人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第一章第1节　集　合

主题一预备知识萦一章集合与常用逻辑用语、不等式(必修第一册)第1节集合

©课程标准要求了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.(1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.必备知识•课前回顾的知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且和生表示.(3)集合的表示方法:列举法、描述法、Venn图法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*（或N+）ZQR

■释疑图表中所列举的字母符号均是集合的形式,不要加｛｝,这是因为｛R｝不是实数集,它表示一个集合,该集合中只有一个元素R.2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图如果集合A中任意一个元素都是集合B中的AGB子集元素,称集合A为集合B的子集（即若x£A,贝IxGB）或B3Ao或真.子集如果集合AGB,但存在元素x£B,且xeA,则称集合A是集合B的真子集A曙B或B^A集如果集合A的任何一个元素都是集合B的元合素，同时集合B的任何一个元素都是集合AA=B相等的元素,那么集合A与集合B相笠■释疑（DACB包含两层含义:A是B或A=B.何司是任何集合的子集,是任何非空集合的真子赢3.集合的基本运算运自然语言符号Venn图

算交集由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作AABAAB={x|x5且x£BL1ACiB?)并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作AUBAUB={x|xGA,或XGBLAUB补集对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作绅C(A=(xXeu,且X空AL34.集合的重要性质(DAnA=A,A「0=0,AriB=B「A.AUA—A,AU0—A,AUB=BUA.AA([l,A)-0,AU((\A)=U,(u([uA)=A.居重要结论对于有限集合A,其元素个数为n,则集合A的子集个数为2”,真子集个数为2"-1,非空真子集个数为2-2.AGB,AriB=A,AUB=B」uBGCuA以及AG(0)=0两两等价.[u(AGB)=([iA)U([⑻，]u(AUB)=(CiA)A([⑻.—匚对点自测三—1.(2021・新高考I卷)设集合人=牛|-2々〈4}邛={2,3,4,5},则人08等于(B)A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}解析：由2£A,3£A,解A,解A,可得AAB={2,3}.故选B..(必修第一册P9习题1、2T1改编)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={l,3,5},Q={l,2,4},贝!!(CuP)UQ等于(C)A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}解析:根据补集的运算得CuP={2,4,6},所以(Cu析UQ={2,4,6)U{1,2,4}={1,2,4,6}.故选C..已知集合A={1,2,5,6},B={5,X},若BGA,则X可以取的值为(D)A.1,2B.1,6C.2,6D.1,2,6解析：由BCA和集合元素的互异性可知,X可以取的值为1,2,6.故选D.

(2021•云南昆明高三月考)已知集合A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|-2x+y=3},则ADB等于(C)A.(-3,-3)B.(3,3)C.{(-3,-3)}D.{(3,3)}解析:联立方程组［解得x=-3,y=-3,所以AG+y=□,B={(-3,-3)}.故选C.5.已知集合人=以£用丫=缶£2},则列举法表示集合人=,集合A的真子集有个.解析：因为y-=£Z且x£N,所以x=0或1或3或9,所以列举法表示x+3集合A为{0,1,3,9),所以集合A的真子集个数为27=15.答案：{0,1,3,9}15关键能力•课堂突破 "溶点.实'感考点一集合的概念与表示1.(多选题)下列各个说法中，正确的是(CD)A.高三(1)班所有高个子的同学可以构成一个集合B.