《推理能力培养》课件

聚焦小学数学的核心能力数学课程标准核心词的实践研究“推理能力”与“建模思想”曹培英聚焦小学数学的核心能力数学课程标准核心词1引言教育部义务教育数学课程标准（2011年版）最大的改变：

1.“双基”→“四基”数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验意味着：我国数学教育优良传统得到肯定理解＋记忆；回归“结果”与“过程”并重的理念铺垫＋变式……“但求曾经拥有，不求天长地久”……引言教育部义务教育数学课程标准（2011年版）最大的2引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)

100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？

例如：量角生活应用只需比较角的大小,无需测量。，实乃“屠龙之技”……┌oBC1CAB引言2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数3引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)

100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？

例如：量角生活应用只需比较角的大小,无需测量。但是，数学学习中需要测量。如：绘制扇形统计图；地图上用方向和距离描述点的位置；

……，实乃“屠龙之技”……北引言2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数4引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)

100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？

例如：量角又如：，实乃“屠龙之技”……使用三角形面积公式的人＜0.5%处于糖尿病前期的成年人＞50%

但是，三角形面积计算是不可或缺的学习基础。联系生活更主要目的是帮助建构知识意义,促进理解和培养应用意识；同时还必须为进一步学习着想！

引言2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数5引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词)义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。引言2.“六个核心词”→“十个核心词”6基于核心词的能力架构空间观念数据分析观念运算能力数学建模核心词十个之多，还有核心吗？说明研究尚处初级阶段，缺乏概括，有待更深入、更浅出！推理能力AB基于核心词的能力架构空间观念数据分析观念运算能力数学建模7一、什么是推理推理：由已知判断推出未知判断的思维。

(前提)(结论)它的本质是从已有知识得到新知识,特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的新知识。例如：起初人们认为线段长度总能用整数或分数表示。希腊数学家希帕斯通过推理得出边长为1的正方形，它的对角线不能用分数表示。这一伟大的发现，促使人们从依靠直观、经验转向重视推理论证。11一、什么是推理推理：由已知判断推出未知判断的思维。118一、什么是推理推理的形式具有多样性。

例如：①已知“小明哥哥已大学毕业”“小明受教同一老师”,推出“小明也能大学毕业”。②已知“一千只苹果是红的”，推出“苹果都是红的”。③已知“太平洋已被污染”，“大西洋已被污染”，

“印度洋已被污染”，“北冰洋已被污染”，推出“地球上所有大洋都已被污染

”。④已知“人终将一死”“约翰是人”推出“约翰会死”。类比不完全归纳完全归纳演绎一、什么是推理推理的形式具有多样性。例如：类9一、什么是推理

又如：①已知“长方形面积＝长×宽”“长、宽是长方形邻边”,推出“平行四边形面积＝邻边相乘”。②已知“”，推出“”。③已知“袋里有5个球”“摸出第1、2、3个都是红的”推出“袋里全是红球”。④已知“1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42”,推出“从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方”。类比不完全归纳类比不完全归纳×?√√推理的形式具有多样性。一、什么是推理又如：类比不完全归纳类比不完全归纳×?√√10赠送精美图标赠送精美图标111、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图）在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。（如下图）在“替换为”下拉列表中选择替换字体。点击“替换”按钮，完成。122、替换模板中的图片模板中的图片展示页面，您可以根据需要替换这些图片，下面介绍两种替换方法。方法一：更改图片选中模版中的图片（有些图片与其他对象进行了组合，选择时一定要选中图片本身，而不是组合）。单击鼠标右键，选择“更改图片”，选择要替换的图片。（如下图）注意：为防止替换图片发生变形，请使用与原图长宽比例相同的图片。121、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进12一、什么是推理推理的形式具有多样性。

又如：①已知

“2，3，5，7都不能整除29”,推出“29是质数”。②已知“平行四边形面积＝底×高”，“任何两个全等三角形能拼成一个平行四边形,且三角形的底和高就是平行四边形的底和高”,推出“三角形面积＝底×高÷2”。完全归纳演绎√√一、什么是推理推理的形式具有多样性。又如：完13

