复变函数考试卷试题及答案

复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）z2设fz

z0

z的连续点集合为（。0,z0单连通区域 多连通区域开集非区域 （D）闭集非闭区域fz)uxyivxy)uxy)vxy)x,y可微是fz在点0 0z x0

iy0

可微的（。A充分但非必要条件C充分必要条件下列命题中，不正确的是（。

B必要但非充分条件D既非充分也非必要条件A如果无穷远点是f的可去奇点,那么Rez 0B若f在区域D任一点z邻域内展开成泰勒级数,则0

f

内C幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.D函数

e i将带形域0Iz)映射为单位圆 1.zezizczit，t12的线段，则argzdz（。cA4

B4

i C4

i D1i设fz在0z1内解析且limzfz1，那么Resfz,0（。z0A2i i C1 1二、填空题（153分）Lni的主值。函数f(z)=zRez+Imz仅在点处可导。罗朗级数的

n2 n

n1

zn 收敛域为 。 n

z3

n

3应用数理统计试题第1页共4页映射w

1，将圆域z11映射。z5．z1

1cos

dz 。三．(10分)fzuiv，已知ux2y2xy,f(i)1i。四．(20分)求下列积分的值1．z4

ezdzz2z12dz2．

xsinxdxa00 x2a五．(15分)若函数z在点z0

解析，试分析在下列情形：z0z0

fzmfzm求R

z

fz ,z 。 fz（15分）

0ez2cos

的幂级数展开式至含项为止，并指出其收敛范围。（10分）求函数ft1tut3tsin2t傅氏变换。应用数理统计试题第2页共4页复变函数考试卷答案三、单项选择题（15分，每小题3分）1．A。2．B。3．A。4．C。5．C。四、填空题（15分，每空3分）ln

i。2．i 。3．2z33。4．半平面Rew

1。5．0。24 22三．(10分)u是全平面的调和函数。利用C-Rv的两个偏导数。vux y

2yx,y

2xyvx,y)

x,y2yxdx2xydyC0,0xxdxy2xydyC0 01 1 x22

2xy y2C2四．(20分)求下列积分的值1．23eim=2，n=1，m-n=1，R(z)在实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的

xx2a2

eixdx2πiRes[R(z)eiz,ai]2ilim

zeiz

2πi

ea

πieaziazia xsinx

21 x 1因此0

x2a2

dxIm( 2

x2a2

eixdx)

ea.2五．(15分)解:函数z

解析等价于在z0

的一个邻域内0z

z

z0

zz0

nz0n!

zzn0(1)zfzm阶零点等价于在0

的一个邻域内fzzz0

mz其中z

z0,于是在z的去心领域0 0应用数理统计试题第3页共4页fz m z

z m z

m z zz

z 0 m

zzn1 z fz zz0fz

z zz n! 0 z0 n1由此可知es

,z m zfz 0 02与上面类似Res

fz ,z m zfz 0 0六．ez2函数 距原点最近的奇cosz

,其距离就是函数在幂级数展开式的收敛半径,2即R= 收敛范围为2

ez22

1z2

1 z42!

1 z2n z n!1 1 1ncosz1

z2 z4

z2n

z 及幂级数的除法,可设2! 4! 2n!ez2 ccosz 0

czcz2 z 1 2 2注意到ez2与cos均为偶函数,其展开式中不含z2n1项可知c c 01 31 1 1 1 1n于是1z2 z4 z2n

c cz2

1 z2 z4 z2n2! n! 0 2 2! 4! 2n!比较同次系数得c0

1,c2

3 29,2 4 24ez2

3 29故 1 z2 z4 z