM（1）若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值.如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上一点.PP利用对称性构造三点共线典例分析ABCDM（1）若M是AB边上的中点，求PM+PB的最小值.42ABCDM点动线不动（2）若M、N分别是AB，BC边上的点，且AM=CN=1/3AB,求PM+PN的最小值.PNA组变式：点B换成了点N如图，正方形ABCD中，AB=2,P是对角线AC上一点.ABCDM点动线不动（2）若M、N分别是AB，BC边上的点，43ABCD（3）连结QC，点P、M是QC、BC上任意点，求PM+PB的最小值。B组变式：改动了对称轴的位置，点M变成了动点如图，正方形ABCD中，AB=2,Q是AB中点，QB’MP点线一起动PMABCD（3）连结QC，点P、M是QC、BC上任意点，求PM44线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归来源引申、条件变换、背景转换、增加解题层次性等1.分清定点、动点、对称轴2.利用对称性构造三点共线线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归来源引申、4509济南24已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小，请求出点P的坐标.线段和差的最值问题解题策略（例一）09济南24已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的46要求△PBC的周长最小？线段和差的最值问题解题策略第一步

寻找、构造几何模型只要PB+PC最小就好了！经典模型：建水站！要求△PBC的周长最小？线段和差的最值问题解题策略第一步47线段和差的最值问题解题策略把PB+PC转化为PA+PC

！当P运动到H时，PA+PC最小第二步

计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略把PB+PC转化为PA+PC！当4809内江27对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值.线段和差的最值问题解题策略（例一之变式）09内江27对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值.线49要求PQ+QB的最小值？线段和差的最值问题解题策略第一步

寻找、构造几何模型经典模型：建水站！要求PQ+QB的最小值？线段和差的最值问题解题策略第一步50线段和差的最值问题解题策略把PQ+QB转化为PQ+QA

！当Q运动到E时，PQ+QA最小第二步

计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略把PQ+QB转化为PQ+QA！当51线段和差的最值问题解题策略第二步

计算——勾股定理把PQ+QB转化为PQ+QA

！当Q运动到E时，PQ+QA最小线段和差的最值问题解题策略第二步计算——勾股定理把PQ+52线段和差的最值问题解题策略小结E?F!线段和差的最值问题解题策略小结E?F!5308福州22在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由.线段和差的最值问题解题策略（例二）08福州22在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形M5408福州22要求四边形MNFE的周长最小？线段和差的最值问题解题策略把三条线段转移到同一条直线上就好了！第一步

寻找、构造几何模型08福州22要求四边形MNFE的周长最小？线段和差的最值问题55第二步

计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略第二步计算——勾股定理线段和差的最值问题解题策略56小结线段和差的最值问题解题策略经典模型：台球两次碰壁问题经验储存：没有经验，难有思路小结线段和差的最值问题解题策略经典模型：台球两次碰壁问题经验572010南通28设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝1/4x2-1上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．线段和差的最值问题解题策略（例三）2010南通28设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，58过点P作PH⊥L，垂足为H，延长HP交x轴于点G，设P（m,n）则∴∴∵∴OP=PH要使△PDO的周长最小，因为OD是定值，所以只要OP+PD最小，∵OP=PH∴只要PH+PD最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。”可知，当点D、P、H三点共线时，PH+PD最小，因此，当点D、P、H三点共线时，△PDO的周长最小。过点P作PH⊥L，垂足为H，延长HP交x轴于点G，59线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归：（利用对称性构造三点共线）来源引申、条件变换、移植转换、增加解题层次性等小结归纳线段和的最值问题课本例题或常见题考题如何去解？化归：（利用对60已知抛物线若一个动点Ｍ自Ｐ(0,1)出发，先到达对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长。yoX1-1(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F课堂练习1已知抛物线61yoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•F变一变

若一个动点Ｍ自Ｐ出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长EyoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•F变一变若一个62yoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F变一变

若一个动点Ｍ自Ｐ(0,1)出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A。确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最短路程的长EP’yoXC1-1(0,2)A•(0,1)P•A’(5,2)F变63

在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形的周长最小时，求点E、F的坐标.课堂练习2在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别64课堂练习2课堂练习265课堂练习2课堂练习266

如图：已知点Ａ（-4，8）和点Ｂ（2，ｎ）在抛物线ｙ＝ａｘ２上，（1)求ａ的值及点Ｂ关于Ｘ轴对称点Ｐ的坐标，并在Ｘ轴上找一点Ｑ，使得ＡＱ＋ＱＢ最短，求出点Ｑ的坐标；（2）平移抛物线ｙ＝ａｘ２，记平移后点Ａ的对应点为Ａˊ，点Ｂ的对应点为Ｂˊ，点Ｃ（-2，0）和Ｄ（-4，0）是Ｘ轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，ＡˊＣ＋ＣＢˊ最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ＡˊＢˊＣＤ的周长最短？若存在求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。课堂练习34x22A8-2O-2-4y6BCD-44如图：已知点Ａ（-4，8）和点Ｂ（2，ｎ）在抛物线ｙ＝67

解：(1)将点A(-4，8)的坐标代入，解得． 将点B(2，n)的坐标代入，求得点B的坐标为(2，2)，则点B关于x轴对称点P的坐标为(2，-2)． 直线AP的解析式是