“类比”是由特殊到特殊的推理；

“归纳”是由特殊到一般的推理；

“演绎”是由一般到特殊的推理。一、什么是推理推理的形式具有多样性。“类比”是由特殊到特殊的推理；一、什么是推理14一般地说，推理可以分为：推理类比推理归纳推理演绎推理不完全归纳推理完全归纳推理或然推理必然推理必然推理主要指演绎推理；或然推理又叫做合情推理（似真推理），是一种合乎情理的、好像为真的推理。一、什么是推理一般地说，推理可以分为：推理类比推理不完全归纳推15

1.心理学视角的描述“数学推理能力”：在数学活动中，运用合情推理去理解数学概念、公式、法则或获得发现、得出猜想，并用演绎推理对发现、猜想加以检验、证明的个性心理特征。推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。——数学课程标准(2011年版)二、什么是数学推理能力1.心理学视角的描述二、什么是数学推理能力16

2.数学课程标准的阐述推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。——数学课程标准(2011年版)二、什么是数学推理能力2.数学课程标准的阐述二、什么是数学推理能力17

3.两类推理相辅相成的必要性

演绎推理只能证明，而不能发现真理。传统的数学教学缺少：通过条件预测结果的能力、依据结论探究成因的能力。缺少这两个能力就难有真正的创造，也不利于创新型人才的成长。预测、探究的事物事先并不确切知道，所以无法借助演绎推理完成。二、什么是数学推理能力3.两类推理相辅相成的必要性二、什么是数学推理能力18

3.两类推理相辅相成的必要性在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

——数学课程标准(2011年版)二、什么是数学推理能力3.两类推理相辅相成的必要性二、什么是数学推理能力19三、小学数学中的推理

1.演绎推理举例

黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：“我不是最快的，但比白兔快。”请问，谁跑得最快?谁跑得最慢?

∵黑兔不是最快，白兔不是最快∴灰兔最快（排除法）计算7＋5＝？

∵7＋3＝10；10＋2＝12∴7＋5＝7＋3＋2＝10＋2＝12直角三角形的一个锐角是30°,另一个锐角是多少？

∵三角形内角和＝180°∴另一个锐角是180°－90°－30°＝60°三、小学数学中的推理1.演绎推理举例20三、小学数学中的推理

2.演绎推理课例分析并非教学速度概念：为正式引进速度概念奠定更好的认知基础解决问题（实际应用问题）识别信息

→说明依据跳出了“多样化”与“优化”的争论“特殊方法”与“一般方法”互补打字人小亚小巧小丁丁总字数174192192时间(分)668→提出问题→解决问题→交流解法三、小学数学中的推理2.演绎推理课例分析并非教学速度21三、小学数学中的推理深入挖掘了常规问题的数学推理内涵①巧＞亚②巧＞丁③亚＞丁（时间相同，打字多的快）（字数相同，时间少的快）（字数、时间都不同，每分钟打的多快）打字人小亚小巧小丁丁总字数174192192时间(分)668

2.演绎推理课例分析三、小学数学中的推理深入挖掘了常规问题的数学推理内涵（时间相22三、小学数学中的推理

2.演绎推理课例分析深入挖掘了常规问题的演绎推理内涵①巧＞亚②巧＞丁③亚＞丁巧最快丁最慢完全归纳由①③：巧＞亚＞丁传递反过来：丁＜亚＜巧逆反演绎打字人小亚小巧小丁丁总字数174192192时间(分)668三、小学数学中的推理2.演绎推理课例分析深入挖掘了常236

346商13乘1减落由具体的算例：如：46÷3＝？

……归纳得出：整数除法计算法则。由三条线段围成三角形的操作，归纳得出：三角形任意两边之和大于第三边。由摸棋实验，归纳推断：红棋比白棋多，两种棋约占总数的几分之几。三、小学数学中的推理

3.合情推理举例6346商13乘1减落由具体的算例：三、小学数学中的推理24三、小学数学中的推理

3.合情推理举例

由除法的基本性质：

被除数、除数都乘或除以相同的数(0除外)商不变类比推出分数、比的基本性质：

分数的分子、分母都乘或除以相同的数(0除外)分数的大小不变。

……由整数乘法计算类比推出小数乘法计算：如：0.15×3＝？

0.15

×3

45

0.11三、小学数学中的推理3.合情推理举例由除法25四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为3×6＝18

