考点35-空间点、线、面的位置关系课件

35空间点、线、面的位置关系35空间点、线、面的位置关系1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α证明“点在面内”或“线在面内”1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言作用公理1如果一条公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C∈平面α，则α是唯一的证明两个平面重合,用来确定一个平面或证明“点线共面”公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A∉直线a，则A和a确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P∈α，P∈β，则α∩β＝a，P∈a，且a是唯一的确定两个平面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”“三线共点”公理4平行于同一直线的两条直线①_____l1∥l，l2∥l⇒②_____证明线线平行平行l1∥l2公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与3.两条异面直线所成的角(1)过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的③____________叫作这两条异面直线所

(2)当两条异面直线所成的角为⑤____时，这两条异面直线互相垂直．锐角或直角成的角．若记这个角为θ，则θ∈④_________．3.两条异面直线所成的角锐角或直角成的角．若记这个角为θ，则

判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面． 判定空间两条直线是异面直线的方法考向1空间点、线、面位置关系的判断

高考对空间点、线、面的位置关系的考查不多，主要有以下两个方面：一是单独考查直线和平面的位置关系；二是以多面体为载体考查线、面的位置关系．复习时主要以理解和掌握定理为主，试题难度中等，常以选择题、填空题形式出现．考向1空间点、线、面位置关系的判断例1(2016·课标Ⅱ，14)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)例1(2016·课标Ⅱ，14)α，β是两个平面，m，n是两【解析】若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β可能平行或相交，故①错误；②显然成立；若α∥β，m⊂α，则m与β无公共点，因而m∥β，故③正确；由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确．【答案】

②③④【解析】若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β可能平行或相交，

点、线、面的位置关系的判断方法(1)平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础．对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用．(2)利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确． 点、线、面的位置关系的判断方法变式训练

(2017·山东烟台模拟，13)如图所示的是正方体和四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则各图形中，P，Q，R，S四点共面的是_________(填序号)．①②③变式训练(2017·山东烟台模拟，13)如图所示的是正方体【解析】对于①，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形PQRS为梯形；对于②，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，顺次连接P，M，Q，N，R，S，可证明六边形PMQNRS为正六边形；对于③，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形PQRS为平行四边形；对于④，可证Q点所在棱与平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．【解析】对于①，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形PQRS考向2异面直线所成的角

高考对异面直线所成角的考查近几年逐渐淡化，主要考查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两条直线的夹角，其难度降低，能建立空间直角坐标系的，可利用空间向量求异面直线的夹角．考向2异面直线所成的角例2(2017·课标Ⅱ，10)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 (

)例2(2017·课标Ⅱ，10)已知直三棱柱ABC­A1B1考点35-空间点、线、面的位置关系课件綊綊方法二：将直三棱柱ABC­A1B1C1补形成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1(如图)，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1.方法二：将直三棱柱ABC­A1B1C1补形成直四棱柱ABCD方法三：过B作BH⊥BC，交AC于H.方法三：过B作BH⊥BC，交AC于H.【答案】

C【答案】C

求异面直线所成角的方法(1)几何法①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．②证：证明作出的角为所求角．③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角． 求异面直线所成角的方法(2)向量法(2)向量法变式训练

(2015·浙江，13)如图，在三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是____．变式训练(2015·浙江，13)如图，在三棱锥A­BCD中【解析】如图，连接BM，取BM的中点G，连接NG，AG，则∠ANG为异面直线AN，CM所成的角．∵AB＝BD，∴BM⊥AD.【解析】如图，连接BM，取BM的中点G，连接NG，AG，考点35-空间点、线、面的位置关系课件35空间点、线、面的位置关系35空间点、线、面的位置关系1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，A∈α，B∈α⇒l⊂α证明“点在面内”或“线在面内”1．平面的基本性质名称图形文字语言符号语言作用公理1如果一条公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不共线⇒A，B，C∈平面α，则α是唯一的证明两个平面重合,用来确定一个平面或证明“点线共面”公理2的推论推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面若点A∉直线a，则A和a确定一个平面α推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α公理2过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C不公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P∈α，P∈β，则α∩β＝a，P∈a，且a是唯一的确定两个平面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”“三线共点”公理4平行于同一直线的两条直线①_____l1∥l，l2∥l⇒②_____证明线线平行平行l1∥l2公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系相交关系独有关系2．空间中点、线、面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与3.两条异面直线所成的角(1)过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条相交直线所成的③____________叫作这两条异面直线所

(2)当两条异面直线所成的角为⑤____时，这两条异面直线互相垂直．锐角或直角成的角．若记这个角为θ，则θ∈④_________．3.两条异面直线所成的角锐角或直角成的角．若记这个角为θ，则

判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面． 判定空间两条直线是异面直线的方法考向1空间点、线、面位置关系的判断

高考对空间点、线、面的位置关系的考查不多，主要有以下两个方面：一是单独考查直线和平面的位置关系；二是以多面体为载体考查线、面的位置关系．复习时主要以理解和掌握定理为主，试题难度中等，常以选择题、填空题形式出现．考向1空间点、线、面位置关系的判断例1(2016·课标Ⅱ，14)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)例1(2016·课标Ⅱ，14)α，β是两个平面，m，n是两【解析】若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β可能平行或相交，故①错误；②显然成立；若α∥β，m⊂α，则m与β无公共点，因而m∥β，故③正确；由线面角的定义、等角定理及面面平行的性质可知④正确．【答案】

②③④【解析】若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β可能平行或相交，

点、线、面的位置关系的判断方法(1)平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础．对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用．(2)利用线线平行、线面平行、面面平行以及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定定理、性质定理综合进行推理和判断命题是否正确． 点、线、面的位置关系的判断方法变式训练

(2017·山东烟台模拟，13)如图所示的是正方体和四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则各图形中，P，Q，R，S四点共面的是_________(填序号)．①②③变式训练(2017·山东烟台模拟，13)如图所示的是正方体【解析】对于①，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形PQRS为梯形；对于②，如图所示，取A1A和BC的中点分别为M，N，顺次连接P，M，Q，N，R，S，可证明六边形PMQNRS为正六边形；对于③，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形PQRS为平行四边形；对于④，可证Q点所在棱与平面PRS平行，因此，P，Q，R，S四点不共面．【解析】对于①，顺次连接P，Q，R，S，可证四边形PQRS考向2异面直线所成的角

高考对异面直线所成角的考查近几年逐渐淡化，主要考查能作出异面直线夹角的情况，借助常见几何体转化为同一平面内两条直线的夹角，其难度降低，能建立空间直角坐标系的，可利用空间向量求异面直线的夹角．考向2异面直线所成的角例2(2017·课标Ⅱ，10)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 (

)例2(2017·课标Ⅱ，10)已知直三棱柱ABC­A1B1考点35-空间点、线、面的位置关系课件綊綊方法二：将直三棱柱AB