微积分-大一下课件上

5.2-5.4一阶微分方程可化为可分离变量的微分方程一阶线性微分方程全微分方程可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法例1

求解微分方程解分离变量两端积分通解为解解由题设条件衰变规律解例5

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量的通入量的排出量的改变量6分钟后,车间内的百分比降低到的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义可化为可分离变量的微分方程:齐次方程例1

求解微分方程微分方程的解为解例2

求解微分方程解微分方程的解为例3

抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图得微分方程由夹角正切公式得分离变量积分得平方化简得抛物线作变换原方程可解出h,k

齐次方程(h,k为待定常数),可化为齐次的方程形如为齐次方程.否则为非齐次方程.化为得(1)求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为可分离变量方程上述方法可适用于下述更一般的方程注h,k无法求得.(2)例

解方程解再令原方程化为作变换齐次方程原方程为得分离变量两边积分若方程改为如何求解?提示:回代

得回代

得原方程的通解:思考二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.显然线性非齐次方程的解不会是如此,之间应存在某种共性.设想非齐次方程

待定函数线性齐次方程的通解是但它们的解是从而C(x)满足方程即一阶线性非齐次微分方程的通解为常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.非齐次方程的一个特解对应齐次方程通解一阶线性方程解的结构注一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用.解整理得A常数变易法:例B公式法:解例1例2

如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为例解方程若将方程写成则它既不是线性方程,又不能分离变量.若将方程写成以x为未知函数,

即一阶非齐次线性方程.分析y为自变量的此外,y=1也是原方程的解.解注参数形式的.解方程时,

通常不计较哪个是自变量哪个是因变量,视方便而定,关系.关键在于找到两个变量间的解可以是显函数,也可以是隐函数,甚至是伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.伯努利方程解法:

需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得.代入上式解例

熟悉求解方法后,也可以不引入新变量,注例解方程解这不是线性方程,但若把y视为自变量,两边除以n=2的伯努利方程.也不是伯努利方程.方程写为:而直接按上述方法求解.即即例4

用适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解练习推进器停止工作,已知船受水的阻力与船速的平方成正比(比例系问经过多少时间,船的速度减为原速度的一半?解由题意初始条件即得.解得当轮船的前进速度为v0时,数为mk,其中k>0为常数,而m为船的质量).

例设河边点O的对岸为点A，河宽OA=h，两岸为平行直线，水流速度为a，有一鸭子从点A游到点O，设鸭子在静水中游速为b(b>a)，且鸭子游动方向始终朝着点O。求鸭子游过的轨迹方程。例4

有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的