所以30×600＝18000凭借经验和直觉

—合情推理因为3×6＝18

所以30×6＝18个十所以30×600＝180个百凭借整数的概念—演绎推理＝180

＝18000末尾有0的乘法：

1.计算教学实例四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为3×6＝18凭26四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为长方形面积＝长×宽所以长方体体积＝长×宽×高类比—合情推理根据体积单位概念与计数—演绎计算长方体的体积：

2.几何教学实例四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为长方形面积＝长×宽类比27四、合情推理与演绎推理怎样相结合

2.几何教学实例周长与表面积计算：将二维空间观念推广到三维空间观念凭借几何直观猜想：与正方形周长相等—合情推理通过平移转，验证、说明猜想的正确性—演绎推理合情推理→演绎推理四、合情推理与演绎推理怎样相结合2.几何教学实例周长28

1.充分利用直观很多情况下，数学的结果是“看”出来的，“看”是一种直观判断，即数学的直觉智慧。2.鼓励学生猜想以事实、经验为基础，由此及彼，发现问题、提出问题，大胆“假设”。3.启发学生说理以所学数学概念、性质、法则、公式为依据，说明猜想，解释结论。五、怎样培养小学生的推理能力1.充分利用直观五、怎样培养小学生的推理能力29五、怎样培养小学生的推理能力

4.数、形、事结合采用多种方式辅助说理：“算理”＋“事理”＋“图示”。

多渠道地促进理解与表达。五、怎样培养小学生的推理能力4.数、形、事结合30“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律31“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【复习引入】我们已学：加法交换律

，结合律

；……那么，加法和乘法之间有什么运算规律呢？【尝试与发现】（12＋8）×6=12×6＋8×6=它们是得数相等的两个算式，可以用等号连起来：（

＋

）×

=

×

＋

×

。

再写出几个这样的算式：（

＋

）×

=

×

＋

×

；……

你发现了什么规律？能总结吗？有困难看课本。“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【复习引入】32“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【验证与理解】一个长方形操场，原来长65米，宽32米。扩建后长不变，宽增加15米，现在操场面积有多大？看作一个长方形求：

；看做两个长方形求：

。

算法不同，结果

。所以：(

＋

)×

=

×

＋

×

。编一道这样的实际问题：

？用乘法意义说明：如：(12＋8)×6=12×6＋8×6表示一共有

个6＝

个6加

个6。原来面积增加面积653215“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【验证与理解】原来面33五、怎样培养小学生的推理能力

5.适当开展推理训练首先是结合基础知识的教学实施训练。

例1由相交引出垂直：

如图，量得一个角是直角，∠1＝()；

∠2＝()。其次是结合平时的教学穿插训练。12五、怎样培养小学生的推理能力5.适当开展推理训练1234五、怎样培养小学生的推理能力

5.适当开展推理训练

例2看图推理：

最重；

最轻。例3找规律推理：112梯形个数12345…10周长(cm)581114…五、怎样培养小学生的推理能力5.适当开展推理训练112356.培养良好的思维习惯最主要的是：有根有据；有条有理。

推理能力的发展与语言的发展，关系密切，两者是相互促进的。发展小学生的推理能力，就要提高学生用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑的能力。五、怎样培养小学生的推理能力6.培养良好的思维习惯五、怎样培养小学生的推理能力36

7.提高教师自身的数学素养

练习：五、怎样培养小学生的推理能力（1）有学生发现：

1×2×3×4＋1＝(1×4＋1)2＝(2×3－1)2

2×3×4×5＋1＝(2×5＋1)2＝(3×4－1)2

3×4×5×6＋1＝(3×6＋1)2＝(4×5－1)2

……连续四个自然数的积加1等于头尾两数的积加1和的平方，等于中间两数的积减1差的平方。这一规律成立吗?请给以证明。7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力37

7.提高教师自身的数学素养

练习：五、怎样培养小学生的推理能力（2）有学生说，推导梯形面积计算公式，可以延长两腰相交成大三角形，然后大三角形面积减去小三角形面积，就是梯形面积。请完整写出这一思路的推导过程。┐ABCDE7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力38

7.提高教师自身的数学素养

练习：五、怎样培养小学生的推理能力（1）设四个连续自然数为n－1，n，n＋1，n＋2，则所以，学生发现的规律成立。7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力39

7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力┐ABCDE作DF∥CB交于AB的延长线于F，则BCDF为□，

