考点47-排列与组合课件

第7部分计数原理、概率与统计第十五章计数原理第7部分计数原理、概率与统计第十五章计数原理1.排列与组合1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.选择题：2017·课标Ⅱ，6选择题：2016·课标Ⅱ，5选择题：2016·课标Ⅲ，121.排列与组合1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理选择题：2.二项式定理2.排列与组合

(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.3.二项式定理

(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.选择题：2017·课标Ⅰ，6选择题：2017·课标Ⅲ，4填空题：2016·课标Ⅰ，14填空题：2015·课标Ⅱ，152.二项式定理2.排列与组合选择题：2017·课标Ⅰ，647排列与组合47排列与组合1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝①______种不同的方法．m＋n1．分类加法计数原理m＋n2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝②_____种不同的方法．m×n以上两个原理可以推广到多类或多步的情形．2．分步乘法计数原理m×n以上两个原理可以推广到多类或多步的3．两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏3．两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数4.排列4.排列“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列”，而排列数是指这种排列的个数．“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不5．组合问题(1)组合数公式5．组合问题考向1两个计数原理的综合应用

两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值5分．考向1两个计数原理的综合应用例1(1)(2016·课标Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (

)A．24 B．18C．12 D．9(2)(2018·辽宁大连月考，8)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (

)A．243 B．252C．261 D．352例1(1)(2016·课标Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出【解析】

(1)由题意知，从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，根据分步乘法计数原理知共有6×3＝18(条)最短路径．(2)有三个重复数字的三位数为9个；有两个重复数字的三位数分以下情况讨论：个位与十位重复有9×9＝81(个)；个位与百位重复有9×9＝81(个)；十位与百位重复有9×9＝81(个)，根据分类加法计数原理知共有3×81＋9＝252(个)．【答案】

(1)B

(2)B【解析】(1)由题意知，从E到F的最短路径有6条，从F到G

利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么；(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)弄清分步、分类的标准是什么；(4)利用计数原理求解． 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路变式训练1．(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 (

) A．24对

B．30对

C．48对D．60对C变式训练C同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数，所以不满足题意的共有3×6＝18(对)．故从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有66－18＝48(对)．同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组2．(2018·重庆模拟，6)对图中的A，B，C，D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有 (

)

A.12种

B．18种

C．20种

D．22种BABCD2．(2018·重庆模拟，6)对图中的A，B，C，D四个区域【解析】若A，D相同，先染A处，有3种方法，再染B处有2种方法，第三步染C处有2种方法，共有3×2×2＝12(种)；若A，D不同，先染A处，有3种方法，再染D处有2种方法，第三步染B处有1种方法，第四步染C处有1种方法，共有3×2×1×1＝6(种)，根据分类加法计数原理可得共有12＋6＝18(种)．故选B.【解析】若A，D相同，先染A处，有3种方法，再染B处有2种考向2排列问题

高考中考查排列问题往往是有一定限制条件的排列问题，即对某些元素或某些位置有特定要求，通常以选择题、填空题的形式出现，分值为5分．例2(1)(2018·河北衡水检测，8)春天来了，某学校组织学生外出踏青，4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是 (

)A．964 B．1080C．1152 D．1296考向2排列问题(2)(2018·北京模拟，4)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为 (

)A．12 B．24C．36 D．48【答案】

(1)C

(2)D(2)(2018·北京模拟，4)现将5张连号的电影票分给甲、

解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中消序法定序问题消序(除法)处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式变式训练

(2018·山东济宁月考，17，12分)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(3)全体排成一排，男生互不相邻；(4)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．变式训练(2018·山东济宁月考，17，12分)有3名男生考点47-排列与组合课件考向3组合问题

高考对组合问题的考查往往涉及有条件限制的问题，即对某些元素有特殊要求，通常以选择题、填空题的形式出现，分值为5分，有时与概率问题结合综合考查．例3(1)(2018·天津模拟，5)为丰富少儿文体活动，某学校从篮球、足球、排球、橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是 (

)考向3组合问题(2)(2017·宁夏银川二模，4)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生的选考方法有 (