若m£N,n£N且mKn,则m+n的最小值为2C.四个集合{x|x=l},{y|(y-1)2=0},{x=l},{1}所表示的含义不完全相同D.若{x|x2+ax+b=x}={1},则a=-l,b=l2.已知集合A={(x,y)|yW，3-%2,x>yEN},则集合A中元素的个数为A.3B.4C.5D.6解析：由已知可得满足条件的点有(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),共4个,所以集合A中的元素共有4个.故选B..(2021・河北石家庄模拟)已知集合A={0,2+也曰1={0,1也1}凡6b£R,若人=8,则a+2b等于(D)A.-2B.2C.-1D.1(a+b=l-b,解析:因为A=B,①当也=]时，解得a=bg所以a+2b=1.解得{;二:此时A={0,1,0},与集合中元素的互异性矛盾.综上，a+2b=1.故选D..已知集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x£A,y£A,y-x£A},则集合B中的元素的个数为(C)A.4B.5C.6D.7解析：因为集合A={1,2,3,4},B={(x,y)|x£A,y£A,y-xSA},所以当x=l时，y=2或y=3或y=4,当x=2时,y=3或y=4,当x=3时，y=4,所以集合B中的元素个数为6.故选C.5.已知集合A={a+2,(a+l)；a2+3a+3},若1&A,则2023a的值为.解析:①若a+2=l,即a=T,则(a+l)2=0,a?+3a+3=l,不满足集合中元素的互异性；②若(a+1)』,则a=-2或a=0,当a=-2时，则a+2=0,a2+3a+3=l,不满足集合中元素的互异性；当a=0时，则a+2-2,a?+3a+3=3,满足题意;③若a2+3a+3=l,则a=T或-2,由①②,可知均不满足集合中元素的互异性.综上,实数a的值为0,故2023a的值为］.答案：1入题后悟通.求解描述法表示的集合问题,首先要明确构成集合的元素以及元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义.常见的集合的意义如下表：集合(x|f(X)=0){x1f(x)>0){x|y=f(x)}{y|y=f(x)}{(x,y)Iy=f(x)}集合的意义方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)图象上的点集.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性..求解集合相等问题,要注意分类讨论以及集合中元素性质的应用.戚考点二集合间的基本关系(2021•山东潍坊高三联考)已知集合人={-1,0,l},B={(x,y)|x£A,y£A；£N},则集合B的子集个数为(D)yA.4B.8C.13D.16解析:因为x£A,y£A；£N,所以满足条件的有序实数对为y(-1,-1),(0,-1),(0,1),(1,1).由于集合B中含有4个元素，因此集合B的子集个数为2'=16.故选D.2.已知集合人=以4-5*-6〈0},若因八,则8可以是(D)A.{x|-2<x<0}B.{x|x<6}C.{x|x>-l}D.{x|0<x<2}解析：因为x2-5x-6<0,所以-l<x<6,所以A={x|-l<x<6},因为BGA,则B可以为{x[0<x<2}.故选D.3.设集合乂=仅限<+；,k£Z},N={x|x4+；,k£Z},则(B)

36 63A.M=N B.MCNC.NCM D.无法确定解析：由集合M={x|x=^+ik£Z}得36噌，分子是奇数，36 6由集合N={x|x=^+1,k£Z}得63号，分子可以是奇数也可以是偶数,则MGN.故选B.63 64.已知集合A={x|TWxW3},集合B={x|1-mWxWl+m}.若BGA,则m的取值范围是(A)A.(—8,2]B.[-1,3]C.[-3,1]D.[0,2]解析：当m20时,要满足BCA,只需乃丁 解得0<m<2;当m<011+m<3,时，所以此时B=0,满足BGA.综上,m的取值范围为mW2.故选A.入题后悟通.判断集合之间的关系的常用方法:对于用列举法表示的集合，只需要观察其元素即结合定义判断它们之间的关系，对于用描述法表示的集合,要从所含元素的特征来分析,若集合之间可以统一形式,则需要统一形式后判断..已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时,一定要把端点值代入进行验证,否则易增解或漏解.