AF为梯形ABCD上、下底的差.连接DB，连接FE，则三角形AFE的面积为设小三角形高为l.BADCEF┐,即7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力401.数学模型与建模六、关于数学建模数学模型是用数学符号、式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划。它能解释某些客观现象，或预测未来的发展规律，或为控制某一现象的发展提供最优策略或较好策略。从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。调研→假设→建立→求解→分析

→检验→应用1.数学模型与建模六、关于数学建模数学模型是用数412.模型思想六、关于数学建模“模型”是所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式。“模型思想”与“建模思想”的区别可理解为：模型思想是初步的、大致的建模思想；模型思想比数学建模有更广泛的内涵。2.模型思想六、关于数学建模“模型”是所研422.模型思想模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。——数学课程标准(2011年版)

六、关于数学建模2.模型思想六、关于数学建模43六、关于数学建模3.小学数学中的数学模型常见数量关系；计算公式等都是典型的数学模型。

如：单价×数量＝总价

S＝ab又如：水池同时打开进水管、出水管……几小时后水池满？

动态平衡的数学模型

只是“取材不当”六、关于数学建模3.小学数学中的数学模型44六、关于数学建模4.小学数学中的数学建模小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500

米两地同时出发相向而行，几分钟相遇？师徒共做1540个零件。徒弟做了16天,平均每天做40

个；师傅做了15天,平均每天做几个？买15个足球、16个篮球，足球每只60元，篮球每只40

元，一共应付多少元?如图,求两种蔬菜的面积(单位:米)。a×b＋c×d＝s1500÷(40＋60)(1540－40×16)÷1560×15＋40×16＝1540青菜韭菜6040161540x＋60x＝150040×16＋15x＝1540设x分相遇，设每天x个，六、关于数学建模4.小学数学中的数学建模小胖每分走4045六、关于数学建模4.小学数学中的数学建模a×b＋c×d＝s六、关于数学建模4.小学数学中的数学建模a×b＋c×d46六、关于数学建模5.用数学建模思想反思某些一题多解小胖每分走40米，小巧每分走60米，他们从相距1500

米的两地同时出发，相向而行，几分钟后相遇？

ab＋cd＝s40x＋60x＝15001500－40x＝60x1500－60x＝40x(60＋40)x＝15001500÷x＝60＋401500÷x－40＝601500÷x－60＝401500＝40x＋60x60x＝1500－40x40x＝1500－60x这样的一题多解有意义吗？你认为怎样列方程便于思考?设x分钟后两人相遇。…………六、关于数学建模5.用数学建模思想反思某些一题多解小胖47六、关于数学建模6.正确处理建模思想与策略多样化的关系2元、5元人民币共15张，共54元。2元、5元各几张？列表；画图；推算；列方程假设：15张全是5元，共5×15＝75(元)比较：

调整：（置换）列表尝试，实质上是连续多次：假设→比较→调整2元(张)05元(张)15总价(元)………

7854

11472每次减少3元，

21369755－275－54＝21(元)21÷()列方程解：

x＋y＝152x＋5y＝542x＋5(15-x)＝54化难为易六、关于数学建模6.正确处理建模思想与策略多样化的关系48谢谢！欢迎提问共同探讨聚焦小学数学的核心能力谢谢！聚焦小学数学的核心能力49聚焦小学数学的核心能力数学课程标准核心词的实践研究“推理能力”与“建模思想”曹培英聚焦小学数学的核心能力数学课程标准核心词50引言教育部义务教育数学课程标准（2011年版）最大的改变：

1.“双基”→“四基”数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验意味着：我国数学教育优良传统得到肯定理解＋记忆；回归“结果”与“过程”并重的理念铺垫＋变式……“但求曾经拥有，不求天长地久”……引言教育部义务教育数学课程标准（2011年版）最大的51引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)

100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？

例如：量角生活应用只需比较角的大小,无需测量。，实乃“屠龙之技”……┌oBC1CAB引言2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数52引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)

100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？

例如：量角生活应用只需比较角的大小,无需测量。但是，数学学习中需要测量。如：绘制扇形统计图；地图上用方向和距离描述点的位置；

……，实乃“屠龙之技”……北引言2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数53引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)