)A．6种

B．12种

C．18种

D．24种(2)(2017·宁夏银川二模，4)某地实行高考改革，考生除【答案】

(1)C

(2)C【答案】(1)C(2)C

组合应用问题的解题思路(1)把具体问题转化或归结为组合问题，注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的顺序有关．(2)通过分析确定运用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理．(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏，同时注意组合问题中以下两类常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 组合应用问题的解题思路②“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，通常用间接法处理．②“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视变式训练

(2018·安徽合肥期中，13)某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有______种(用数字作答)．24变式训练(2018·安徽合肥期中，13)某大学的8名同学准考点47-排列与组合课件考向4排列与组合的综合问题

高考往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题的形式出现，分值为5分，有时与概率相结合综合考查．例4(1)(2018·甘肃兰州检测，7)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有 (

)A．18种

B．24种

C．36种

D．48种考向4排列与组合的综合问题(2)(2017·天津，14)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．(2)(2017·天津，14)用数字1，2，3，4，5，6，【答案】

(1)C

(2)1080【答案】(1)C(2)1080

解排列组合综合应用问题的思路解排列组合综合应用题要从“分析”“分类”“分步”的角度入手．(1)“分析”就是分析题目的条件，辨别题目的类型，如有无限制元素(或位置)，是相邻问题，还是插空问题，…；(2)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(3)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决． 解排列组合综合应用问题的思路变式训练

1．(2018·安徽黄山模拟，5)在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中中山大学2名，暨南大学2名，华南师范大学1名，并且暨南大学和中山大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有 (

) A．36种

B．24种

C．22种

D．20种B变式训练B考点47-排列与组合课件2．(2017·北京海淀模拟，10)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有_____种不同的抽调方法．842．(2017·北京海淀模拟，10)某运输公司有7个车队，每考向5分组分配问题

分组与分配问题是排列、组合问题的综合应用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．归纳起来常见的命题角度有整体均分问题、部分均分问题、不等分问题．例5(2017·河北石家庄质检，7)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲小组至少2人，乙、丙组至少1人，则不同的分配方案种数为 (

)A．80 B．120 C．140 D．50考向5分组分配问题【答案】

A【答案】A

分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题，按组合问题求解，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；②部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．(3)解决分组分配问题的基本指导思想是先分组，后分配． 分组、分配问题的求解策略变式训练

(2018·江西新余模拟，7)某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为 (

)A．3600 B．1080C．1440 D．2520【解析】由于每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，因此可以将问题看成是将6名同学分配到除“演讲团”外的四个社团或三个社团，可以分两类：C变式训练(2018·江西新余模拟，7)某高校大一新生中的6考点47-排列与组合课件第7部分计数原理、概率与统计第十五章计数原理第7部分计数原理、概率与统计第十五章计数原理1.排列与组合1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理

(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(2)会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.选择题：2017·课标Ⅱ，6选择题：2016·课标Ⅱ，5选择题：2016·课标Ⅲ，121.排列与组合1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理选择题：2.二项式定理2.排列与组合

(1)理解排列、组合的概念.(2)能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.(3)能解决简单的实际问题.3.二项式定理

(1)能用计数原理证明二项式定理.(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.选择题：2017·课标Ⅰ，6选择题：2017·课标Ⅲ，4填空题：2016·课标Ⅰ，14填空题：2015·课标Ⅱ，152.二项式定理2.排列与组合选择题：2017·课标Ⅰ，647排列与组合47排列与组合1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝①______种不同的方法．m＋n1．分类加法计数原理m＋n2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝②_____种不同的方法．m×n以上两个原理可以推广到多类或多步的情形．2．分步乘法计数原理m×n以上两个原理可以推广到多类或多步的3．两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏3．两个计数原理的联系与区别原理分类加法计数原理分步乘法计数4.排列4.排列“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列”，而排列数是指这种排列的个数．“排列”与“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不5．组合问题(1)组合数公式5．组合问题考向1两个计数原理的综合应用

两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等，分值5分．考向1两个计数原理的综合应用例1(1)(2016·课标Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 (

)A．24 B．18C．12 D．9(2)(2018·辽宁大连月考，8)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (

)A．243 B．252C．261 D．352例1(1)(2016·课标Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出【解析】