慢考点三集合的基本运算口角度-给定具体集合的基本运算（2021•广东深圳高三二模）已知A={x£N|x<7},B={5,6,7,8），则集合AUB中的元素的个数为（）A.7B.8C.9D.10（2021•安徽合肥高三三模）已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={-2,0,1,2}之间关系的Venn图如图所示,则图中阴影部分表示的集合为（）A.{-2,0}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{-2,0,2,1}解析：(D由A={x£N|x<7}可知A={0,1,2,3,4,5,6},结合B={5,6,7,8},因此AUB={0,1,2,3,4,5,6,7,8},共9个元素.故选C.(2)由题意画出Venn图,如图所示,则阴影部分的集合为{-2,0},故选A.解题策略.进行集合运算时,首先看集合能否化简，能化简的先化简,再研究其关系并进行运算..涉及与集合的补集有关的集合运算问题,要求出补集后再求解..由Venn图给出的集合运算问题,首先将Venn图转化为集合之间的运算关系后再求解..若由集合的元素性质具有明显的几何意义的两曲线构成的集合交集问题,可以利用解方程组的方法求解,涉及点集时,也可以利用列举法求解.幅度二含参数的集合运算（2021•广东江门高三调研）已知集合人={1,升}通=匕,同,若AGB={?,则AUB等于（）A.{1}1}B.C.{-1,1,1}D.{b,1,|）(2)已知集合A={1,a2}(aGR),B={-l,0,1},若AUB=B,则A中元素的和为()A.0B.1C.2D.-1(3)若集合A={x|x<a},B={x11gxM},且满足AUB=R,则实数a的取值范围是()A.(1,+8)B.[1,+°°)C.(0,+8)D.[0,+°°)解析：(1)因为集合A={1,2}且AGB=9,所以2胃,解得a=T,则b」.2所以 故选C.(2)因为AUB=B,所以ACB,所以a2=0,则a=0,所以A={1,0},因此集合A中元素的和为0+1=1.故选B.(3)因为集合A={x|x<a},B={x|1gx20},所以由题意得B={x|x21},因为AUB=R,所以a》L所以实数a的取值范围是[1,+°°).故选B.解题策略求解含参数的集合运算问题,主要有以下方法(1)涉及离散的集合运算求参数,要注意所求参数是否满足集合中元素的性质.(2)与集合的运算性质有关的集合运算,要注意将运算性质转化为集合之间的关系.(3)涉及与连续的数集有关的集合运算,要注意借助数轴转化为与参数有关的不等式(组)，此时要注意集合端点的取值.口角度三抽象集合的运算®E3)⑴已知M,N均为R的子集，且CrMGN,贝iJMU(CrN)等于()A.0B.MC.ND.R(2)已知全集为U且P,Q为U的子集,Pn(CiQ)=P,则Qn(CuP)等于()A.0B.PC.QD.U解析：⑴法一因为CrMGN,所以M2CrN,所以MU(CrN)=M.故选B.法二如图，由CrMGN易知MU(CrN)=M.(2)由题意可知全集为U,P,Q为U的子集，且PG(CuQ)=P,如图所示,可得QGCF=Q.故选C.解题策略涉及抽象集合的运算问题,可利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图求解.［针对训练］L(2021•河南新乡高三一模)已知集合人=匕,22-2,0}1={2\2+1)},若AGB={-1},则b等于(A.-1B.-2C.0D.1解析:因为ADB={-1},所以T£A,T£B.又a=T或a2-2=~l,且a#a'-2WO,得a=l.因为2a>0,所以a+b=T,即b=-2.故选B.(2021•山东滨州高三二模)设全集U={-3,-2,0,2,3},A={-3,3},B={x|(x-3)(x-2)=0},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{-3,2,3}B.{-3,-2,0,2}C.{3}D.{-2,0}解析：因为B={x|(x-3)(x-2)=0}={2,3},解{-3,3},所以AUB={-3,2,3},又全集U={-3,-2,0,2,3},所以题图中阴影部分所表示的集合为Ci(AUB)={-2,0}.故选D.3.若集合M={(x,y)|3x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0}，则()MGN=MB.MUN=MC.MUN=ND.MAN=0解析：因为集合M={(x,y)13x-y=0},N={(x,y)|x2+y2=0}={(0,0)},因为f 1°,八第U'所以MGN={(0,0)}=N,所以MUN=M.