100多年过去了，难道还要回归油盐柴米的计算？另一方面，小学数学知识都有广泛的实用价值吗？

例如：量角又如：，实乃“屠龙之技”……使用三角形面积公式的人＜0.5%处于糖尿病前期的成年人＞50%

但是，三角形面积计算是不可或缺的学习基础。联系生活更主要目的是帮助建构知识意义,促进理解和培养应用意识；同时还必须为进一步学习着想！

引言2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数54引言

2.“六个核心词”→“十个核心词”小学数学(算术)课程教学核心词的演变：小学算术(清末)：熟习日用计算(两个核心词)小学数学(1978)：计算能力，初步的逻辑思维与空间观念，解决简单实际问题(四个核心词)义务教育数学(2001)：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。义务教育数学(2011)：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。引言2.“六个核心词”→“十个核心词”55基于核心词的能力架构空间观念数据分析观念运算能力数学建模核心词十个之多，还有核心吗？说明研究尚处初级阶段，缺乏概括，有待更深入、更浅出！推理能力AB基于核心词的能力架构空间观念数据分析观念运算能力数学建模56一、什么是推理推理：由已知判断推出未知判断的思维。

(前提)(结论)它的本质是从已有知识得到新知识,特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的新知识。例如：起初人们认为线段长度总能用整数或分数表示。希腊数学家希帕斯通过推理得出边长为1的正方形，它的对角线不能用分数表示。这一伟大的发现，促使人们从依靠直观、经验转向重视推理论证。11一、什么是推理推理：由已知判断推出未知判断的思维。1157一、什么是推理推理的形式具有多样性。

例如：①已知“小明哥哥已大学毕业”“小明受教同一老师”,推出“小明也能大学毕业”。②已知“一千只苹果是红的”，推出“苹果都是红的”。③已知“太平洋已被污染”，“大西洋已被污染”，

“印度洋已被污染”，“北冰洋已被污染”，推出“地球上所有大洋都已被污染

”。④已知“人终将一死”“约翰是人”推出“约翰会死”。类比不完全归纳完全归纳演绎一、什么是推理推理的形式具有多样性。例如：类58一、什么是推理

又如：①已知“长方形面积＝长×宽”“长、宽是长方形邻边”,推出“平行四边形面积＝邻边相乘”。②已知“”，推出“”。③已知“袋里有5个球”“摸出第1、2、3个都是红的”推出“袋里全是红球”。④已知“1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42”,推出“从1起连续奇数的和等于奇数个数的平方”。类比不完全归纳类比不完全归纳×?√√推理的形式具有多样性。一、什么是推理又如：类比不完全归纳类比不完全归纳×?√√59赠送精美图标赠送精美图标601、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进行批量替换，一次性更改各页面字体。在“开始”选项卡中，点击“替换”按钮右侧箭头，选择“替换字体”。（如下图）在图“替换”下拉列表中选择要更改字体。（如下图）在“替换为”下拉列表中选择替换字体。点击“替换”按钮，完成。612、替换模板中的图片模板中的图片展示页面，您可以根据需要替换这些图片，下面介绍两种替换方法。方法一：更改图片选中模版中的图片（有些图片与其他对象进行了组合，选择时一定要选中图片本身，而不是组合）。单击鼠标右键，选择“更改图片”，选择要替换的图片。（如下图）注意：为防止替换图片发生变形，请使用与原图长宽比例相同的图片。611、字体安装与设置如果您对PPT模板中的字体风格不满意，可进61一、什么是推理推理的形式具有多样性。

又如：①已知

“2，3，5，7都不能整除29”,推出“29是质数”。②已知“平行四边形面积＝底×高”，“任何两个全等三角形能拼成一个平行四边形,且三角形的底和高就是平行四边形的底和高”,推出“三角形面积＝底×高÷2”。完全归纳演绎√√一、什么是推理推理的形式具有多样性。又如：完62

“类比”是由特殊到特殊的推理；

“归纳”是由特殊到一般的推理；

“演绎”是由一般到特殊的推理。一、什么是推理推理的形式具有多样性。“类比”是由特殊到特殊的推理；一、什么是推理63一般地说，推理可以分为：推理类比推理归纳推理演绎推理不完全归纳推理完全归纳推理或然推理必然推理必然推理主要指演绎推理；或然推理又叫做合情推理（似真推理），是一种合乎情理的、好像为真的推理。一、什么是推理一般地说，推理可以分为：推理类比推理不完全归纳推64

