等差数列优质课课件

2.2等差数列（第1课时）《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（五）》人教A版2.2等差数列（第1课时）《普通高中课程标准实验教科书——数11、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式.2、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.3、了解等差数列与一次函数的关系.

教学目标

1、了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系。

2、理解等差数列的概念。

3、掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用。考纲要求教学重难点教学重点：等差数列的概念以及通项公式。教学难点：通项公式以及等差中项的认识和应用。考纲要求教学重难点2我们在初中学习了实数，研究了它的一些运算与性质。现在我们面对数列，能不能也像研究实数一样，研究它的项与项之间的关系，运算与性质呢？从特殊入手，研究数学对象的性质，再逐步扩展到一般，这是数学常用的研究方法。我们在初中学习了实数，研究了它的一些运算与性质。现在我们面对3引例1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。（1）1896，1900，1904，…，2008，2012，（）你能预测出第31届奥运会的时间吗？2016相差4引例1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京4五(2)4,7,10,13,16,19,22.星期路程(km)一二三4710日22四1316六19相差3为迎接世界田径锦标赛，刘翔的教练为他安排了为期一周的赛前热身，逐渐加大慢跑路程

引例五(2)4,7,10,13,15等差数列(1)

84，91，98，105，112，…，147，154.(2)

12，14，16，18，20，…，30，32(3)

1996，2000，2004，2008，2012，2016

(4)4,7,10,13,16,19,22.请问：它们有什么共同特点？共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项

的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.d=7d=2d=4d=3以上是证明或判断数列{an}为等差数列的定义式，请牢记！形成概念等差数列(1)84，91，98，105，112，…，1476公差可以是正数,负数，也可以是0.每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征）.公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.“从第2项起”探究公差公差可以是正数,负数，每一项与它的前一项的差必须是同一个常数7等差中项

观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三个数就会成为一个等差数列：（1）2，，4（2）-1，，5（3）-12，，0（4）0，，032-60

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。你能用a与b表示A吗？形成概念即：a+b=2A等差中项观察如下的两个数之间，插入一个8姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例想一想:姚明第十五天训练罚球的个数是多少呢?姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，得到数列9通项公式的推导

已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=da2=a1+1da3-a2=da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4-a3=dan+1－an=da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5呢?a9呢?…由此得到an=a1+（n-1）d,n∈N+,d是常数不完全归纳法通项公式的推导已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d10以上各式相加得…等差数列的通项公式累加法a1、an、n、d知三求一以上各式相加得…等差数列的通项公式累a1、an、n、d11例题讲解例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13，…的项?

如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,利用通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：

a1=8,d=5-8=-3,n=20得∴a20=8+（20-1）×（-3）=-49分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：

a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1

令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项。例题讲解例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；分12

从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、a1

、d、n（知三求一）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

学法点拨从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是拓展：

在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d及通项公式.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.∴小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。拓展：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d

，再代入通项公式。

像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的数学思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。题后点评求通项公式的关键步骤：求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，15联系生活例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km,乘客需要支付1.2元。所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费。

公差d=1.2.那么，当出租车行至14km处时，n=11,此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元。联系生活例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价解：16等差数列{an}中，已知则n的值为（）

A.48B.49C.50D.51接轨高考Ca2+a5=a1+d+a1+4d=4∴,an=a1+(n-1)d=33∴n=50等差数列{an}中，已知接轨高考Ca2+a5=a（1）在直角坐标系中，画出通项公式为的数列图象，这个图象有什么特点？（2）在同一个坐标系中，画出函数的图像，你发现了什么？据此说一说等差数列=pn+q的图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系？精彩源于发现（1）在直角坐标系中，画出通项公式为（2）在同一个坐标系中，18等

差

数

列

的

图

象12345678910123456789100●●●●●精彩源于发现等

差

数

列

的

图

象1234567891012345619直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直线上的点。直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直201.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（）A.1B.-1C.D.由(a-6)+(10a-1)=2(-3a-5)得a=1.【解析】A目标检测1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-1212.(2015·北京高考改编)已知等差数列{an}满足

a1+a2=10,a4-a3=2.求{an}的通项公式.【提示】利用等差数列的基本量计算.【解析】设等差数列公差为d,则d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2=10,所以a1=4.因此,an=4+(n-1)×2=2(n+1)即an=2(n+1)目标检测2.(2015·北京高考改编)已知等差数列{an}满足223.在等差数列｛an｝中，(1)已知a1=2,d=3,求a10.解：a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n.解：21=3+(n-1)×2,所以n=10.(3)已知a1=12,a6=27,求d.解：a6=a1+5d,即27=12+5d,所以d=3.(4)已知d=a7=8,求a1.解：a7=a1+6d,8=a1+6×(),所以a1=10.目标检测3.在等差数列｛an｝中，解：a10=a1+(10-1)d=234.-20是不是等差数列0,-3.5,-7，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【解析】不是，理由如下：

a1=0,d=-3.5所以-20不是这个数列中的项.-20=0+(n-1)×(-3.5)，目标检测4.-20是不是等差数列0,-3.5,-7，…的项？如果【24目标检测目标检测25