(1)由题意知，从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，根据分步乘法计数原理知共有6×3＝18(条)最短路径．(2)有三个重复数字的三位数为9个；有两个重复数字的三位数分以下情况讨论：个位与十位重复有9×9＝81(个)；个位与百位重复有9×9＝81(个)；十位与百位重复有9×9＝81(个)，根据分类加法计数原理知共有3×81＋9＝252(个)．【答案】

(1)B

(2)B【解析】(1)由题意知，从E到F的最短路径有6条，从F到G

利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么；(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3)弄清分步、分类的标准是什么；(4)利用计数原理求解． 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路变式训练1．(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 (

) A．24对

B．30对

C．48对D．60对C变式训练C同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数，所以不满足题意的共有3×6＝18(对)．故从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有66－18＝48(对)．同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组2．(2018·重庆模拟，6)对图中的A，B，C，D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色，现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有 (

)

A.12种

B．18种

C．20种

D．22种BABCD2．(2018·重庆模拟，6)对图中的A，B，C，D四个区域【解析】若A，D相同，先染A处，有3种方法，再染B处有2种方法，第三步染C处有2种方法，共有3×2×2＝12(种)；若A，D不同，先染A处，有3种方法，再染D处有2种方法，第三步染B处有1种方法，第四步染C处有1种方法，共有3×2×1×1＝6(种)，根据分类加法计数原理可得共有12＋6＝18(种)．故选B.【解析】若A，D相同，先染A处，有3种方法，再染B处有2种考向2排列问题

高考中考查排列问题往往是有一定限制条件的排列问题，即对某些元素或某些位置有特定要求，通常以选择题、填空题的形式出现，分值为5分．例2(1)(2018·河北衡水检测，8)春天来了，某学校组织学生外出踏青，4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是 (

)A．964 B．1080C．1152 D．1296考向2排列问题(2)(2018·北京模拟，4)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为 (

)A．12 B．24C．36 D．48【答案】

(1)C

(2)D(2)(2018·北京模拟，4)现将5张连号的电影票分给甲、

解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中消序法定序问题消序(除法)处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列间接法对于分类过多的问题，按正难则反，等价转化的方法 解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式变式训练

(2018·山东济宁月考，17，12分)有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(3)全体排成一排，男生互不相邻；(4)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．变式训练(2018·山东济宁月考，17，12分)有3名男生考点47-排列与组合课件考向3组合问题

高考对组合问题的考查往往涉及有条件限制的问题，即对某些元素有特殊要求，通常以选择题、填空题的形式出现，分值为5分，有时与概率问题结合综合考查．例3(1)(2018·天津模拟，5)为丰富少儿文体活动，某学校从篮球、足球、排球、橄榄球中任选2种球给甲班学生使用，剩余的2种球给乙班学生使用，则篮球和足球不在同一班的概率是 (

)考向3组合问题(2)(2017·宁夏银川二模，4)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生的选考方法有 (

)A．6种

B．12种

C．18种

D．24种(2)(2017·宁夏银川二模，4)某地实行高考改革，考生除【答案】

(1)C

(2)C【答案】(1)C(2)C

组合应用问题的解题思路(1)把具体问题转化或归结为组合问题，注意排列问题与组合问题的区别，关键看是否与元素的顺序有关．(2)通过分析确定运用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理．(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏，同时注意组合问题中以下两类常见题型：①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． 组合应用问题的解题思路②“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，用直接法分类复杂时，通常用间接法处理．②“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视变式训练

(2018·安徽合肥期中，13)某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有______种(用数字作答)．24变式训练(2018·安徽合肥期中，13)某大学的8名同学准考点47-排列与组合课件考向4排列与组合的综合问题

高考往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题的形式出现，分值为5分，有时与概率相结合综合考查．例4(1)(2018·甘肃兰州检测，7)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有 (

)A．18种

B．24种

C．36种

D．48种考向4排列与组合的综合问题(2)(2017·天津，14)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答)．(2)(2017·天津，14)用数字1，2，3，4，5，6，【答案】

(1)C

(2)1080【答案】(1)C(2)1080

解排列组合综合应用问题的思路解排列组合综合应用题要从“分析”“分类”“分步”的角度入手．(1)“分析”就是分析题目的条件，辨别题目的类型，如有无限制元素(或位置