1.心理学视角的描述“数学推理能力”：在数学活动中，运用合情推理去理解数学概念、公式、法则或获得发现、得出猜想，并用演绎推理对发现、猜想加以检验、证明的个性心理特征。推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。——数学课程标准(2011年版)二、什么是数学推理能力1.心理学视角的描述二、什么是数学推理能力65

2.数学课程标准的阐述推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。——数学课程标准(2011年版)二、什么是数学推理能力2.数学课程标准的阐述二、什么是数学推理能力66

3.两类推理相辅相成的必要性

演绎推理只能证明，而不能发现真理。传统的数学教学缺少：通过条件预测结果的能力、依据结论探究成因的能力。缺少这两个能力就难有真正的创造，也不利于创新型人才的成长。预测、探究的事物事先并不确切知道，所以无法借助演绎推理完成。二、什么是数学推理能力3.两类推理相辅相成的必要性二、什么是数学推理能力67

3.两类推理相辅相成的必要性在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

——数学课程标准(2011年版)二、什么是数学推理能力3.两类推理相辅相成的必要性二、什么是数学推理能力68三、小学数学中的推理

1.演绎推理举例

黑、灰、白三只兔子赛跑。黑兔说：“我不是最快的，但比白兔快。”请问，谁跑得最快?谁跑得最慢?

∵黑兔不是最快，白兔不是最快∴灰兔最快（排除法）计算7＋5＝？

∵7＋3＝10；10＋2＝12∴7＋5＝7＋3＋2＝10＋2＝12直角三角形的一个锐角是30°,另一个锐角是多少？

∵三角形内角和＝180°∴另一个锐角是180°－90°－30°＝60°三、小学数学中的推理1.演绎推理举例69三、小学数学中的推理

2.演绎推理课例分析并非教学速度概念：为正式引进速度概念奠定更好的认知基础解决问题（实际应用问题）识别信息

→说明依据跳出了“多样化”与“优化”的争论“特殊方法”与“一般方法”互补打字人小亚小巧小丁丁总字数174192192时间(分)668→提出问题→解决问题→交流解法三、小学数学中的推理2.演绎推理课例分析并非教学速度70三、小学数学中的推理深入挖掘了常规问题的数学推理内涵①巧＞亚②巧＞丁③亚＞丁（时间相同，打字多的快）（字数相同，时间少的快）（字数、时间都不同，每分钟打的多快）打字人小亚小巧小丁丁总字数174192192时间(分)668

2.演绎推理课例分析三、小学数学中的推理深入挖掘了常规问题的数学推理内涵（时间相71三、小学数学中的推理

2.演绎推理课例分析深入挖掘了常规问题的演绎推理内涵①巧＞亚②巧＞丁③亚＞丁巧最快丁最慢完全归纳由①③：巧＞亚＞丁传递反过来：丁＜亚＜巧逆反演绎打字人小亚小巧小丁丁总字数174192192时间(分)668三、小学数学中的推理2.演绎推理课例分析深入挖掘了常726

346商13乘1减落由具体的算例：如：46÷3＝？

……归纳得出：整数除法计算法则。由三条线段围成三角形的操作，归纳得出：三角形任意两边之和大于第三边。由摸棋实验，归纳推断：红棋比白棋多，两种棋约占总数的几分之几。三、小学数学中的推理

3.合情推理举例6346商13乘1减落由具体的算例：三、小学数学中的推理73三、小学数学中的推理

3.合情推理举例

由除法的基本性质：

被除数、除数都乘或除以相同的数(0除外)商不变类比推出分数、比的基本性质：

分数的分子、分母都乘或除以相同的数(0除外)分数的大小不变。

……由整数乘法计算类比推出小数乘法计算：如：0.15×3＝？

0.15

×3

45

0.11三、小学数学中的推理3.合情推理举例由除法74四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为3×6＝18

所以30×600＝18000凭借经验和直觉

—合情推理因为3×6＝18

所以30×6＝18个十所以30×600＝180个百凭借整数的概念—演绎推理＝180

＝18000末尾有0的乘法：

1.计算教学实例四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为3×6＝18凭75四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为长方形面积＝长×宽所以长方体体积＝长×宽×高类比—合情推理根据体积单位概念与计数—演绎计算长方体的体积：