等差数列

思维导图如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.定义数学思想等差中项通项公式注意：用递推公式求通项公式时，不完全归纳法---解答题不严密，累加法首选等差思维导图如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成26预习：等差数列的性质课后思考

高斯(1777—1855）德国著名数学家。课后作业

1.教材P39：1、2、3题P40：1题2.学习指导配套作业：2.2等差数列（一）想想：等差数列的性质

预习：等差数列的性质课后思考高斯(1777—1855）德27衷心感谢各位专家指导！再见！衷心感谢各位专家指导！再见！282.2等差数列（第1课时）《普通高中课程标准实验教科书——数学必修（五）》人教A版2.2等差数列（第1课时）《普通高中课程标准实验教科书——数291、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式.2、能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.3、了解等差数列与一次函数的关系.

教学目标

1、了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系。

2、理解等差数列的概念。

3、掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用。考纲要求教学重难点教学重点：等差数列的概念以及通项公式。教学难点：通项公式以及等差中项的认识和应用。考纲要求教学重难点30我们在初中学习了实数，研究了它的一些运算与性质。现在我们面对数列，能不能也像研究实数一样，研究它的项与项之间的关系，运算与性质呢？从特殊入手，研究数学对象的性质，再逐步扩展到一般，这是数学常用的研究方法。我们在初中学习了实数，研究了它的一些运算与性质。现在我们面对31引例1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。（1）1896，1900，1904，…，2008，2012，（）你能预测出第31届奥运会的时间吗？2016相差4引例1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京32五(2)4,7,10,13,16,19,22.星期路程(km)一二三4710日22四1316六19相差3为迎接世界田径锦标赛，刘翔的教练为他安排了为期一周的赛前热身，逐渐加大慢跑路程

引例五(2)4,7,10,13,133等差数列(1)

84，91，98，105，112，…，147，154.(2)

12，14，16，18，20，…，30，32(3)

1996，2000，2004，2008，2012，2016

(4)4,7,10,13,16,19,22.请问：它们有什么共同特点？共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项

的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.d=7d=2d=4d=3以上是证明或判断数列{an}为等差数列的定义式，请牢记！形成概念等差数列(1)84，91，98，105，112，…，14734公差可以是正数,负数，也可以是0.每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征）.公差d是每一项（从第2项起）与它的前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.“从第2项起”探究公差公差可以是正数,负数，每一项与它的前一项的差必须是同一个常数35等差中项

观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三个数就会成为一个等差数列：（1）2，，4（2）-1，，5（3）-12，，0（4）0，，032-60

如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。你能用a与b表示A吗？形成概念即：a+b=2A等差中项观察如下的两个数之间，插入一个36姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到数列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000引例想一想:姚明第十五天训练罚球的个数是多少呢?姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：第一天：6000，得到数列37通项公式的推导

已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=da2=a1+1da3-a2=da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4-a3=dan+1－an=da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5呢?a9呢?…由此得到an=a1+（n-1）d,n∈N+,d是常数不完全归纳法通项公式的推导已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d38以上各式相加得…等差数列的通项公式累加法a1、an、n、d知三求一以上各式相加得…等差数列的通项公式累a1、an、n、d39例题讲解例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13，…的项?

如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,利用通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：

a1=8,d=5-8=-3,n=20得∴a20=8+（20-1）×（-3）=-49分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：

a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1

令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项。例题讲解例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；分40

从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是一个关于、a1

、d、n（知三求一）的方程；另外，要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项，当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数，如果不是正整数，那么它就不是数列中的项。

学法点拨从该例题中可以看出，等差数列的通项公式其实就是拓展：

在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d及通项公式.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.∴小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。拓展：在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d

，再代入通项公式。

像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的数学思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。题后点评求通项公式的关键步骤：求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，43联系生活例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km,乘客需要支付1.2元。所以，我们可以建立一个等差数列来计算车费。

公差d=1.2.那么，当出租车行至14km处时，n=11,此时需要支付车费答：需要支付车费23.2元。联系生活例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价解：44等差数列{an}中，已知则n的值为（）

A.48B.49C.50D.51接轨高考Ca2+a5=a1+d+a1+4d=4∴,an=a1+(n-1)d=33∴n=50等差数列{an}中，已知接轨高考Ca2+a5=a（1）在直角坐标系中，画出通项公式为的数列图象，这个图象有什么特点？（2）在同一个坐标系中，画出函数的图像，你发现了什么？据此说一说等差数列=pn+q的图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系？精彩源于发现（1）在直角坐标系中，画出通项公式为（2）在同一个坐标系中，46等

差

数

列

的

图

象12345678910123456789100●●●●●精彩源于发现等

差

数

列

的

图

象1234567891012345647直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直线上的点。直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的图象为相应直481.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（）A.1B.-1C.D.由(a-6)+(10a-1)=2(-3a-5)得a=1.【解析】A目标检测1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-1492.(2015·北京高考改编)已知等差数列{an}满足

a1+a2=10,a4-a3=2.求{