故选U+y=0,(y=o,(2021•江苏连云港高三联考)若非空且互不相等的集合M,N,P满足：MGN=M,NUP=P，贝IJMUP等于( )A.0B.MC.ND.P解析：由MGN=M可得,MGN,NUP=P可得N£P.故MGP.因此MUP=P.故选D.皂备选例题CWD(2021•湖北武汉模拟)已知全集U={x£N|(Kx〈8},AG(C={1,2},Cu(AUB)={5,6},BPI(CuA)={4,7},则集合A为()A.{1,2,4} B.{1}2,7}C.{1,2,3} D.{1,2,4,7}解析:U={1,2,3,4,5,6,7},根据题意得到如图所示的Venn图，所以A={1,2,3}.故选C.CWD(2021•山东潍坊三模)已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},B={3,4},则集合⑸等于()A.Cu(AUB)B.(CuA)U(CuB)C.(CuA)UBD.(CuB)UA解析:AUB={1,2,3,4},则Cu(AUB)={5},故选项A正确；[次={3,4,5),CuB=C,2,5},所以(CuA)U(CuB)={1,2,3,4,5},故选项B错误;CuA={3,4,5},所以(CuA)UB={3,4,5},故选项C错误;CuB={1,2,5},所以(CuB)UA={1,2,5},故选项D错误.故选A.CW(2021•福建厦门高三二模)已知集合人={1,叱6=田1082*<1},且AGB有2个子集,则实数a的取值范围为()A.(-8,o]B.(0,1)U(1,2]C.[2,+8)D.(-8,o]U[2,+°°)解析：由题意得B={x|log2x<l}=(0,2),因为AGB有2个子集,所以AGB中的元素个数为L因为(AGB),所以a《(AGB),即a^B,所以a<0或a22,即实数a的取值范围为(-8,0]U[2,+8).故选D.丽(2021•陕西西安高考模拟)集合A={x[x<-1或x23},B={x|ax+lWO},若BCA,则实数a的取值范围是()A.61)(-8,-1)U[0,+8)0)U(0,1)解析：由题知BEA,①当B=0时，即ax+IWO无解,此时a=0,满足题意.②当BW。时,即ax+IWO有解，当a>0时，可得x^--,a(a>0,要使B£A,则需要1,1解得当a<0时,可得x2二，a(a<0, 1要使BGA,则需要」>3解得IQ-，综上,实数a的取值范围是[三,1).故选A.CW(多选题)(2021・江苏徐州高三期末)对任意A,BCR,记A㊉B={x|x£AUB,x《AGB},并称A㊉B为集合A,B的对称差.例如,若A={1,2,3},B={2,3,4},则A®B={1,4},下列命题中，为真命题的是()A.若A,BCRKAeB=B,则A=0B.若A,BCR且A㊉B=。，则A=BC.若A,BCR且A㊉BGA,贝ljAGBD.存在A,BCR,使得A㊉B=hA㊉[rB解析:对于A选项，因为A+B=B,所以B={x|x£AUB,x在APB},所以AGB,且B中的元素不能出现在AGB中，因此A=o,即选项A正确；对于B选项，因为A㊉B=0,所以0={x|x£AUB,xqAGB},即AUB与AGB是相同的,所以A=B,即选项B正确；对于C选项，因为A㊉BGA,所以ClxGAUB,xqAGB}GA,所以BcA,即选项C错误；对于D选项,设A={x|x<2},B={x|x>l},则AUB=R,AHB={x|l<x<2},所以A㊉B={x|xWl或x22},又[rA={x|x22},CrB={x|xW1},(CrA)u(CrB)={x|xW1或x<2},(CrA)n(CrB)=0,所以Ga)㊉(CrB)={x|XW1或X22},因此A㊉B=CrA㊉CrB,即选项D正确.故选ABD.■:里口叶作、山 灵活小府合致提彩阚选题明细表知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练集合的概念与表示1,3,10,11集合间的关系4,813,17集合的运算2,5,6,7,9,1214,15,1618A级基础巩固练.已知集合A={1,2},B={x|x=a+b,a£A,b£A},则集合B中元素的个数为（C）A.1B.2C.3D.4解析：由A={1,2}及题意得B={x|x=a+b,a£A,b£A}={2,3,4},则集合B中元素的个数为3.故选C..（2020・全国I卷）设集合A={x|x2-4<0},B={x|2x+a<0},且AHB={x|-2WxWl},则a等于（B）A.-4B.-2C.2D.4解析:人=仁|-20〈2},13=以％3-1}.由APB={x|-2Wx<l},知-+1,所以a=-2.故选B.3.设集合A={2,3,a-3a,a+-+7）,B={集-21,0}.