2.几何教学实例四、合情推理与演绎推理怎样相结合因为长方形面积＝长×宽类比76四、合情推理与演绎推理怎样相结合

2.几何教学实例周长与表面积计算：将二维空间观念推广到三维空间观念凭借几何直观猜想：与正方形周长相等—合情推理通过平移转，验证、说明猜想的正确性—演绎推理合情推理→演绎推理四、合情推理与演绎推理怎样相结合2.几何教学实例周长77

1.充分利用直观很多情况下，数学的结果是“看”出来的，“看”是一种直观判断，即数学的直觉智慧。2.鼓励学生猜想以事实、经验为基础，由此及彼，发现问题、提出问题，大胆“假设”。3.启发学生说理以所学数学概念、性质、法则、公式为依据，说明猜想，解释结论。五、怎样培养小学生的推理能力1.充分利用直观五、怎样培养小学生的推理能力78五、怎样培养小学生的推理能力

4.数、形、事结合采用多种方式辅助说理：“算理”＋“事理”＋“图示”。

多渠道地促进理解与表达。五、怎样培养小学生的推理能力4.数、形、事结合79“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律80“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【复习引入】我们已学：加法交换律

，结合律

；……那么，加法和乘法之间有什么运算规律呢？【尝试与发现】（12＋8）×6=12×6＋8×6=它们是得数相等的两个算式，可以用等号连起来：（

＋

）×

=

×

＋

×

。

再写出几个这样的算式：（

＋

）×

=

×

＋

×

；……

你发现了什么规律？能总结吗？有困难看课本。“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【复习引入】81“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【验证与理解】一个长方形操场，原来长65米，宽32米。扩建后长不变，宽增加15米，现在操场面积有多大？看作一个长方形求：

；看做两个长方形求：

。

算法不同，结果

。所以：(

＋

)×

=

×

＋

×

。编一道这样的实际问题：

？用乘法意义说明：如：(12＋8)×6=12×6＋8×6表示一共有

个6＝

个6加

个6。原来面积增加面积653215“算理＋事理＋图示”的实例——乘法分配律【验证与理解】原来面82五、怎样培养小学生的推理能力

5.适当开展推理训练首先是结合基础知识的教学实施训练。

例1由相交引出垂直：

如图，量得一个角是直角，∠1＝()；

∠2＝()。其次是结合平时的教学穿插训练。12五、怎样培养小学生的推理能力5.适当开展推理训练1283五、怎样培养小学生的推理能力

5.适当开展推理训练

例2看图推理：

最重；

最轻。例3找规律推理：112梯形个数12345…10周长(cm)581114…五、怎样培养小学生的推理能力5.适当开展推理训练112846.培养良好的思维习惯最主要的是：有根有据；有条有理。

推理能力的发展与语言的发展，关系密切，两者是相互促进的。发展小学生的推理能力，就要提高学生用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑的能力。五、怎样培养小学生的推理能力6.培养良好的思维习惯五、怎样培养小学生的推理能力85

7.提高教师自身的数学素养

练习：五、怎样培养小学生的推理能力（1）有学生发现：

1×2×3×4＋1＝(1×4＋1)2＝(2×3－1)2

2×3×4×5＋1＝(2×5＋1)2＝(3×4－1)2

3×4×5×6＋1＝(3×6＋1)2＝(4×5－1)2

……连续四个自然数的积加1等于头尾两数的积加1和的平方，等于中间两数的积减1差的平方。这一规律成立吗?请给以证明。7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力86

7.提高教师自身的数学素养

练习：五、怎样培养小学生的推理能力（2）有学生说，推导梯形面积计算公式，可以延长两腰相交成大三角形，然后大三角形面积减去小三角形面积，就是梯形面积。请完整写出这一思路的推导过程。┐ABCDE7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力87

7.提高教师自身的数学素养

练习：五、怎样培养小学生的推理能力（1）设四个连续自然数为n－1，n，n＋1，n＋2，则所以，学生发现的规律成立。7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力88

7.提高教师自身的数学素养五、怎样培养小学生的推理能力┐ABCDE作DF∥CB交于AB的延长线于F，则BCDF为□，

AF为梯形ABCD上、下底的差.连接DB，连接FE，则三角形AFE的面积为设小三角形高为l.BADCEF┐,即7.提高教师自身的数学素