已知4£A且4邨,则实a数a的取值集合为（D）A.{-1,-2} B.{-1,2}C.{-2,4} D.{4}解析：由题意可得①当a2-3a-4且|a-21¥4时,解得a=T或4.a=T时,集合A={2,3,4,4}不满足集合中元素的互异性,故a7t-1.a=4时，集合A=⑵3,4,y},集合B=⑵0},符合题意.②当a+2+7=4且|a-21r4,解得a=T,由①可得不符合题意.综上,实a数a的取值集合为{4}.故选D.4.设P={y|y=-x」+l,x£R},Q={y|y=22x£R},贝!|（C）A.PCQB.QcpC.CrPcQD.QCGP解析:因为P=为Iy=-x2+l,xWR}={y|yW1},Q={y|y=2：x£R}={y|y>0},所以OP={y|y>l},所以CrP£Q.故选C.(2021•福建厦门高三模拟)已知全集11={1,2,3,4,5}"={2,3,4}1={3,5},则下列结论正确的是(B)A.BcAB.[£={1,5}C.AUB={3}D.AGB={2,4,5}解析：已知全集U={1,2,3,4,5},A={2,3,4},B={3,5}.可知BQA,A选项错误；[uA={l,5},B选项正确;AUB={2,3,4,正，C选项错误;AGB={3},D选项错误.故选B.某地近日开展了大规模C0VID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示(A)感染者 未发病者A.无症状感染者B.发病者C.未感染者 D.轻症感染者解析：由题图可知,集合S是集合A与集合B的交集,所以集合S表示感染未发病者，即无症状感染者.故选A.已知集合A={(x,y)|x-y=0},B={(x,y)|x•y=l},则AGB等于(A)A.{(-1,-1),(1,1)}B.{(1,1)}C.{(-1,-1)}D.0解析:解仁7黑得［二:'或上：所以ADB={(-1,-1),(1,1)}.故选A(2021•江苏南通高三四模)已知集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},若MCA且M£B,则M的个数为(C)A.1B.3C.4D.6解析：因为集合A={1,2,3},B={-1,0,1,2},所以AAB={1,2},又MGA且MCB,所以MG所nB),即M£{1,2},所以M的个数为22=4.故选C.(2021•浙江杭州二中模拟)定义集合A={x|f(x)Ri-*},B={x|x-2x-3<0}，则AGB=,AUbB=.解析：因为集合A={x|f(x)=Vl-%2}={x|TWxW1},集合8={*}2-2*-3<0}={*|-1<*<3},所以［|^={*鼠《-1或x23},故AAB={x［T<x〈l},AUCrB={x|xWl或x23}.答案：{x|-Kx^l}{x|xWl或x23}设集合A={-1,0,1},集合B={x|x>t}，若A,B两集合的关系如图，则实数t的取值范围为.解析：由题意可知ADB=0,结合集合解析1,0,1},集合B={x|x>t}可知t21.答案：［1,+8)n.已知A-{x|-Kx<k,x£N},若集合A中恰有3个元素,则实数k的取值范围是.解析：因为A={x|T〈x〈k,x£N},且集合A中恰有3个元素,所以集合A={0,1,2},所以2<kW3.答案：（2,3].学校运动会上某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛,参加比赛的学生中，参加田赛的有16人,参加径赛的有23人,则田赛和径赛都参加的学生人数为.解析:设田赛和径赛都参加的学生人数为x,因为62名学生中有一半的学生没有参加比赛,所以参加比赛的学生有31人，故16-x+x+23-x=31=x=8,故田赛和径赛都参加的学生人数为8.答案：8B级综合运用练.已知集合M={x|x-3x+2^0},N={x|y=VFa},若MDN=M,则实数a的取值范围为(D)A.(1,+°°)B.[1,+8)C.(-8,i)d.(-°0,1]解析:因为x2-3x+2^0,所以(x-l)(x-2)<0,所以1WxW2,所以M={x|l〈xW2}.因为x-a20,所以x2a,所以N={x|x2a}.因为MGN=M，所以M£N,所以a〈L所以实数a的取值范围为（-8,i].故选D.14.（多选题）（2021•山东济南三模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（AD）A.AA(BUC)B.AU(BAC)C.An[L(BAC)D.(ADB)U(AAC)解析:题图中阴影部分用集合符号可以表示为AG(BUC)或(AGB)U(AA